Apunte Exp Alg y Factorizaciones PDF

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Semana 3 - M ́odulo 111 Expresiones AlgebraicasEs la representaci ́on de una o m ́as operaciones algebricas. Por ejemplo: (2a− 3 b) 2 b− 3 5 a 4 ab 1 T ́ermino AlgebraicoEs una expresi ́on algebraica formada por varios s ́ımbolos no separados entre s ́ı por (+) ́o (−). Los elementos de un t ́ermino ...

Description

Semana 3 - M´ odulo 1

1.ALGEBRA 1.1 Expresiones Algebraicas Es la representaci´ on de una o m´as operaciones algebricas. Por ejemplo: • (2a − 3b) •

2b − 3 5a

• 4ab

1.2 T´ ermino Algebraico Es una expresi´on algebraica formada por varios s´ımbolos no separados entre s´ı por (+) o´ (−). Los elementos de un t´ermino son: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Ejemplos: • 4a • −5a2 b •

15a 2b

1.3 Clasificaci´ on de Expresiones Algebraicas: • Monomio: Consta de un s´ olo t´ermino algebarico. Ejemplo: 4b • Multinomio: Consta de m´ as de un t´ermino algebraico. Los multinomios m´ as utilizados son: – Binomios: Constan de 2 t´erminos algebraicos. Ejemplo: a + b – Trinomios: Constan de 3 t´erminos algebraicos. Ejemplo: 4a − 3b + 5ab

1.4 T´ erminos Semejantes Dos o m´ as t´erminos son semejantes si tienen la misma parte literal (iguales letras e iguales exponentes). Por 7ab2 ejemplo: 21ab2 ; −1.5ab2 y son t´erminos semejantes. 3

1.5 Operatoria de Expresiones Algebraicas 1.5.1 Suma y Resta de Multinomios Se resuelve reduciendo los conjuntos de t´erminos semejantes que existan entre los polinomios sumados o restados.

1.5.2 Multiplicaci´ on de Multinomios Para multiplicar tomamos el primer t´ermino del primer multinomio y lo multiplicamos con cada uno de los t´erminos del segundo multinomio, y as´ı continuamos sucesivamente hasta terminar con todos los t´erminos del primer multinomio. Al multiplicar dos multinomios deben considerarse: • Regla de los signos: El producto de dos factores de igual signo es positivo y el de dos factores de distinto signo es negativo. • Multiplicaci´on de Potencias de igual base: Recuerde que para multiplicar potencias de igual base, se eleva la base com´ un a la suma de los exponentes. Ejemplo: (a + 5) · (a2 − 3) = a · (a2 − 3) + 5 · (a2 − 3) = a3 − 3a + 5a2 − 15

1.6 PRODUCTOS NOTABLES Estos son productos que cumplen con ciertas reglas que permiten hacer m´ as simple su c´alculo: • Cuadrado de Binomio: Corresponde al cuadrado del primer t´ermino sumado o restado con el doble del producto del primero por el segundo, m´as el segundo t´ermino al cuadrado. Algebraicamente: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Ejemplo: Desarrollar (2a − 3b)2 . Soluci´ on: Si observamos la ”f´ ormula”, tenemos que: (2a − 3b)2 = (2a)2 − 2 · 2a · 3b + (3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2 • Suma por su Diferencia: Corresponde al desarrollo del primer t´ermino al cuadrado, menos el segundo t´ermino al cuadrado. Algebraicamente: (a + b)(a − b) = a2 − b2 Ejemplo: Desarrollar (5ab + 4a) · (5ab − 4a). Soluci´ on: Multiplicando directamente: (5ab + 4a) · (5ab − 4a) = (5ab)2 − (4a)2 = 25a2 b2 − 16a2 • Cubo de Binomio: Cooresponde al desarrollo del primer t´ermino al cubo sumado o restado con el triple producto del primero al cuadrado por el segundo, sumado con el triple producto del primero por el segundo al cuadrado y sumado o restado con el segundo t´ermino al cubo. De igual forma que los casos anteriores: (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 Ejemplo: Desarrollar (1 − 2a)3 . Soluci´ on: Observe que: (1 − 2a)3 = 13 − 3 · 12 · 2a + 3 · 1 · (2a)2 − (2a)3 = 1 − 6a + 12a2 − 8a3

