Algebra Lineal Colaborativo PDF

Preview

Summary

EJERCICIOS...

Description

ALGEBRA LINEAL UNIDAD 2: TAREA 2 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES

INTEGRANTES: INGRID XIOMARA FANDIÑO DEISY YULIANA MINA ERIKA QUINTERO JARABA MARIA PAULA VILLAMAR VALLEJO

GRUPO: 100408_185

TUTOR: ANDRES FELIPE RAMIREZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD ECACEN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS ABRIL DE 2020

INTRODUCCION El álgebra lineal permite desarrollar el pensamiento abstracto de tipo matemático, contribuyendo así a la formación matemática del estudiante, teniendo en cuenta que en la actualidad se requiere de muchos problemas en diversos campos de ingeniería. Además su estudio proporciona poderosas herramientas de cómputo para resolver problemas que se plantean en matemáticas y ciencias. Por la importancia del Algebra Lineal en la carrera de administración y la necesidad de emplear nuevas tecnologías que vienen formando parte del día a día, brindando en la educación grandes posibilidades en los procesos de enseñanza y aprendizaje, en los educandos de la modalidad distancia, conllevando así a lo que la UNAD busca, una formación integral en futuros profesionales. En el presente trabajo se mostraran una serie de ejercicios donde aplicaremos lo visto durante el curso, y como este se aplica a diversos contextos, donde trataremos temas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales través de la utilización de diferentes métodos: de gauss, de eliminación gaussiana, empleando la factorización y la matriz inversa.

OBJETIVOS •

Desarrollar actividades y conocimientos relacionados con las temáticas anteriores comprendiendo e interiorizando los sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en R3 y espacios vectoriales, por medio de la metodología de estudio colaborativo y participativo.

•

Aplicar los diversos conceptos matemáticos de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos, expresando soluciones a problemas básicos que impliquen el uso de los mismos, justificando sus procedimientos y resultados.

•

Reconocer y analizar los diferentes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Entender e interpretar los conceptos relacionados con el tema espacios vectoriales, planteando un mapa práctico aplicando lo aprendido.

•

Mapas mentales

Mapa mental, literal B, sistemas lineales homogéneos, Erika Quintero.

•

Mapa mental Ejercicio 1 Letra C… Xiomara Fandiño. RECTAS EN EL ESPACIO

Es el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un conjunto punto P y con una dirección dada por Si es un punto de la recta y su vector director, el vector que va desde el punto a otro punto en la recta, tiene igual dirección que luego es igual a multiplicado por un escalar.

Tipo de ecuación

Paramétricas

Simétricas de la recta.

Característica

Característica

Permite representar en el plano o espacio una curva mediante valores que corren un intervalo de números reales mediante una variable llamada parámetro.

Ejemplo

Es la expresión de la recta en función de los segmentos que está determinada sobre los ejes de coordenadas.

Ejemplo

Vectoriales

Característica Para definir en forma vectorial una ecuación de la recta es suficiente e importante un punto en la recta y un vector.

Ejemplo

Mapa mental Ejercicio 1 letra D Link: https://app.creately.com/diagram/SjiDK9kDWLB/view

Mapa mental ejercicio 1 letra E, María Paula Link: https://coggle.it/diagram/XoeYeknCLqC4BAln/t/espacio-vectorial-y-sus-propiedades

•

Solución De Los Ejercicios Literal B, Erika Quintero.

Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. B) Sean: 𝑋1 # De vacas 𝑋2 # De caballos 𝑦 𝑋3 # De asnos Entonces el sistema de ecuaciones es el siguiente: El hacendado compro 15 animales entre, vacas, caballos y asnos. 1 𝑋1 +1𝑋2 +1𝑋3 = 15

Y consumen una cantidad a diario, • • •

cada vaca come 12 kilos, cada caballo come 6 kilos y cada asno 4 kilos

12 𝑋1 +6𝑋2 +4𝑋3 = 144

El número de vacas es el quíntuple respecto al número de caballos 𝑥 = 5𝑦

1 𝑋1 -5𝑋2 = 0 𝑓2 − 12 𝑓1

Solución: utilizando la matriz ampliada y el método de eliminación Gaussiana se obtiene: 1 1 [12 6 1 −5 𝑓3

