Appunti, Potenza complessa - Elettrotecnica - a.a 2015/2016 PDF

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Gli appunti vertono sulla potenza complessa....

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8. La potenza complessa Potenza istantanea Abbiamo già in passato introdotto il concetto di potenza istantanea assorbita da un determinato componente. Riprendiamo ora brevemente questo concetto.

Potenza istantanea di un resistore v(t)

𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡)  per la legge di Ohm del resistore 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣 (𝑡)𝑖(𝑡)  potenza assorbita istantanea A v(t) sostituiamo la legge di Ohm: R 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑅𝑖 2 (𝑡) Sostituiamo a i(t) la formula del fasore 𝑖(𝑡) = |𝐼| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) Quindi, unendo questi risultati e utilizzando le formule trigonometriche, risulta che: 1 1+cos(2𝜔𝑡 +2𝑎𝑟𝑔𝐼) 1 = 𝑅|𝐼| 2 + 𝑅|𝐼| 2 cos(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑅 |𝐼| 2 cos(𝜔𝑡 + arg(𝐼 ) ) = 𝑅 |𝐼| 2 2

i(t)

2

2

Termine costante

termine sinusoidale a pulsazione 2ῳ

Grafico della potenza istantanea nel tempo di un resistore 𝑡0+𝑇 1 ∫ (𝑛)𝑇 𝑡0

𝑝𝑎 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑃  valor medio della potenza assorbita (potenza attiva)

Potenza istantanea di un condensatore 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣 (𝑡)𝑖(𝑡) Conosciamo la formula del condensatore: 𝑑𝑣 𝑖(𝑡) = 𝐶 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣 (𝑡)𝐶

𝑑𝑣

𝑑𝑡

(𝑡)

Sapendo che:  |cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 ) 𝑣(𝑡) = |𝑉 la formula della potenza assorbita istantanea risulta:  ) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉  ) = − 1 𝜔𝐶|𝑉|2 𝑠𝑒𝑛(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 ) 𝑝𝑎 (𝑡) = −𝜔𝐶|𝑉 |2 cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 2

Q

Grafico della potenza istantanea nel tempo di un condensatore

termine sinusoidale a pulsazione 2ῳ

𝑡0+𝑇 1 𝑝𝑎 (𝑡)𝑑𝑡 = 0 ∫ (𝑛)𝑇 𝑡0 1 1 𝑤𝑒 (𝑡) = 𝐶𝑣 2 (𝑡) = 𝐶|𝑉 |2 2 2

𝑃=

condensatore

 ) = 1 𝐶|𝑉 |2 1+cos(2𝜔𝑡+2𝑎𝑟𝑔𝑉 𝑐𝑜𝑠2 (𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 2 2

)

 energia elettrica immagazzinata dal

1

𝑇

1  |2  energia media 𝑊𝑒 = 𝑇 ∫0 𝑤𝑒 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐶|𝑉 4

𝑄 = −2𝜔𝑊𝑒  potenza reattiva

Potenza istantanea di un induttore 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣 (𝑡)𝑖(𝑡) Conosciamo la formula dell’induttore: 𝑑𝑖

𝑣(𝑡) = 𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑖

𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣 (𝑡)𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡

Sapendo che: 𝑖(𝑡) = |𝐼| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼) la formula della potenza assorbita istantanea diventa: 1 𝑝𝑎 (𝑡) = −𝜔𝐿|𝐼 | 2 cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) = − 𝜔𝐿|𝐼 | 2 𝑠𝑒𝑛(2(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) 2

Q 1 𝜔𝐿|𝐼| 2 2 1 𝑡 +𝑇 𝑃= ∫ 0 𝑝𝑎 (𝑡)𝑑𝑡 = 0  potenza attiva (𝑛)𝑇 𝑡

termine sinusoidale a pulsazione 2ῳ

𝑄=

0

1 + cos(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼) 1 1 1 𝑤𝑒 (𝑡) = 𝐿𝑖 2 (𝑡) = 𝐿|𝐼| 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) = 𝐿|𝐼| 2 2 2 2 2

