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practica sobre programación lineal...

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zL

Nombre del estudiante: Jose Manuel Almanza Nieto.

Nombre del trabajo: Manual de Algebra Lineal

Materia: Algebra lineal

Fecha de entrega:29 de mayo de 2019.

Campus: Querétaro

Carrera /Prepa: Ing. Industrial y de S.

Semestre/Cuatrimestre: 4° Semestre

Nombre del maestro: Edson Eduardo Cruz Miguel

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Índice Tema

Pagina

Combinación lineal………………………………………………………………..3 Combinación lineal ejemplo………………………………………………………3 Combinación lineal ejercicio……………………………………………………...4 Base de un espacio vectorial…………………………………………………...….5 Base de un espacio vectorial ejemplo......……………………………………..…. 5 Base de un espacio vectorial ejercicio…………………………………………….6 Dimensión de un espacio vectorial………………………………………………..7 Dimensión de un espacio vectorial ejemplo..……………………………………..7 Transformaciones lineales………………………………………………………...8 Transformaciones lineales ejemplo.…..…………………………………………...8 Transformaciones lineales ejercicio…..…………………………………………...9 Valores y vectores propios………..………………………………………………10 Valores y vectores propios ejemplo.………………………………………………10 Valores y vectores propios ejercicio.………………………………………………11 Método de Gram–Schmidt…………………………………………………………13 Método de Gram–Schmidt ejemplo………………………………………………..13 Referencias………………………………………..……………………………….16

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Combinación Lineal Si x 1 , x 2 , … , x k la forma:

con vectores con n componentes, una combinación lineal con ellos es una expresión de

1+¿ c 2 x 2 +…+c k x k c1 x ¿ donde los coeficientes Si

x 1 , x 2 , … , ck

son escalares.

Este concepto no es del todo desconocido. En ecuaciones diferenciales lineales y homogéneas, teniendo la solución general

y ( t )=c 1 y 1 (t ) +…+ c n y n ( t ) para obtener soluciones particulares se deben determinar los valores de las constantes ci. Es decir, se escogen los coeficientes de una combinación lineal.

Problema 1 Dados los vectores x 1 , x 2 ... , x k , y el vector “y”, todos ellos vectores con “n” componentes, ¿Cómo saber si el vector y es una combinación lineal de los vectores x 1 , x 2 ... , x k ?. Sencillo: viendo si existen c1, ..., ck; escalares que cumplan

c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c k x k

Para ello se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales. Esto es semejante a lo que se hacía en Ecuaciones Diferenciales Lineales y se buscaba una solución particular. Por ejemplo, si

() () () ( )

2 4 2 2 x 1= 3 , x2 = 6 , x 3= 4 , y = 1 2 4 6 −6

¿Diga si el vector “y” es combinación lineal de Buscamos constantes

x 1 , x 2 y de x 3 ?

c 1 , c 2 yc 3 que cumplan:

c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3= y Sustituyendo y desarrollando productos:

(

)( )

2 c 1+ ¿ 4 c2 +¿ 3 c 3 2 3 c 1+ ¿ 6 c 2+¿ 4 c 3 = 1 −6 2 c 1+ ¿ 4 c 2 +¿ 6 c 3

Ahora, para que dos vectores sean iguales, deben ser iguales componente a componente, es decir:

2 c 1+¿ 4 c 2 +¿ 3 c 3=2 1 3 c 1+ ¿ 6 c 2+¿ 4 c 3=¿ 2 c 1+¿ 4 c2 +¿ 6 c 3=−6 Para resolver este sistema formamos la aumentada y reducimos:

3

2 4 2 2 1 2 0 3 3 6 4 1 → 0 0 1 −2 2 4 6 −6 0 0 0 0

( |)( |)

Viendo la posición de los pivotes, concluimos que el sistema es consistente; y, por tanto, sí existen constantes - c 1 , c 2 y c 3 que cumplan el sistema de ecuaciones planteado. De hecho, haciendo cero las variables libres que aparecen en la reducida ( c 2 = 0) obtenemos una solución particular:

c 1=3 y

c 3=¿ -2

Con la cual es fácil comprobar que:

3 x1 + 0 x 2−2 x 3= y Es importante observar cómo se forma la matriz aumentada directamente de los datos: Para buscar constantes c 1 , c 2 , c3 que cumplan:

c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3= y Se debe resolver el sistema cuya aumentada es

{ x 1 x 2 x 3| y }

Es decir, la aumentada se forma con los vectores que se quieren combinar a la izquierda y el vector que se desea ver si es combinación lineal a la derecha. Todos los vectores son colocados como columnas. Nuestro hecho principal es que: resolver un sistema de ecuaciones lineales a buscar la combinación lineal entre un conjunto de vectores

{ x 1 x 2 … x k|y }

equivale

x 1 , x 2 , … , xk para obtener el vector “y”.