− 𝑓2

1: 15 4: 144] :0

𝑓2 −12 𝑓1 𝑓3 − 𝑓1

1 1 1: 15 [ 0 −6 −8: − 36] 0 0 7: 21

1 1 1: 15 [ 0 −6 −8: − 36] 0 −6 −1: − 15

21 = 3 asnos y siguiendo el procedimiento hacia atrás. Entonces 7𝑋3 = 21 →𝑋3 = 7 -6𝑋2 -8(3) = -36→ -6𝑋2 = -36+24= -12

𝑋2 =

−12 −6

=2

Entonces 𝑋2 = 2 Caballos

𝑋1 +2+3= 15→𝑋1 = 15-5= 10 Vacas Por lo tanto la solución es: 𝑋1 = 10 Vacas

𝑋2 = 2 Caballos 𝑋3 = 3 Asnos

Comprobación de Geogebra

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos.

Solución del Ejercicio 3: B) Demostrar si las rectas son paralelas o no. 𝑥−3 12

=

𝑦−3 16

=

7−𝑧 16

= y

𝑥+2 12

=

3−𝑦 𝑧+6 = −16 −16

Verificación: 𝐿1 :

𝑥−3 𝑦−3 7−𝑧 = 16 = 12 16

𝐿1 :

𝑥−3

𝐿1 :

𝑥−3 𝑦−3 (−1)(7−2) = 16 = −1(16) 12 12

=

𝑦−3 16

=

Y la recta: 𝐿2 :

𝐿2 :

Se reescribe así:

=

𝑥+2 12

=

𝑥+2 12

3−𝑦

−16

𝑦−3

16

o bien

7−𝑧 −16

=

𝑧+6

−16

𝑧+6

Se reescribe como

= −16

Entonces el vector de dirección en ambos casos es

󰇍𝑢 = 𝑣 = (12, 16, -16) y las rectas son paralelas. Comprobación Geogebra

Imagen 1, Rectas paralelas.

Ejercicio 4: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Solución del Ejercicio 4 letra B. Hallar la ecuación de todos los puntos de intersección delos siguientes planos:

1 = 7x-y+5z= 125

2 = x-2y+10z= 58 Solución: Se utiliza el método de Gauss-Jordán con la matriz ampliada así: 1 −2 [ 7 −1

10: 58 5 ∶ 125]

1 −2 1 [0

Por lo tanto, x =

𝑓2 − 7 𝑓1

10: 58 281 −5 ∶ − ]

𝑓1 + 2 𝑓2

13

192 13

, y = 5z -

1 −2 10: 58 [ 0 13 −65: − 281]

281 , 13

1 0

[0

1

0:

192 13 281 −5: − 13 ]

z = z Que es la variable libre, lo que implica que el

sistema de ecuaciones tiene infinita soluciones, por ejemplo: 192

Para z = 1 x =

13

y= -

Entonces:

, y = 5 (1) -

281 13

192

En el plano 1 : 7( )- (13

Y en el plano  2 :

192 13

192

216 )+5 13

-2 (-

13

Y para, z = 2, x= 13 , y= 5(2) 192

En el plano 1 : 7( )- (13 Y en el plano  2 :

192 13

13

=-

151 13

(2) = 125

) +10 (2) = 58

151 13

13

(1) = 125

281

151 )+5 13

-2 (-

= −

281

) +10 (1) = 58

216

1 𝑓 13 2

216 13

El conjunto solución requerida es:

122

S=Z€R/ ( 13 , 5z Comprobación de Geogebra

281 , 13

z)}

•

Solución de los ejercicios literal C, por Xiomara Fandiño.

Ejercicio 2 C. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio de la Regla de Cramer. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En un almacén de ropas hay trajes de color amarillo, azul y rojo. Se sabe que el número de trajes amarillo y azul es cinco veces el número de rojo. También los trajes amarillos son el triplo de los rojos y el total de trajes azules y rojos suman 30. ¿Determine la cantidad de trajes de cada color que se encuentran en el almacén de ropas? Solución

Información Trajes

Letra representativa

ROJO

R

AMARILLO

A

AZUL

AZ

•

Primer relación nos dice: A + AZ = 5R

•

Segunda relación: A = 3R

•

Tercera relación: AZ + R = 30

•

Sustituimos A en la primera ecuación. 𝐴 + 𝐴𝑍 = 5𝑅

3𝑅 + 𝐴𝑍 = 5𝑅

𝐴𝑍 = 5𝑅 − 3𝑅

•

𝐴𝑍 = 2𝑅 = > 𝐴𝑍 − 2𝑅 = 0

Entonces ya se tienen las siguientes ecuaciones 𝐴𝑍 − 2𝑅 = 0

𝐴𝑍 + 𝑅 = 30

Meto de Cramer.