𝑊𝑒 = 𝑇 ∫0 𝑤𝑒 (𝑡)𝑑𝑡 = 4 𝐿|𝐼| 2  energia media 1

𝑇

1

𝑄 = 2𝜔𝑊𝑒  potenza reattiva

Potenza istantanea di un bipolo generico

cos α ∙ cosβ = +𝑎𝑟𝑔𝑉

1

𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣 (𝑡)𝑖(𝑡) Sapendo che: 𝑖(𝑡) = |𝐼| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼)  |cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 ) 𝑣(𝑡) = |𝑉 Si ricorda che, dalla Trigonometria, valgono le formule di Werner: 1 cos(α + β) + cos(α − β) 2 2 Quindi:  − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) + cos(2𝜔𝑡 +  ) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) = 1 |𝑉 ||𝐼| (cos(𝑎𝑟𝑔𝑉  ||𝐼| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 𝑝𝑎 (𝑡) = |𝑉 2  ||𝐼| cos(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 )  + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) = 1 |𝑉 ||𝐼| cos(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) + 1 |𝑉 2 2

Osserviamo quindi che la potenza istantanea per ogni tipo di bipolo è ottenuta dalla somma di due contributi, uno costante e uno sinusoidale. Particolarmente importante è l’integrale della potenza istantanea, ossia il suo valore medio, detto potenza attiva. 𝑃= 1 2

1

𝑡 +𝑇 ∫0 𝑇 𝑡0

1  ||𝐼| cos(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 )  potenza attiva assorbita 𝑝𝑎 (𝑡)𝑑𝑡 = |𝑉 2

 ||𝐼| = 𝐴  potenza apparente |𝑉

 + 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) = cos((2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) + (𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) ) cos(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉  = cos(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) cos(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) sen(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) 𝑝𝑎 (𝑡) =

1 1    − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) cos(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) sen(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) ) =  − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) + |𝑉 ||𝐼| (cos(𝑎𝑟𝑔𝑉 |𝑉 ||𝐼| cos(𝑎𝑟𝑔𝑉 2 2 1 1    ||𝐼| 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) sen(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) ||𝐼 | cos(𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝑎𝑟𝑔𝐼 ) (1 + cos(2𝜔𝑡 + 2𝑎𝑟𝑔𝐼 ) ) − |𝑉 = |𝑉 2 2

Q = potenza reattiva

P = potenza attiva

Grafico della potenza istantanea nel tempo di un condensatore

Riassumendo: -

nel resistore

𝑃 = 2 𝑅|𝐼| 2 𝑄 = 0

-

nel condensatore

𝑃 = 0𝑄 = −

-

nell’induttore

1

𝑃 = 0𝑄 =

1

1

2 2

𝜔𝐶|𝑉 |2

𝜔𝐿|𝐼| 2

Osserviamo che, supponendo di essere in regime sinusoidale, la potenza sarà in tal modo una somma di prodotti tra funzioni sinusoidali. Dall’Analisi matematica scopriamo così che, in generale, la potenza elettrica assorbita in un circuito in regime sinusoidale non è una sinusoide. Non potremo perciò introdurre dei fasori per rappresentare la potenza, anche se dovessimo trovarci in circuiti in regime sinusoidale. Tuttavia, se si sta risolvendo un circuito attraverso il metodo dei fasori può essere utile poter ragionare sulle potenze direttamente sul circuito rappresentato nel dominio dei fasori. A tale scopo introduciamo ora una nuova grandezza: la potenza complessa assorbita o erogata. 𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 è la potenza complessa. S è un numero complesso che fornisce informazioni riguardo alla potenza istantanea a meno di una traslazione. P è la parte reale di S ed è chiamata potenza attiva, mentre Q è la parte immaginaria, chiamata potenza reatti va.

 ||𝐼∗ |𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔𝑉 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔𝐼  Dove con il simbolo “*” è stato indicato l’operatore “complesso coniugato”. 𝑆 = 2 𝑉𝐼∗ = |𝑉 2 ∗ Sapendo che il modulo di un numero complesso coniugato è il numero complesso stesso e che 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔𝐼  = 𝑒 −𝑗𝑎𝑟𝑔𝐼  otteniamo: 1 1    ||𝐼| 𝑒 𝑗(𝑎𝑟𝑔𝑉−𝑎𝑟𝑔𝐼 ) 𝑆 = |𝑉 ||𝐼| 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔𝑉 𝑒 −𝑗𝑎𝑟𝑔𝐼 = |𝑉 2 2 1

1

∗

I fasori della corrente I e della tensione V sono indicati con la convenzione degli utilizzatori. 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑆)𝑄 = 𝐼𝑚(𝑆)𝐴 = |𝑆| = √𝑃2 + 𝑄2