1.7 FACTORIZACION Factorizar es una t´ecnica que se utiliza para escribir una expresi´on algebraica como producto entre dos o m´ as factores. Veremos algunos casos de factorizaci´ on especiales de uso com´ un. • Factor Com´ un: Buscamos un t´ermino com´ un a todos los t´erminos algebraicos presentes. Es decir: ab + ac − ad = a · (b + c − d) • Trinomio Cuadrado Perfecto: primero ordenamos el trinomio dejando en los extremos los cuadrados perfectos. Por ejemplo: 2a + a2 + 1 = a2 + 2a + 1 Luego extraemos la ra´ız cuadrada a los cuadrados perfectos (de a2 y de 1) obteniendo: (a + 1)(a + 1) = (a + 1)2 • Diferencia de cuadrados: Este caso corresponde a binomios de la forma a2 − b2 , que claramente era el desarrollo de una suma por su dieferencia, por tanto: a2 − b2 = (a + b)(a − b) 25a4 − c4 nos queda: b2   2  2  5a 5a 25a4 4 2 2 −c = +c · −c b2 b b

Poe ejemplo, si queremos factorizar

• Trinomio de la forma x2 + bx + c: Buscamos, si es que existen, dos n´ umeros, d y e tal que sumados den b y que multiplicados den c. En otras palabras x2 + bx + c = (x + d)(x + e). Por ejemplo, para factorizar x2 − 7x + 12, vemos que los n´ umeros −4 y −3 son tales que la suma es −7 y el producto 12, por tanto la factorizaci´on es (x − 4)(x − 3). • Suma o Diferencia de Cubos Perfectos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Por ejemplo, para factorizar 1 − 8x3 , se aprecia que 1 − 8x3 = 13 − (2x)3 , con lo cual a = 1; b = 2x, por tanto la factorizaci´on es: 1 − 8x3 = (1 − 2x)(12 + 1 · 2x + 4x2 ) = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x2 ) Cabe se˜ nalar que una de las utilidades de la factorizaci´on est´a en simplificar expresiones algebraicas, definidas especialmente como cuocientes. Por ejemplo, si se quiere encontrar la expresi´on algebraica x2 + 3 x − 4 , se puede observar que si factorizamos ambos trinomios llegamos a: m´ as simplificada de 2 x − 6x + 5 ✘ x+4 x2 + 3x − 4 ✘ (x✘ −✘1)(x + 4) = = ✘ 2 ✘ (x − 1)(x − 5) ✘ x − 6x + 5 x−5 ✘

En muchas ocasiones, la simplifiaci´on de expresiones algebraicas puede venir acompa˜ nada con c´alculos previos que involucren operatoria en Z y Q. Ejemplo: Utilizando operatoria en Z y Q y factorizaciones, encontrar la expresi´ on m´as simplificada de:     a ab + a2 b+a− · 1+ b + 2a b+a Sol: Para comenzar a simplificar este problema en particular, podemos reducir, simult´ aneamente los par´entesis, para finalmente comenzar con la simplificaci´on que se muestra en el desarrollo siguiente:         (b + a)(b + 2a) − (ab + a2 ) b+a+a a ab + a2 = b+a− · · 1+ b+a b + 2a b+a b + 2a =



✚ − a2 ✚ + 2a2 − ✚ ab ab b2 + 2ab + ✚ b + 2a

=

   ✘ ✘ ✘2a a2 + 2ab + b2 ✘ b + 2a b+ · = · ✘ ✘ ✘2a b+ b+a ✘ b+a

1 (a + b)2 · =a+b 1 a+b...