•

𝐴𝑍 =

𝑅= • • •

•

𝛥𝐴𝑍

𝛥𝑅 𝛥𝑆

=> 𝛥𝑆 =>

30 3

60

3

= 20

= 10

1 −2| = 1 − (−2) = 3 Hayamos ΔS = > | 1 1 0 −2 | = 0 − (−30) = 60 Hayamos ΔAZ = > | 30 1 1 0 Hayamos ΔR = > | | = 30 − 0 = 30 1 30 Ahora determinamos el valor de A :

A = 3R

A = 3 ∗ 10 = 30

¿Determine la cantidad de trajes de cada color que se encuentran en el almacén de ropas? Cantidad de Trajes Trajes

Cantidad

ROJO

10

AMARILLO

30

AZUL

20

Comprobación symbolab y Geogebra:

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. c) Demostrar si las rectas L1: x=8t+4, y=2t+2, z=4t+10 y L2: x=6t+8, y=2t+6, z=4t+12 Son o no ortogonales. Solución

L1: x = 8t + 4, y = 2t + 2, z = 4t + 10 •

L2: x = 6t + 8, y = 2t + 6, z = 4t + 12

Hallamos los vectores de dirección:

→= 𝐊 → 𝐕

𝐔

(6,2,4) = K (8,2,4) 6 3 6 = 8K K= = 8 4 2 2 = 2K K= =1 2 4 4 = 4K K= =1 4

→ (8,2,4) V

→ (6,2,4) U

R/ Los vectores de dirección no son paralelos ya que sus resultados no son todos iguales.

•

Verificación de puntos en común L1 (t) = L2(s)

L1: X = 8t + 4, Y = 2t + 2, Z = 4t + 10

L2: X = 6t + 8, Y = 2t + 6, Z = 4t + 12 => L2: X = 6s + 8, Y = 2s + 6, Z = 4s + 12 •

Igualamos las rectas y hallamos valor.

8t + 4 = 6s + 8

2t + 2 = 2s + 6

4t + 10 = 4s + 12 •

=> 8t − 6s = 4

=> 2t − 2s = 3

=> 4t − 4s = 2

Nuevas ecuaciones 1) 8t − 6s = 4

2) 2t − 2s = 3

3) 4t − 4s = 2

•

Vamos a hallar variables t y s y se remplazaran en la ecuación 3. 8𝑡 − 6𝑠 = 4

(−4) 2𝑡 − 2𝑠 = 3 => −8𝑡 + 8𝑠 = −12

__________________ 2𝑠 = −8

8 𝑠 = − = −4 2 •

Remplazamos s en ecuación 1). 8t − 6(−4) = 4

𝑠 = −4

8t + 24 = 4 8t = 4 − 24 8t = −20 t=− t=

•

5 2

20 10 5 =− = − 8 4 2

Remplazamos S y T en ecuación 3), para validar la igualdad 𝟒𝐭 − 𝟒𝐬 = 𝟐

5 4 (− ) − 4(−4) = 2 2

-10 + 16 = 2 6=2

Las rectas no tienen punto en común. R/ las restas No son ortogonales porque el producto escalar de los vectores no es 0.

Comprobación:

Ejercicio 4: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. C.Hallar la ecuación del plano  que contiene al punto A= (1,-3,2) y a la recta R=

3𝑥−1 2

=

2−𝑦 3

=

𝑧+5 . 2

A = (1, −3,2)

Solución

1 B = ( , −2, −5) 3 → = (2,3,2) Q

𝟏 → = (𝟏, −𝟑, 𝟐) − ( , −𝟐, −𝟓) 𝑨𝑩 𝟑

𝟐 → = ( , −𝟏, 𝟕) 𝑨𝑩 𝟑

I J K 4 6 2 3 2 | = (21 − 2(−1))I − (14 − ) J + (−2 − ) K → = |2 N 3 3 −1 7 3 38 = 23I − J − 4K 3 •

Remplazo en x 38 (y + 3) − 4(z − 2) = 0 3 38 23x − 23 − y − 38 − 4z + 8 = 0 3 38 23x − y − 4z − 53 = 0 3 23(x − 1) −