Potenza nel caso di un n-polo 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑒1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) + .... + 𝑒𝑛 (𝑡)𝑖𝑛 (𝑡) Esprimendo la potenza in funzione delle tensioni invece che ai potenziali di nodo otteniamo: ′ 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣1 (𝑡)𝑖1′(𝑡) + .... + 𝑣𝑛−1 (𝑡)𝑖𝑛−1 (𝑡)

Prendendo un generico quadripolo la potenza istantanea può essere espressa come: 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑒1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) + .... + 𝑒4 (𝑡)𝑖4 (𝑡) = 𝑣1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) + .... + 𝑣3 (𝑡)𝑖3 (𝑡)

Nel caso di un doppio bipolo: 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑣1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) + 𝑣2 (𝑡)𝑖2 (𝑡)

Usando i fasori, otteniamo che: 1) |𝐼1 | cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼1) 𝑒1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) = | 𝐸1| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐸 1 1 1||𝐼1 | cos(𝑎𝑟𝑔𝐸 1 − 𝑎𝑟𝑔𝐼     = |𝐸 1 ) + |𝐸1 ||𝐼1 |cos(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐸1 + 𝑎𝑟𝑔𝐼1 ) 2 2 Consideriamo ora il nodo k-esimo: 𝑘| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐸 𝑘) |𝐼𝑘 | cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼𝑘 ) 𝑒𝑘 (𝑡)𝑖𝑘 (𝑡) = |𝐸 1 1   𝑘||𝐼𝑘| cos(𝑎𝑟𝑔𝐸     = |𝐸 𝑘 − 𝑎𝑟𝑔𝐼𝑘 ) + |𝐸𝑘 ||𝐼𝑘 |cos(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐸𝑘 + 𝑎𝑟𝑔𝐼𝑘 ) 2 2 𝑛

𝑛

𝑘=1

𝑘=1

𝑝𝑎 (𝑡) = ∑ 𝑒𝑘 (𝑡)𝑖𝑘 (𝑡) = ∑

1

2

1 𝑘||𝐼𝑘 | cos(𝑎𝑟𝑔𝐸 𝑘 − 𝑎𝑟𝑔𝐼𝑘 ) + |𝐸  ||𝐼 |cos(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐸  |𝐸 𝑘 + 𝑎𝑟𝑔𝐼𝑘 ) 2 𝑘 𝑘 P

È una funzione sinusoidale, |(cos(2𝜔 + 𝑎𝑟𝑔𝑈)) = |𝑈

Ampiezza

Considerando la potenza nel dominio dei fasori e ricordando che: ′ 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑒1 (𝑡)𝑖1 (𝑡) + .... + 𝑒𝑛 (𝑡)𝑖𝑛 (𝑡) = 𝑣1 (𝑡)𝑖′1(𝑡) + .... + 𝑣𝑛−1 (𝑡)𝑖𝑛−1 (𝑡) 1 1 𝐼∗ 𝐸1𝐼1∗ + .... + 𝐸 𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 2  2 𝑛 𝑛 1

𝑇

𝑃 = ∫0 𝑝𝑎 (𝑡)𝑑𝑡  valor medio 𝑇

1  = 1 𝐸 𝐸𝑛 𝐼𝑛 𝑈 𝐼 + .... + 2 2 1 1

 |cos(2𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑈 ) 𝑝𝑎 (𝑡) = 𝑃 + |𝑈

A

𝑒 𝑗2𝜔𝑡 ) 𝑅𝑒(𝑈

Oppure: 1 1  𝐼′∗  𝑆 = 𝑉1 𝐼1′∗ + .... + 𝑉 2 2 𝑛−1 𝑛−1 1 1  = 𝑉1 𝐼1′ + .... +  𝑈 𝑉𝐼′ 2 𝑛−1 𝑛−1 2 Osserviamo che nel caso n=2: 1 1𝐼1 ′  =1𝑉 𝑆 = 𝑉1 𝐼1′∗ 𝐼1 = 𝐼1′ 𝑈 2

2

Quindi: 1 𝑆 = 𝑉1 𝐼1

 = 1 𝑉1 𝐼1 𝑈 2

2

1 1 | = | 𝑉1 𝐼1 | = | 𝑉1 𝐼1∗ | = |𝑆| = 𝐴 |𝑈 2 2 Se volessimo utilizzare i valori efficaci: 𝑣(𝑡) = |𝑉 |cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉 ) 𝑖(𝑡) = |𝐼| cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼)

