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ALGEBRA LINEAL

UJED FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS Y ARQUITECTURA 1

SEGUNDO SEMESTRE

ALGEBRA LINEAL

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. M.C. Hilda Santos Contreras

ALGEBRA LINEAL

Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano

CONTENIDO TEMÁTICO

I.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  Sistemas lineales y casos solución

2

 Métodos de solución:  Método de Igualación  Método de Sustitución. II.

MATRICES Y DETERMINANTES  Definición de matriz mxn  Clasificación de matrices  Operaciones con matrices  Suma resta. Condiciones.  Multiplicación de una matriz por “K”. Condiciones.  Multiplicación de dos matrices A*B. Condiciones.  Potencia de matrices. Condición.  Tansposición  Matriz inversa

III.

DETERMINANTES  Definición  Métodos para obtener determinante según el tamaño de la matriz  Matriz inversa por Cofactores  Practica en Matlab

IV.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES MEDIANTE LA UTILIZACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES

M.C. Hilda Santos Contreras

ALGEBRA LINEAL

 Método Cramer, ventajas y desventajas. Sistemas homogéneos.  Método Gauss-Jordan, ventajas y desventajas  Método de Inversa por Gauss-Jordan  Práctica en Matlab

DIAGNÓSTICO. 1. EXPRESA CON TUS PALABRAS QUE ES UNA FUNCIÓN Y DA UN EJEMPLO. 2. DEFINE DOMINIO, VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE. 3. REALIZA LAS OPERACIONES INDICADAS

Operaciones con fracciones.

1.

(

)() ( 3 1 7 5 1 3 4. ( )( )+( − ) 5. ( 2 ) ( ) ÷ 2 5 2 4 2 5

)

5 1 2 1 16 5 5 8 − ( 2 ) 3. ÷ +12 −1 + 2. + 3 15 3 5 2 2 2 4

Operaciones algebraicas.

(

1

)

3 2 2 x3 4 x −3 x +10 2 x− 13 x 2. 2 x2 x 5 3 2 x −3 3.( 2 x 4 −10 x 2 +5 x ) √ x 4 4. 2 x

1.

3

5. ( √ x ) (2 x )+ x 2 3

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a) Resolver el sistema lineal por el MÉTODO DE REDUCCIÓN

Ec. 1 Ec. 2 Ec. 3

3x + 6y - 6z = 9 2x - 5y + 4z = 6 -x+16y - 14z =-3

b) Mediante observación determinar las ecuaciones del sistema

y

comprobar

su

solución.

M.C. Hilda Santos Contreras

3

ALGEBRA LINEAL 8 6 4 2 -5

-4

-3

-2

-1

0 0

1

2

3

4

5

-2 -4

4

-6 -8 -10

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos términos algebraicos. Involucra una o más variables y el símbolo de igualdad =. El término lineal proviene de la palabra línea. La ecuación tiene como característica que todas sus variables se encuentran elevadas a la potencia 1. Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las variables que hacen verdadera la igualdad expresada. EJEMPLO: 4x=3; en esta ecuación el valor de x=3/4 es el único que hace la igualdad verdadera. Sustituyendo tenemos que: 4(3/4)=3 3 = 3 igualdad verdadera

2y=10; en este caso el valor de y=10/2; y=5, es el único valor que hace la igualdad verdadera. Sustituyendo tenemos que: 2(5)=10 10 = 10 igualdad verdadera

Cuando deseamos resolver varias ecuaciones al mismo tiempo en una colección de “m” ecuaciones lineales con “n” variables, esto conforma un SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES, donde buscamos encontrar los valores de las variables que de forma simultánea sean solución para todo el sistema. Existen diferentes métodos para solucionar un sistema lineal, independientemente del que se decida emplear, tenemos tres casos de solución que podemos encontrar: CASO I

CASO II

CASO III

M.C. Hilda Santos Contreras

ALGEBRA LINEAL

NO SOLUCIÓN INFINITAS SOLUCIONES SOLUCIÓN ÚNICA Existe un único valor para Existen infinitas opciones No existe un solo valor que sea compatible para el para cada variable. cada variable. sistema. SE CUMPLE CON LA IGUALDAD DE CADA ECUACIÓN DEL NO SE CUMPLE LA SISTEMA IGUALDAD MÉTODOS DE SOLUCIÓN: Existen muchos más métodos para solucionar un sistema lineal, en esta unidad veremos dos. 1. Método de Igualación 2. Método de Sustitución