Ejercicio: 1) Comprobar que el vector u (3, 9) es combinación lineal del vector v (1, 3)

{

(3,9 )=k ( 1,3 )→ 3=1∗k → k=3 9=3∗k Son dependientes o proporcionales

1 9 = 7 3

 U es combinación lineal del vector v 2) Comprobar que el vector u (2, 3) no es combinación lineal del vector v (-1, 5)

{

(2,3 )=k (−1,5)→ 2=−1∗k →no existek 3=5∗k  U no es combinación lineal del vector v

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Base de un espacio vectorial Se define como base de un espacio vectorial a un conjunto de vectores linealmente independientes tales que a partir de una combinación lineal de ellos se puede generar cualquier vector de ese espacio vectorial.

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Combinar linealmente dos o más vectores consiste en multiplicar los vectores por algún escalar y luego sumarlos vectorialmente. Por ejemplo, en el espacio vectorial de vectores en tres dimensiones conformado por R³ se usa la base canónica definida por los vectores unitarios (de magnitud 1) i, j, k. Donde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Estos son los vectores cartesianos o canónicos. Un vector cualquiera V perteneciente a R³ se escribe como V = a i + b j + c k, que es una combinación lineal de los vectores base i, j, k. A los escalares o números a, b, c se les conoce como las componentes cartesianas de V. Se dice también que los vectores base de un espacio vectorial forman un conjunto generador del espacio vectorial. La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman base para Rn. Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como: 1.

V = c1v1+ c2v2+…+ c nvn

2.

V = k1v1+ k2v2+…+ knvn

Restar 2-1 0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+ (cn- kn) vn Ejemplo: demostrar si S = {v1, v2, …, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4) Proponer vector arbitrario, combinación lineal b = c 1 v1 + c 2 v2 + c 3 v3 (b1, b2, b3) = c1(1,2,1) + c2(2,9,0) + c3(3,3,4) (b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3 c1 + 2c2 + 3c3 = b1 2c1 + 9c2 + 3c3 = b2 c1 + 4c3 = b3

Det A = [(1*9*4) +(2*3*1) +0]- [(1*9*3)+0+(4*2*2)] = [36+6]- [27+16] = -1

Si genera a R3

Ejercicio: Demuestre que los vectores v1=(1, 0, -1, 2); v2=(1, 1, 0, 1) y v3=(2, 1, -1, 1) de R ⁴son linealmente independientes.

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Solución: Combinamos linealmente los tres vectores v1, v2, v3 y exigimos que la combinación sume el elemento nulo de R⁴ a v1 + b v2 + c v3 = 0 Es decir, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0) Esto nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones: a+b+2c=0 b+c=0 -a – c = 0 2a+b+c=0 Restando la primera y la cuarta nos queda: -a + c = 0 lo que implica a =c. Pero si nos fijamos en la tercera ecuación, tenemos que a = -c. La única forma de que se cumpla a=c=(-c) es que c sea 0 y por tanto a también será 0. a = c =0 Si sustituimos este resultado en la primera ecuación entonces concluimos que b=0. Finalmente, a=b=c=0, de modo que puede concluirse que los vectores v1, v2 y v3 son linealmente independientes.

Dimensión de un espacio vectorial La dimensión de un espacio vectorial es el número cardinal de una base vectorial para dicho espacio; es decir, el número de vectores que conforman dicha base.

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Este cardinal es el máximo número de vectores linealmente independientes de ese espacio vectorial, y a la vez el mínimo número de vectores que forman un conjunto generador de dicho espacio. Las bases de un espacio vectorial no son únicas, pero todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma dimensión.

Ejemplo:   

. “n” tiene dimensión “n”, pues tiene una base de “n” elementos M 2x2= [matrices 2x2 con términos reales]tiene dimensión 4; Una base de M 2x2 P2= [polinomio de grado 2 con coeficientes reales] tiene dimensiones 3. Una base de p2; Por ejemplo; la formada por los tres polinomios siguientes: 1+0 x+ 0 x 2, 0+ x + 0 x 2, 0 +0 x+ x 2 (es decir, los polinomios 1, x, x2)

Transformaciones lineales una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW, y una función que va de VV a WW. O sea, una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de

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WW. Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F: V→WF: V→W es una transformación lineal si y sólo si: 1. 2.

F ( u+v )= F ( u) +F (v ) ∀u , v ∈ V F ( k . v ) =k . F ( v ) ∀v ∈V , ∀k ∈ R

Ejemplo: a determinar si la transformación T= R²→R² es lineal, primero comprobamos la suma:

Dado que es una transformación lineal seguimos con la fórmula:

Ahora, comprobamos si se cumple la condición con el escalar (c):

Como se cumplen las dos condiciones podemos definir con seguridad que T: R²→R², es lineal.

Ejercicio: Sea T una transformación lineal de

R2 → R3 tal que 9

−4 1 T 1 = 2 yT 0 = 0 0 1 3 5

()

()

Encuentre (a)

(a)

()

()

( ) ( )

T 2 y (b ) T −3 7 4

()

T 2 4

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )

T 2 =T 2 1 +4 0 =T 2 1 + 4 T 0 4 0 1 0 1

() ( )

1 −4 ¿ T 2 1 + 4 T 0 =2 2 + 4 0 0 1 3 5

() ()

¿

( ) −14 4 26

( ) T (−3 )=T (−3 ( 1) +7 (0 ) )=T −3( 1)+T 7 ( 0) 0 1 0 1 7 ( b) T −3 7

() ( )

−4 1 ¿−3T 1 +7 T 0 =−3 2 +7 0 0 1 5 3

() ()

( )

−31 ¿ −6 26

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Valores y vectores propios Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x 0 tal que:

A x0=λ x 0 Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x 0 se llama vector propio o eigenvector o vector característico asociado al valor propio λ.