𝑒𝑓𝑓 = 𝑉

𝑉

√2

 = 𝐼𝑒𝑓𝑓

𝐼

√2

𝑒𝑓𝑓 |cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝑉𝑒𝑓𝑓 ) 𝑣(𝑡) = √2|𝑉  |cos(𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑔𝐼𝑒𝑓𝑓  ) 𝑖(𝑡) = √2|𝐼𝑒𝑓𝑓 1 ∗ 𝑒𝑓𝑓 𝐼𝑒𝑓𝑓 𝑆 = 𝑉 𝐼∗ = 𝑉 2

|𝑆| = 𝐴

𝑃 = 𝑅𝑒 (𝑆)

Sfasamento

Teorema di conservazione della potenza complessa (o Teorema di Boucherot) Teorema di conservazione della potenza Abbiamo già analizzato il teorema di conservazione della potenza (e il teorema di Tellegen, che ne è una generalizzazione). Ricordiamo che il teorema di conservazione della potenza afferma che: In un circuito qualsiasi, la somma delle potenze istantanee assorbite da tutti i componenti del circuito in ogni istante è sempre nulla. Detto m il numero dei componenti del circuito: m

∑[pak (t)] = 0

k=1

Oppure: la somma delle potenze istantanee generate da tutti componenti di un circuito qualunque è sempre nulla. Oppure ancora: la somma delle potenze istantanee assorbite da un certo numero di componenti di un circuito è sempre uguale alla somma delle potenze generate dai restanti componenti del circuito. Enunciato del teorema di Boucherot Quando rappresentiamo un circuito in regime sinusoidale nel dominio dei fasori, disponiamo di un teorema analogo rispetto al teorema di conservazione della potenza, che prende il nome di teorema di Boucherot. Il teorema di Boucherot afferma che, dato un circuito qualsiasi, la somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito stesso è sempre nulla. In altri termini: la somma delle potenze complesse generate da tutti i componenti di un circuito è sempre nulla. Oppure ancora: la somma del potenze complesse assorbite da un certo numero di componenti di un circuito è sempre uguale alla somma delle potenze complesse generate dai restanti componenti del circuito. Dimostrazione del teorema di Boucherot Consideriamo come esempio il circuito riportato in figura.

Nel circuito dato, possiamo introdurre le potenze complesse assorbite dai componenti del circuito: 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = 0 1 1 ∗ 𝐸𝐼 𝑆1 = 𝐸1𝐼1∗ +  2 2 42 1 1 𝑆2 = 𝐸1𝐼3∗ +  𝐸𝐼∗ 2 24 2 1 1 𝐸𝐼∗ 𝑆3 = 𝐸2𝐼5∗ +  2 36 2 1 1 1 1 𝐼∗ + 𝐸 𝑆4 = 𝐸4𝐼7∗ +  𝐼 ∗ 𝐸𝐼∗ + 𝐸 2 2 3 8 2 1 9 2 2 10

1   1   )∗ + .... + .... = 0 (𝐼 + 𝐼5 + 𝐼10 (𝐼  + 𝐼3 + 𝐼9 )∗ + 𝐸 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + 𝑆4 = 𝐸 2 2 4 2 1 1 Correnti uscenti dal Questo teorema vale anche per  U: nodo 1 quindi questa     𝑈1 + 𝑈 2 + 𝑈3 + 𝑈 = 0 somma è zero (KCL)

1  𝐼  + 1  1 = 𝐸 𝑈 𝐸 𝐼 2 1 1 2 42 1 1 2 =  𝑈 𝐸1𝐼3 +  𝐸 𝐼4 2 2 2 1 1 3 =  𝑈 𝐸 𝐼 𝐸 𝐼5 +  2 36 2 2 1 1 1 1 4 =   𝑈 𝐸4𝐼7 +  𝐸3𝐼8 + 𝐸1𝐼9 + 𝐸2 𝐼10 2 2 2 2

Correnti uscenti dal nodo 2 quindi questa somma è zero (KCL)

1 1 1 + 𝑈2 +   (𝐼  + 𝐼5 + 𝐼10  ) + .... + .... = 0 𝑈 𝐸 (𝐼1 + 𝐼3 + 𝐼9 ) + 𝐸 𝑈3 + 𝑈4 =  2 1 2 2 4 Correnti uscenti dal