Método de igualación

Ejemplo: Una compañía elabora tres productos que han de ser procesados en tres departamentos diferentes. En la tabla se resumen las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento. Además de las capacidades de horas disponibles totales por semana en cada

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5

ALGEBRA LINEAL departamento. Se desea determinar si hay combinaciones de los tres grupos que aprovechen al máximo las capacidades semanales de los tres departamentos. Producto Departamento Corte Cocimiento Empaque

Varilla

Cemento

Cal

2 3 4

3.5 2.5 3

3 2 2

Horas disponibles a la semana 1200 1150 1400

x= unidades de varilla Modelo matemático:

y= unidades de cemento

Ec. 1 2x + 3.5y + 3z = 1200

z=unidades de cal

Ec. 2 3x + 2.5y + 2z = 1150 Ec. 3 4x +

Cada ecuación representa un

3y + 2z = 1400

Resolviendo: Despejando “z” en las tres ecuaciones:

z=

1200−2 x−3.5 y 3

z=

1150− 3 x − 2.5 y 2

z=

1400−4 x−3 y 2

Igualando las ecuaciones despejadas en “z”, haciendo diferentes combinaciones:

Combinando 1 y 2 1200−2 x −3.5 y 1150−3 x −2.5 y = 2 3

Cruzamos los denominadores, y tenemos:

( 2) (1200−2 x−3.5 y )=(1150−3 x−2.5 y )(3) 2400−4 x−7 y =3450−9 x−7.5 y −4 x +9 x −7 y +7.5 y=3450−2400 5 x+0.5 y =1050 ec. 4 Combinando 2 y 3 1150−3 x−2.5 y 1400−4 x−3 y = 2 2 Al ser los mismos denominadores no será necesario cruzar, simplemente se eliminan: M.C. Hilda Santos Contreras

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ALGEBRA LINEAL

1150 −3 x −2.5 y=1400−4 x−3 y −3 x+4 x −2.5 y +3 y=1400 −1150 x + 0.5 y =250 ec .5 Despejamos “x” en ec. 4 y ec. 5

x=

1050−0.5 y 5

x=

250−0.5 y 1 7

Igualando las ecuaciones despejadas en “x”, tenemos:

1050−0.5 y 250−0.5 y = 5 1 Se cruzan los denominadores, y tenemos:

( 1 ) (1050−0.5 y ) =(250−0.5 y )(5 ) 1050−0.5 y =1250−2.5 y −0.5 y +2.5 y=1250−1050 2 y=200 y=100 Sabiendo que y=100, sustituimos para encontrar Conociendo x=200; y=100, sustituimos en ec.1 “x” en la ec. 4 para encontrar “z”

x=

1050− 0.5 (100 ) 1050−0.5 y ; x= 5 5

x=

1000 1050−50 ; x= 5 5 x=200

1200−2 x −3.5 y ; 3 1200−2(200 )−3.5 (100 ) z= 3 1200−400−350 1200 −750 z= ;z= 3 3 450 z= ; z =150 3 z=

Ese resultado nos indica que existe una combinación adecuada para producir cemento, varilla y cal aprovechando al máximo las horas de trabajo en cada departamento. Esas cantidades son: 200 unidades de cemento, 100 unidades de varilla y 150 unidades de cal. Esta producción cumple con las condiciones de aprovechamiento de las horas disponibles en cada departamento que forma el proceso. COMPROBANDO:

DEPARTAMENTO DE CORTE Ec. 1 2x + 3.5y + 3z = 1200

DEPARTAMENTO DE COCIMIENTO Ec. 2 3x + 2.5y + 2z = 1150

DEPARTAMENTO DE EMPAQUE Ec. 3 4x + 3y + 2z = 1400

2(200) + 3.5(100) + 3(150) = 1200

3(200) + 2.5(100) + 2(150) = 1150

4(200) + 3(100)+2(150) = 1400

400 + 350 + 450 = 1200 1200= 1200

600 + 250 + 300 = 1150 1150 = 1150

800 + 300 + 300 = 1400 1400 =1400

IGUALDAD VERDADERA

IGUALDAD VERDADERA

IGUALDAD VERDADERA

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ALGEBRA LINEAL EJERCICIO 1: Resolver el ejercicio. Un fabricante de café quiere mezclar tres tipos de granos en una mezcla final del producto. Les tres tipos de grano cuestan: Veracruzano $1.2, Colombiano $1.6 y Cubano $1.4 por kilo. El fabricante quiere mezclar un lote de 40,00 kilos y tiene un presupuesto de $ 57,600 para la compra de café. La única restricción en la combinación es que la cantidad del grano colombiano debe ser el doble del grano veracruzano, esto es indispensable para evitar el sabor amargo. El objetivo es determinar si existe una combinación de los tres componentes A) que forme una mezcla de 40,00 kilos, B) que el costo total sea de $57,600 y, c) que se combine como la restricción lo pide. x= Café Veracruzano; y= Café Colombiano; z= Café Cubano

Ec. 1 x + y + z = 40,000 esta representa la combinación de las tres mezclas de café. Ec. 2 1.2x+1.6y+1.4z=57,600 esto representa la cantidad que se puede gastar. La restricción de la receta se expresa: y=2x;

Ec. 3

-2x+y=0, lo que indica que el café colombiano se mezclará al doble de veracruzano. (8,16,16)

Método de Sustitución

Un dietista está planeando un menú para el almuerzo de la cafetería de la Facultad. Se servirán tres alimentos que tienen distinto contenido nutricional. La meta es que la combinación de

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ALGEBRA LINEAL estos alimentos cumpla con los niveles diarios mínimos de tres vitaminas. En la tabla de abajo se muestra el contenido vitamínico por onza de cada alimento. Además de los niveles diarios mínimos de las tres vitaminas. Calcular el número de onzas de cada alimento que se debe incluir en el almuerzo, de modo que se alcancen los niveles recomendados. Vitamina

Alimento 1

Alimento 2

Alimento 3

1 2 3

5 2 1

3 1 5

2 3 2

Mínimos requeridos 29 20 21 En unidades de mg/oz

x= Alimento 1 y= Alimento 2

Ec. 1

5x+3y+2z = 29

Ec. 2

2x+ y+3z

Ec. 3

z=Alimento 3 Cada ecuación representa un tipo de Vitamina

x+5y+2z = 2

La igualdad representa los requerimientos mínimos necesarios que deben aportar los tres alimentos.

Resolviendo mediante sustitución: Despejamos “x” en Ec. 1

x=

29−3 y−2 z 5

Sustituimos “x” en Ec. 2

Sustituimos “x” en Ec. 3

29−3 y−2 z 2 + y +3 z=20 5 Para eliminar la fracción, multiplicamos: 29−3 y−2 z + y +3 z=20 ∗5 2 5 Tenemos: 58−6 y −4 z +5 y +15 z=100 − y +11 z=100−58 − y +11 z=42 ecuación 4

Para eliminar la fracción, multiplicamos: 29−3 y−2 z + 5 y + 2 z=21 ∗ 5 5 Tenemos: 29−3 y −2 z +25 y +10 z=105 22 y+ 8 z =105−29 22 y+ 8 z =76 ecuación 5

(

)

[(

)

Despejamos “z” en ec. 4 42+ y z= 11 Sustituimos “z” en ec. 5 42+ y 22 y+ 8 =76 11

(

)

]

( 29−35y−2 z) +5 y +2 z =21

[(

)

]

Sustituimos y=2, en ec. 4 −( 2 )+ 11 z=42 11 z=42 + 2 44 z= 11

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ALGEBRA LINEAL

Para eliminar la fracción, multiplicamos: 42+ y 22 y + 8 =76 ∗11 11 242 y +336 +8 y=836 250 y=836 −336 500 y= 250 y=2 onzas alimento 2

[

(

)

onzas alimento 3 Sustituimos y=2, z=4, en ec. 1 z=4

]