Ejemplo: Para la matriz A

[ ]

A= 1 2 2 1

Indique cuales vectores son vectores propios:

[ ] [] [ ] [ ]

v 1= 1 , v 2= 2 , v 3= −1 , v 4= 0 1 3 2 1

Solución: v 1 es vector propio de A:

Veamos si

Av 1=

[12 21] [11] =(33)

Ahora veamos si

()

Av 1= 3 3

=3

es un múltiplo de v 1 :

Av 1

(11 )

= 3 Av 1

Por tanto,

v 1 sí es vector propio de A y está asociado al valor propio 3.

Veamos si

v 2 es vector propio de A:

Av 2=

[12 21] [23] =(87)

Ahora veamos si

Av 2

es un múltiplo de v 1 :

11

()

(23 )

Av 2= 8 ≠ k 7

Por tanto, v2 no es vector propio de A. El cálculo para v1 y para v2 se realizan en la calculadora como se ilustra en la siguiente figura.

Veamos si

v 3 es vector propio de A:

[ ][ ] ( )

Av 3= 1 2 −1 = 1 2 1 1 −1

Ahora veamos si

( )

Av 3= 1 −1

Av 3 es un múltiplo de v3:

( −11)

= −1

Por tanto,

v 3 sí es un vector propio de A y está asociado al valor propio -1.

Veamos si

v 4 es vector propio de A:

Av 4 =

[12 21] [02] =(42 )

Ahora veamos si

()

Av 4 = 4 ≠ k 2 por tanto,

Av 4

es un múltiplo de v 4 :

(02 )

v 4 no es vector propio de A

Ejercicio:

[

A= 2 −12 1 −5

Hallar los valores y los vectores propios de la matriz Det

(λl− A ) =0

λl− A= λ Det

]

[ 10 01]−[21

][

−12 λ−2 = −5 −1

12 λ+5

]

(λl− A ) =( λ−1 ) ( λ−2 )=0

Valores propios de la matriz A:

( λ=−1 ) ( λ=−2 ) 12

Sea

||

x= x 1 x2

un vector propio de A

X es un vector propio de A correspondiente a ( λl− A ) x=0 , es decir, solución no trivial:

[λ−2 −1 Si

λ

si solo si X es una solución no trivial de

][ ] [ ]

12 x 1 =0 λ+5 x 2 0

λ=−1 la ecuacion se transforma en:

12 x 1 = 0 [−3 −1 4 ] [ x 2 ] [ 0] x 2=0 x 1=4 x 2 {−3−xx 1+12 1+4 x 2=0 x 2=t x=|x 1|=| 4 t |=t |4| x2 t 1

son los vectores propios de A correspondientes a

Si

λ=−1

λ=−2

12 x 1 =0 [−4 −1 3 ] [ x 2 ] [ 0 ] x 2=0 x 1=3 x 2 {−4−xx 1+12 1+3 x 2=0 x 2 =t x= x 1 = 3 t =t 3 |x 2| | t | |1 |

son los vectores propios de A correspondientes a

λ=−2

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Método de Gram–Schmidt El proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro es perpendicular al primero. Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares. Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Pasos para aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt: 1. 2. 3. 4. 5.

A1=B1. Se toma A2 y se resta su proyección a lo largo de A 1 para obtener B2. Se toma A3 y se restan sus proyecciones a lo largo de B1 y B2 Para obtener B3. Se toma A4 y se restan sus proyecciones a lo largo de B1 B 2 B3. Para obtener B4 Se continua hasta que se genere un base ortogonal de W

Ejemplo: Dada una base de definida por:

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Mediante el proceso de Gram-Schmidt es posible construir una base ortogonal con respecto al producto interno usual de .

Se calculan los vectores u1 y u2 a partir de las fórmulas.

nótese que

de hecho, dado cualquier vector (a, b) en R2, para todo escalar α se cumple

Sea

el sistema definido por

Aplicamos el proceso, seleccionamos, por ejemplo

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y calculamos

luego

Análogamente se sigue para u3 que

finalmente se obtiene

que es una base ortogonal de R3 con respecto al producto escalar canónico.

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Referencias: cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-combinacion-lineal.pdf · Archivo PDF http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/vectores_plano/teoria/combinacion_lineal.html https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/teoria-1-6/1-6-basedimension.html Lipschutz, S. 1993. Álgebra lineal. Segunda edición. McGraw – Hill. 167 – 198. canizo.org/teaching/2005-6/Espacios_Vectoriales.nb.pdf https://www.youtube.com/watch?v=qxeKR7sWdhw http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-valores-propios.pdf https://algebraitesielectroma.blogspot.com/2016/11/46-base-ortonormal-proceso-de.html

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