Correnti uscenti dal

nodo 1 quindi questa somma è zero (KCL)

nodo 2 quindi questa somma è zero (KCL)

Interpretazione fisica della potenza complessa Andremo ora ad analizzare il significato fisico della potenza complessa. Se noi consideriamo un n-polo reciproco la potenza complessa assume un significato fisico. Indichiamo con S1 la potenza complessa assorbita da C1 e con S2 la potenza complessa assorbita dal suo componente complementare. 𝑆1 + 𝑆2 = 0 Possiamo dimostrare che la potenza complessa assorbita da C1 è la somma delle potenze complesse assorbite dai componenti che lo costituiscono. Se infatti consideriamo C1 non più come componente composito, ma prendiamo in esame tutti i singoli componenti che lo costituiscono come dei singoli componenti, possiamo applicare ancora il teorema di Boucherot, e otteniamo (indicando con i pedici R, L, C e T, rispettivamente, i resistori, gli induttori, i condensatori e i trasformatori ideali presenti in C1 ): 𝑁𝑅

𝑆2 + ∑ 𝑆𝑅,𝑖 𝑖=1

𝑁𝐶

𝑁𝐿

𝑖=1

𝑖=1

+ ∑ 𝑆𝐶 ,𝑖 + ∑ 𝑆𝐿,𝑖 𝑁

𝑁

𝑁𝑇

+ ∑ 𝑆𝑇,𝑖 𝑖=1

𝑁

=0 𝑁

𝑅 𝐶 𝐿 𝑇  𝑆1 = ∑𝑖=1 𝑆𝑅,𝑖 + ∑ 𝑖=1 𝑆𝐶 ,𝑖 + ∑𝑖=1 𝑆𝑇,𝑖 𝑆𝐿,𝑖 + ∑𝑖=1

Analizziamo la potenza relativa ad ogni tipologia di componente: La potenza complessa di un resistore 𝑆𝑅,𝑖 è puramente reale

v(t)

i(t) R

𝑆𝑅,𝑖 = 𝑃𝑅,𝑖 + 𝑗0

𝑇

1 ∫ 𝑝 (𝑡)𝑑𝑡 𝑃𝑅 ,𝑖 = (𝑛)𝑇 0 𝑟,𝑖 𝑁𝑅

𝑁𝑅

𝑖=1

𝑖=1

𝑁𝑅

∑ 𝑆𝑅,𝑖 = ∑ 𝑃𝑅,𝑖

1

=∑

𝑖=1

𝑇

𝑇

∫ 𝑝𝑟,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = 0

𝑁 1 𝑇 ∫ ∑ 𝑝𝑟,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇 0 𝑖

= 𝑃𝑅

𝑝𝑟 (𝑡)

La potenza complessa di un condensatore 𝑆𝐶 ,𝑖 è puramente immaginaria 𝑆𝐶 ,𝑖 = −𝑗2𝜔𝑊𝐶 𝑊𝐶,𝑖 =

𝑁𝐶

∑ 𝑆𝐶 ,𝑖

𝑖=1

1

𝑇

𝑇

∫ 𝑤𝑐,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 0

𝑁𝐶

1

𝑁𝐶

1 𝑇 ∫ 𝑤𝑐,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = −𝑗2𝜔 ∫ ∑ 𝑤𝐶 ,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = = −𝑗2𝜔 ∑ 𝑇 0 𝑇 0 𝑇

𝑖=1

𝑖=1

− 𝑗2𝜔𝑊𝐶

𝑤𝑐 (𝑡)

La potenza complessa di un induttore 𝑆𝐿,𝑖 è puramente immaginaria 𝑆𝐿,𝑖 = 𝑗2𝜔𝑊𝐿 𝑊𝐿,𝑖 =

𝑁𝐿

∑ 𝑆𝐿,𝑖

𝑖=1

1

𝑇

𝑁𝐿

𝑇

∫ 𝑤𝐿,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 0

𝑁𝐿

1 𝑇 ∫ 𝑤𝐿,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑗2𝜔 ∫ ∑ 𝑤𝐿,𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑗2𝜔𝑊𝐿 = 𝑗2𝜔 ∑ 𝑇 0 𝑇 0 1

𝑇

𝑖=1

𝑖=1

𝑤𝐿 (𝑡)