29−3 y−2 z 5 29−3 y−2 z x= 5 29−6 −8 x= 5 15 x= 5 x=3 onzas alimento 1 x=

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Se comprueba de la forma acostumbrada y concluimos: La combinación adecuada será el consumo de 3oz alimento 1; 2 oz de alimento 2 y 4 oz de alimento 3, de esta forma se cumple con los requerimientos mínimos de las tres vitaminas. Ejercicio I Una compañía fabrica tres productos, los cuales han de procesarse en tres departamentos. En la tabla se proporciona la información acerca de las horas requeridas por cada producto, así como la capacidad disponible mensualmente en cada departamento. Formular el sistema que representa el problema. Resolverlo y dar respuesta a los incisos: A) Exprese la combinación adecuada a producir. B) ¿Cuántas horas se utilizan del DEPARTAMENTO 1 en la fabricación del PRODUCTO A? C) ¿Cuántas horas se utilizan del DEPARTAMENTO 3 en la fabricación del PRODUCTO A Y PRODUCTO C? DEPARTAMENTO

PRODUCTO A

PRODUCTO B

PRODUCTO C

1 2 3

6 7 5

2 4 5

2 1 3

HORAS DISPONIBLES 80 60 100 (5,0,25)

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ALGEBRA LINEAL Un dietista está planeando una comida que consta de tres alimentos. Se requiere que la comida satisfaga las necesidades diarias mínimas de tres vitaminas. A continuación se proporciona la información respecto al contenido vitamínico por alimento, expresado en mg/oz. Alimento

Vitamina 1

Vitmina 2

Vitamina 3

1 4 2 1 2 6 8 6 3 3 4 2 Requerimiento mínimo 52 56 34 Determinar si existe combinación que satisfaga los requerimientos necesarios.

11

(4,3,6)

RESOLVER LOS SISTEMAS POR IGUALACIÓN O SUSTITUCIÓN.

x + 5y = -4 -3x - 2y = -5

EC. 1 EC. 2

EC. 1 x - 2y + z = 10 EC. 2 3x - 2y + 4z = 20 EC. 3 -3x + 6y – 3z = -30

EC. 1 5x - 2y = 25 EC. 2 4x + y = 7 EC. 3 2x – 5y = 31 Ec. 4 x + y = -2

MATRICES DEFINICIÓN. A un arreglo rectangular de números que consta de “m” renglones y ”n” columnas se le denomina matriz m x n, o matriz de orden m x n.

[

]

a11 a 12 … a1 n A= a21 a 22 … a2 n am 1 am 2 … amn

A los números que constituyen una matriz se les denomina elementos. Cada elemento de la matriz guarda un orden dentro de la misma, que se expresa en renglones y columnas. Por ejemplo, el elemento a 21 es aquel que se encuentra en el renglón 2 y columna 1. En una matriz, los renglones o filas horizontales se enumeran en forma consecutiva de arriba abajo y las columnas o hileras verticales se numeran de izquierda a derecha. Se utilizan letras mayúsculas en negrillas para presentar simbólicamente una matriz. Una matriz nos permite representar un sistema de ecuaciones lineales, dándole un orden en renglones “m” que representan las ecuaciones del

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ALGEBRA LINEAL sistema, y en columnas “n” que representan las variables dentro del sistema. Por ejemplo, considérese el sistema de ecuaciones lineales siguiente: Sistema: LAS ECUACIONES MATRIZ COLUMN “m” REPRESENTAN CARACTERÍSTICA A Ec. 1 RENGLONES, AUMENT MIENTRAS QUE LAS ADA 3x+4y+3z=8 COLUMNAS “n” x y z = Ec. 2 2x+ y REPRESENTAN z=0 3 4 3 8 VARIABLES Ec. 3 9x-6y SISTEMA “mxn”

+2z=13

2

1

-1

0

9

-6

2

13

MATRIZ AUMENTADA DEL SISTEMA

En caso de no estar expresada una de las variables en alguna ecuación es importante llenar ese espacio con un cero, nunca dejarlo en blanco para que no haya confusiones posteriores. EJEMPLO SISTEMA 5x - 3y + z = 12 -6x + 2y =-16 4x + 5z =12

[

REPRESENTACION MATRICIAL

5 −3 1 ⋮ 12 −6 2 0 ⋮ −16 4 0 5 ⋮ 12

]