23x −

38 3

y − 4z = 53 ==> ecucación

Comprobación

•

Solución de los ejercicios del literal D, por Deisy Mina

Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. D). Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo empleando el método de su preferencia. Valide su resultado por medio de Geogebra* En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. d1) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? Total, de personas: 22 personas X= Mujeres Y= Hombres Z=Niños Ecuación 1 X+Y+Z = 22 Ecuación 2

2X+3Z =2Y

Se procede a despejar la ecuación 2 2X-2Y+3Z=0 A la ecuación 2 se le resta 2 veces la ecuación 1 2X -2Y +3Z = 0 -2x -2Y -2Z = -44 0 -4Y +Z = -44

Entonces: Z = -44 +4Y Se reemplaza este valor de Z en la ecuación 1 X +Y -44 +4Y = 22 X = 66 – 5Y

Se reemplazan estos valores en la ecuación 2

2(66 – 5Y) -2Y+3(-44 +4Y)=0 120 – 10Y -2Y -132 +12Y=0 120 – 10Y -2Y -132 +12Y=0 Al intentar solucionar el ejercicio se arroja un error, debido a que faltarían datos. d2) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay? Ecuación 1 X+Y+Z = 22 Ecuación 2

2X+3Z =2Y

Ecuación 3

Y=2X

X + Y + Z = 22 2X - 2Y + 3Z = 0 2X - Y + 0Z = 0 Se reemplazan las variables anteriormente halladas: 2(66 – 5Y) - Y + 0(-44 +4Y) = 0 132 – 10Y - Y = 0 132 – 11Y = -132/-11 Y = 12 Había 12 hombres en la reunión Se reemplaza en la ecuación 3: 12=2X X=6 Había 6 mujeres en la reunión Se reemplaza en la ecuación 1: 6 + 12 + Z = 22 Z = 22-12-6 Z=4 Había 4 niños en la reunión

Realizado en Symbolab

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Descripción del ejercicio 3 D) Determine las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos (-1, -2, -3) y (6, -9, -8). Punto A: (-1, -2, -3) Punto B: (6, -9, -8) Inicialmente se calcula el vector director, Vector Director = B – A = ( 7, -7, -5) La ecuación vectorial es la siguiente: r = (-1, -2, -3) + t (7, -7, -5) r = (-1, -2, -3) + (7t, -7t, -5t) (x, y, z) = (-1, -2, -3) + (7t, -7t, -5t) (x, y, z) = (-1 + 7t, -2 – 7t, -3 – 5t) Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas serían: x = -1+7t y = -2 -7t z = -3 -5t Ahora despejamos t de la ecuación t = (x + 1) / 7 t = -(y + 2) / 7 t = -(z + 3) / 5 Igualando obtendríamos las ecuaciones simétricas

𝑦 + 2 𝑧 + 3 𝑥+1 = = 7 −7 −5

Ejercicio 4: Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los siguientes contenidos de la unidad 2, ubicados en el Entorno de Conocimiento. D) Determinar si los planos 1: x-3y+z-1=0 y 2: -4x-2y+6z-10=0 son paralelos. En caso de no ser paralelos, encontrar la ecuación de la recta expresada en forma paramétrica en la cual se interceptan. x – 3y + z = 1 -4x -2y + 6z = 10

Se sacan los vectores directores: n1 = (1, -3, 1) n2 = (-4, -2, 6) Para que sean paralelos se debe cumplir la siguiente regla: n1=kn2 Entonces: 1 = k (-4) k = -1/4

-3 = k (-2) k = 3/2 Por lo que los planos no son paralelos. Teniendo en cuenta los planos x – 3y + z = 1 -4x -2y + 6z = 10 Se realiza el producto cruz entre ellos:

𝑖 𝑗 𝑘 1 −3 1 −4 −2 6

A x B = (-3*6 – (-2)) i – (6 + 4) j + (-2 - 12) k A x B = -16i – 10j - 14k Por lo que se tiene en cuenta que el vector es U= (-16, –10, –14)