Se 𝑛1 = 𝑛𝑒 𝑛2 = 1:  = 𝑛𝑉2 𝑉 { 1 𝐼2 = −𝑛𝐼1

1 1 2𝐼2∗ = 1 𝑛𝑉2𝐼1∗ + 1 𝑉2(−𝑛𝐼1 )∗ = 1 𝑛𝑉2 𝐼1∗ − 1 𝑉2 𝑛𝐼1∗ = 0 𝑆 = 𝑉1 𝐼1∗ + 𝑉 2

Quindi: 𝑁𝑇 ∑𝑖=1 𝑆𝑇,𝑖 = 0 Nell’n-polo reciproco: 𝑆1 = 𝑃 + 𝑗2𝜔(𝑊𝐿 − 𝑊𝐶 ) P

Q

2

2

2

2

2

𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑗3𝑊  significato fisico della potenza complessa: la parte reale della potenza complessa (ovvero la potenza attiva) indica il valore medio in un periodo della potenza assorbita dal componente: 1 T Pa = Re(Sa ) = ∫0 pa (t)dt; T

Interpretazione fisica dell’impedenza Consideriamo un bipolo reciproco: 1 𝑆 = 𝑉1𝐼1∗ 2 𝑆1 = 𝑃𝑅 + 𝑗2𝜔(𝑊𝐿 − 𝑊𝐶 )

 𝑆 = 1 𝑍|𝐼| 2 = 𝑃𝑅 + 𝑗2𝜔(𝑊𝐿 − 𝑊𝐶 ) 𝑉 = 𝑍𝐼 2 𝑍=

𝑃𝑅 +𝑗2𝜔(𝑊𝐿 −𝑊𝐶 ) 1 2 |𝐼 | 2

L’espressione evidenzia il significato fisico dell’impedenza: la sua parte reale è positiva e costituita solo da resistori, la parte immaginaria solo da componenti dinamici. La parte reale dell’impedenza prende il nome di resistenza e viene indicata con R T : 2Pa RT = 2 |I| La parte immaginaria dell’impedenza è detta reattanza e viene indicata con XT : 4ω(WL − WC ) XT = |I|2

Interpretazione fisica dell’ammettenza Utilizzo Norton:   1 𝑉 𝑌𝑁∗𝑉 ∗ = 𝑃𝑅 + 𝑗2𝜔(𝑊𝐿 − 𝑊𝐶 ) 𝐼  = 𝑌𝑁 𝑉 𝑌𝑁∗ =

2 𝑃𝑅 +𝑗2𝜔(𝑊𝐿 −𝑊𝐶 ) 1 2 |𝑉 2 |

 significato fisico dell’ammettenza

La parte reale dell’ammettenza prende il nome di conduttanza e viene indicata con GN : 2Pa GN =  2 |V |

La parte immaginaria dell’ammettenza è detta suscettanza e viene indicata con BN : 4ω(WC − WL ) BN = |2 |V

Unità di misura La potenza complessa per convenzione si misura in Volt-Ampere  [VA] La parte reale della potenza complessa, o potenza attiva, si misura in Watt  [W] La parte immaginaria della potenza complessa, o potenza reattiva, si misura in Volt-Ampere Reattivi  [VAR]. Lo strumento di misura per la potenza reattiva si chiama varmetro.

Esempio: il giratore Per evidenziare quanto appena visto, consideriamo ora un particolare componente, che prende il nome di giratore. Il giratore è un doppio bipolo resistivo e tempo-invariante. Tale componente viene oggi realizzato come componente composito.

i (t) = g ∙ v2 (t) { 1 i2 (t) = −g ∙ v1 (t)

Simbolo del giratore. Per prima cosa, possiamo dimostrare che la potenza istantanea da esso assorbita è sempre nulla: pa (t) = i1 (t) ∙ v1 (t) + i2 (t) ∙ v2 (t) = g ∙ v2 (t) ∙ v1 (t) − g ∙ v1 (t) ∙ v2 (t) = 0 Inoltre, possiamo dimostrare che la potenza complessa assorbita da tale componente non è nulla. Come è ovvio però la parte reale (potenza attiva) sarà sempre uguale a zero, perché è la media della potenza istantanea da esso assorbita, che, come abbiamo appena visto, è sempre nulla.