MATRIZ CARACTERISTICA DEL SISTEMA

CONCEPTOS IMPORTANTES DE MATRICES. MR. Matriz renglón Una matriz que tiene sólo un renglón. Por ejemplo:

[

A= 1

4 7 −5 5

]

1X4

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ALGEBRA LINEAL MC. Matriz columna Una matriz que tiene sólo una columna. Por ejemplo:

1 5 2 B= 4 2 5

[]

4 x1

MU. Matriz Unitaria Es una matriz de cualquier orden mxn, donde todas sus

[ ]

1 1 1 entradas son 1. C= 1 1 1 1 1 1

13

n =3

Mn. Matriz cuadrada Una matriz que tiene el mismo número RENGLONES (m) y COLUMNAS (n), se denomina de orden n. Por ejemplo:

[ ]

4 7 −5 7 4 0 2 2 D¿ 3 8 −2 1 1 2 −5 1 5 1

n =4

DP. Diagonal Principal En una matriz cuadrada de orden n, los elementos a11, a22, a33,..., a mn, se denominan elementos de la diagonal principal. Por ejemplo:

[

]

1 4 7 E¿ 2 7 4 Los elementos de la diagonal principal son: 1, 7, -2. 3 8 −2 n=3 MTS. Matriz Triangular Superior Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal DP son cero. Por ejemplo:

[

1 F= 0 0 0

]

4 7 −5 7 4 0 0 −2 1 0 0 2 n=4

MTI. Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que están por encima de la diagonal principal DP son cero. Por ejemplo:

[

]

−5 0 0 G= 3 1 0 9 2 4 n=3 MI. Matriz Identidad Es una matriz cuadrada en donde los elementos de la DP son solamente unos mientras que los demás son ceros.

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ALGEBRA LINEAL

1 0 0 H= 0 1 0 0 0 1 n=3

[ ]

Este concepto es muy importante, la matriz identidad representa la unidad en matrices así como el 1 lo es en aritmética. MD. Matriz Diagonal. Es una matriz cuadrada que tiene entradas solamente en la DP, mientras que los demás elementos son ceros.

[

1 0 I= 0 0

0 0 0 7 0 0 0 −2 0 0 0 2

]

14

n =4

MT . M’ Matriz transpuesta. La transposición de una matriz se realiza invirtiendo el orden de la misma, y al mismo tiempo también se invierte el orden de la posición que ocupa cada uno de sus elementos. Ejemplo.

[

]

−511 11 12 −5 11 712 913 J = 7 21 822 JT = 1121 8 22 423 931 4 32 3 x 2

[

]

2 x3

M-1 Matriz inversa. La inversa de una matriz suple la operación de división en matrices ya que esta operación no existe. Y se interpretaría de la siguiente manera:

1 =1∗A−1 A

Ejercicio I Relacionar los conceptos de la tabla siguiente: 1. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 2. MATRIZ IDENTIDAD 3. MATRIZ CUADRADA 4. TRANSPONER UNA MATRIZ 5. MATRIZ DIAGONAL

( ( ( ( (

6. a23 7. MTI 8. MC

) ) ) )

Ceros debajo de la D.P. Invertir orden y elementos Elementos solo en la D.P. Elementos 1 en D.P., todo lo demás 0. Ceros por arriba de la D.P )

( ) mx1 ( ) Posición; renglón 2-columna

9. MR 10.

( ) m=n

M

T

( (

3 ) Matriz transpuesta ) 1xn

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ALGEBRA LINEAL

1. Construir una MC con 5 elementos mn= -3m+4n.

mn=

2. Construir una MTS4 con elementos

2m−3 n , (en caso de valores no 2

divisibles entre dos, dejar en fracción) 3. Crear una MI5 4. Crear una Mn3, con elementos

mn=

6 m−3 n , y señalar la D.P. 3

15

5. Considerar las matrices siguientes y hacer lo que se pide:

[

−6 A= 1 4

1 −7

]

[

B= −7 −2

1 11

]

[ ]

C=

−3 7

−10

[

0 11 4 3

−2 D= 1 2

−5 −1 −8

2 0 −3

]

a) Llenar la tabla identificando los elementos que se indican: a21= c12=

b32= d42=

b23= b11=

d11= a12=

b) Señalar el tamaño de cada una de las matrices anteriores c) Obtener DT

O...