Se le da el valor de 0 a X para que se reduzca a un sistema de ecuaciones de dos incógnitas: 3y + z = 1 -2y + 6z = 10 Hallo el valor de z multiplicando la primera ecuación por -6 -18y- 6z = -6 -2y + 6z = 10 -20y -- = 4 -20y = 4

y = 4/20 = 1/5 y = 1/5

Se sustituye en la primera ecuación: 3(1/5) + z = 1 3/5 + z = 1 Z = 1 – 3/5 Z = 2/5 p = (0, 1/5, 2/5) U= (-16, –10, –14) Se procede a armar las ecuaciones paramétricas: X = 16t Y = 1/5 – 10t Z = 2/5 – 14t

•

solución de los ejercicios del literal E, por María Paula

Ejercicio 2: Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. E. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo empleando el método de su preferencia. Valide su resultado por medio de Geogebra* Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. Respuesta. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss. Rotulador Precio sin descuento. Precio con descuento.

𝑥 0,9 𝑥

Cuaderno

Carpeta

𝑦 0,9 𝑦

𝑧 0,9 𝑧

0,9𝑥 + 0,9𝑦 + 0,9𝑧 = 3,56

Planteamos el sistema con los datos que nos dan: 𝑦 = 𝑧 = 𝑦 + 0,2 𝑥

𝑥

2

𝑧=

𝑥

2

+ 0,2 = 0,5𝑥 0,2𝑥 = 0,7𝑥 → 𝑥 = 1,80

0,9𝑥 + 0,9 ∙ + 0,9 ∙ 0,7𝑥 = 3,56 → 0,9𝑥 + 0,45𝑥 + 0,63𝑥 = 3,56 → 1,98𝑥 = 3,56 2 𝑥

𝑦=

𝑥 2

=

1,80 2

= 0,90

𝑧 = 0,7𝑥 = 1,26

Por tanto, el rotulador marcaba 1,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros y, la carpeta, 1,26 euros

Rotulador r, cuaderno c, carpeta k: 𝑍 + 𝑌 + 𝑍 = 3,56 𝑟 + 𝑐 + 𝑘 = 3,56 𝑐=

𝑟 2

𝑘 = 𝑐 + (20%)𝑟

𝑘 = 𝑐 + ( 100) 𝑟 20

𝑘 = 𝑐 + ( )𝑟 5 1

Sustituimos en la primera ecuación: 𝑟 + 𝑐 + 𝑘 = 3,56

𝑟 + ( 2) + (𝑐 + ( 5) 𝑟) = 3,56 𝑟

1

𝑟 + ( 2) + (𝑐 + ( 5)) = 3,56 𝑟

𝑟

𝑟 + ( 2) + 𝑐 + ( 5) = 3,56 𝑟

𝑟

𝑟 + ( ) + ( ) + ( ) = 3,56 5 2 2 𝑟

𝑟

𝑟

𝑟 + 𝑟 + ( 5) = 3,56 𝑟

Multiplicamos por 5 para eliminar fracción: 10𝑟 + 𝑟 = 5, (3,56) 11𝑟 + 17,8

𝑟=

17,8 11

𝑟 = 1,62

Sustituimos en las ecuaciones originales: 𝑐=

𝑟 2

=

𝑐 = 0,81

1,62 2

𝑟 + 𝑐 + 𝑘 = 3,56

1,62 + 0,81 + 𝑘 = 3,56

𝑘 = 3,56 − 1,62 − 0,81 𝑘 = 1,13

Los precios son carpeta 1,13, cuaderno 0,81, rotulador 1,62 estos son los precios con el 10% incluido, es decir 90% del valor marcado. Para encontrar los precios marcados hacemos una regla de 3 simple: 90 -------> 1,13 100 -------> k

𝑘 = (1,13)( 90 ) 100

𝑘 = 1.26 𝐸𝑢𝑟𝑜𝑠 (𝑐𝑎𝑟𝑝𝑒𝑡𝑎𝑠)

Hacemos igual para las cantidades restantes: 𝑐 = (0,81)(

)

100 90

𝑐 = 0,9 𝐸𝑢𝑟𝑜𝑠 (𝑐𝑢𝑎𝑑𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠) 𝑟 = (1,62) (

100 ) 90

𝑟 = 1.8 𝐸𝑢𝑟𝑜𝑠 (𝑟𝑜𝑡𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠) Grafica GeoGebra.

Ejercicio 3: Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. E. Hallar una recta L ortogonal a las siguientes rectas 𝑥+2 6

=

𝑦−7 3

=