Giratore nel dominio dei fasori (ω = 1 rad/s). A tale scopo, possiamo introdurre la relazione costitutiva del giratore nel dominio dei fasori, che sarà la seguente: 2 I = g ∙ V {1 1 I2 = −g ∙ V Abbiamo perciò: 1 ∗ g g 1 g ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ ) ] = j gIm(V1  1 V   I ∗ +   ∗ = [V1  Sa = V VV V I = V V2 ) V2 − (V V −  2 2 2 1 2 22 2 1 2 2 11 Tale dimostrazione ci aiuta a capire che anche nel caso del trasformatore è ragionevole ipotizzare che la potenza attiva fosse nulla, ma non potevamo a priori dire nulla sulla potenza reattiva. Consideriamo ora il seguente bipolo e calcoliamone l’equivalente Thevenin. Potremo così verificare che l’interpretazione in termini energetici di tale impedenza è in questo caso errata.

Bipolo di esempio.

Possiamo rappresentare tale bipolo nel dominio dei fasori. Siccome nel bipolo non sono presenti generatori indipendenti, il fasore della tensione forzata dell’equivalente Thevenin sarà nullo. Per il calcolo dell’impedenza dovremo invece risolvere il circuito in figura.

Bipolo di esempio nel dominio dei fasori. Avremo, per la relazione costitutiva del giratore: 2 = I1 g∙V

→

 V2 = 1V

Inoltre, possiamo calcolare l’equivalente serie delle due impedenze nel circuito, che sarà un’impedenza: Z = (1 – j) Per la legge di Ohm abbiamo inoltre:  V2 1 1 1+j 1 = (− − j ) A ∙ I2 = − = − 1−j 1+j 2 Z 2 Sempre a seguito della relazione costitutiva del giratore, abbiamo: 1+j I 1 = − 2 = V V g 2 Circuito per il calcolo dell’impedenza L’impedenza dell’equivalente Thevenin sarà perciò: dell’equivalente Thevenin del bipolo  V1 1 + j = ZT =  d’esempio nel dominio dei fasori 1A 2 Osserviamo perciò che la reattanza dell’equivalente Thevenin è positiva, anche se all’interno del nostro bipolo non sono presenti induttori, e perciò.

Il teorema del massimo trasferimento di potenza (attiva) Introduzione Dato un bipolo B1 composito, in regime sinusoidale, quanta potenza istantanea media potrà al massimo generare tale bipolo? La risposta a questa domanda dipende solo dal bipolo B1 stesso, e ci viene fornita dal teorema del massimo trasferimento di potenza (attiva). Introduzione al Teorema del massimo trasferimento di potenza. Enunciato Ipotesi: 1. Sia dato un circuito lineare in regime sinusoidale, costituito da due bipoli compositi B1 e B2. Sotto tale ipotesi, potremo passare nel dominio dei fasori. Supponiamo che il bipolo B1 ammetta l’equivalente Thevenin.

2.

Passaggio al dominio dei fasori. Supponiamo che l a parte reale dell’impedenza dell’equivalente Thevenin sia strettamente positiva: Re(ZT ) > 0

Come vedremo, nell’ambito dei circuiti reciproci questa ipotesi implica solamente che ci siano dei resistori all’interno di B1 che assorbano una potenza non nulla. Osserviamo inoltre sin da ora che tale ipotesi è equivalente a supporre che il bipolo ammetta equivalente Norton, perché se abbiamo un’impedenza non nulla potremo certamente passare dall’equivalente Thevenin all’equivalente Norton (e viceversa). L’ipotesi che la parte reale dell’impedenza sia strettamente positiva si traduce inoltre nel porre la parte reale dell’ammettenza maggiore di zero: Equivalente Thevenin del bipolo B1. 1 ZT ∗ YN = = ZT |ZT |2 Perciò: ZT ∗ ) Re(YN ) = Re ( |ZT |2 E dunque, la parte reale dell’ammettenza ha lo stesso segno della parte reale dell’impedenza. 1 Nei bipoli reciproci 𝑍𝑇 |𝐼| 2 = 𝑃𝑅 + 𝑗2𝜔(𝑊𝐿 − 𝑊𝐶 ) 2 2𝑃

𝑅𝑒(𝑍𝑇 ) = |𝐼  2𝑅 > 0 |

Tesi: La massima potenza attiva generata dal bipolo B 1 è pari a:  N |2 |VT |2 |A Pgmax = = 8 ∙ Re(ZT ) 8 ∙ Re(YN ) Ciò significa anche che il bipolo B2 assorbe potenza attiva m...