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INTRODUCCI~N AL ALGEBRA LINEAL V E R S I ó N AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WILEY& SONS,INC. O JOHN COLABORADOR EN LA T R A D U C C I ~ N : HUGO VILLAG~MEZVELÁZQUEZ LAPRESENTACI~NY DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE INTRODUCCIóN AL ALGEBRA L...

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INTRODUCCI~N AL ALGEBRA LINEAL

V E R S I ó N AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO:

ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA O JOHN WILEY& SONS,INC.

COLABORADOR EN LA T R A D U C C I ~ N : HUGO VILLAG~MEZVELÁZQUEZ LAPRESENTACI~NY DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE

INTRODUCCIóN AL ALGEBRA LINEAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA o TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGUN SISTEMA O MÉTODO, ELECTR6NICOOMECÁNlCO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIóN O CUALQUIERSISTEMA DE R E C U P E R A C I ~ NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N),SIN CONSENTIMIENTOPOR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS:

O 2001, EDITORIAL LIMUSA, S.A.DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, M É x l c o , D.F. C.P. 06040 '-S$. (5)521 -21 -05

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QUINTAREIMPRESI~N DE LA SEGUNDA EDICIÓN

HECHO EN M É x l c o ISBN 968-1 8-5192-7

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PROLOG0

Así comoenlaedición anterior. enestanuevaediciónse proporciona un tratamiento básico del álgebra lineal, idóneo para estudiantes que están cursando el primer o segundo años de facultad. Mi objetivo es presentar los fundamentos del álgebra lineal de la forma más clara posible. por lo que el aspecto pedagógico es esencial. No se requiere haber estudiado cálculo, aunque se presentan ejercicios y ejemplos para estudiantes que tienen los conocimientos necesarios; estos ejercicios y ejemplos están claramente indicados y se pueden omitir sin pérdida de continuidad.

RESUMEN DE LOS CAMBIOS EN ESTA EDICIóN Aunque esta edición tiene mucho en común con la edición anterior, se trata de una revisión sustancial. g e intentado mantener la claridad y el estilo de la edición previa, y a la vez reflejar las necesidades cambiantes de una nueva generación de estudiantes. Con esta intención hepuesto en práctica varias recomendaciones hechas por el Linear Algebra Curriculum Study Group. También he hecho algunos cambios de organización que deben facilitar a los instructores cubrir los fundamentos detodos los temas esenciales, inclusive con severas restricciones de tiempo. Posteriormente, en este prólogo se presenta una descripción de los cambios capítulo a capítulo, aunque a continuación se presenta unresumende los cambios más importantes: Mayor énfasis en las relaciones que hay entre los conceptos: Uno de los objetivos importantes de un curso de álgebra lineal es establecer la trama 7

intrincada de las relaciones que hay entre sistemas de ecuaciones, matrices, determinantes, veclores. transformaciones lineales y eigenvalores. En esta edición. la trama de relaciones se desarrolla a través del siguiente crescendo de teoremas que vinculan cada nueva idea con ideas precedentes: 1.5.3, 1.6.4. 2.3.6, 4.3.4, 63.9. 6.2.7, 6.4.5 y 7.1.5. Estos teoremas no sólo hacen más coherente el panorama algebraico, sino también sirven como fuente constante de repaso. Transición m b suavehacialaabstracción:La transición de R" a espacios vecloriales generales es traumática para casi todos los estudiantes. de modo que he intentado suavizarla analizando Rn en detalle, recalcando los conceptos geométricos subyacentes antes de proceder con el estudio de espacios vectoriales generales. Exposición temprana de transformaciones lineales y eigenvalores: A fin de asegurar que el material sobre transformaciones lineales y eigenvalores no se pierda al final delcurso, algunos de los conceptos básicos que se relacionan con tales temas se desarrollan más pronto en el texto y luego se repasan cuando el tcma se desarrolla con mayor profundidad en la parte final del texto. Por ejemplo, las ecuaciones características se analizan brevemente en la sección sobre determinantes. Las transformacioncs lineales de H" a R'" se abordan inmediatamente después que se introduce K". y se analizan más tarde enel contexto de las transformaciones linealcs gencrales. Estos repasos ayudan a asegurar que los estudiantes se ramiliaricencon los fundanlentos de todoslos temas más importantes, inclusive cuando el tiempo apremia. Mayor énfasis en la conceptualización: Para mantener el interés actual cn la conceptualización y en las aplicaciones crecientes del álgebra lineal a las gráficas, he puesto mayor énfasis en los aspectos geométricos de las rotaciones. proyecciones y reflexiones en y en R3. Nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QR: Seha añadido nuevo material sobre mínimos cuadrados y descomposición QH,en respuesta al interés creciente en estos temas. Másdemostraciones: Se han añadidovarias demostraciones que antes habían sido omitidas. Todas las demostraciones eneltexto han sido escritas en un estilo adecuado para principiantes. y se ha puesto especial cuidado a fin de asegurar que el carácter accesible y amable del texto no haya sido afectado de manera adversa por las demostraciones adicionales. Quienes deseenun curso matemáticamente más forrnal encontrarán que esta nueva edición es más idónea para tal efecto. y quienes deseen un curso más conceptual tendrhn mayor elección en las demostraciones.

DETALLES DE LOS CAMBIOS DE ESTA EDICIÓN La amplia aceptación de la edición anterior ha sido muy gratificante. y aprecio las sugerencias constructivas recibidas de parte de los usuarios y revisores. Se han revisado algunas secciones del testo para presentarlas con más claridad, y se han

erectuando cambios sustanciales ente1 contenido y su OrgallhCiÓn, en rcspuesta a las sugerencias tanto de los usuarios como de los revisores. así como de las cCOmendaciones hechas por el Linear Algebra ('urriculum Study (;roup. Hay muchas formas en las que es posible ordenar el material en un curso de algebra lineal:el ordenamiento que he elegido para 10s capítulos refleja m i inclinación por el axioma de que es necesarioproceder de 10 conocido 21 10 desconocido y de lo concreto a lo abstracto. A continuación se presenta un resumen capítulo a capítulo de 10s cambios más importantes en esta nueva edición. Capítulo 1. Se presenta una nueva sección sobre matrices de forma espccial: diagonal, triangular y simétrica. Al modificar ligeramente el material. no se incrementó el número de secciones de este capítulo. Capítulo 2. A este capítulo determinante se ha añadido nuevomaterial introductorio sobreeigenvalores,eigenvectores y ccuaciones características. Este material se repasa y posteriormente se analiza con más detalle en el capítulo 7. Se ha añadido la demostración de la igualdad det(AR) = det(A)det(B). Capítulo 3. Se presenta nueva información sobre ecuaciones vectorialcs de rectas y planos, y la interpretación geomktrica de los determinantes 2 x 2 ~ 3 x 3 . Capítulo 4. Este es unnuevo capítulo dedicado exclusivamente a R". Se desarrollan conceptos fündamentales y se presenta una introducción a las transformaciones lineales de Rn a R"'. recalcando el aspecto geométrico dc las proyecciones,rotaciones y reflexiones. A diferencia de la edición anterior, este material se presenta ahora antes del desarrollo de los espacios vectoriales generales. El material de este capítulo se analiza más tarde, en el contesto de espacios \,ectoriales generales. Capítulo S. Este capítulo corresponde al capítulo 4 de l a edición anterior. Se han añadido muchas de las demostraciones que se habían omitido. También se presenta nuevo material sobre el wronskiano, para quienes han cstudiado Cálculo, y se incluye nuevo material sobre los cuatro espacios fundamentales de unamatriz. Capítulo 6. Este capítulo corresponde al capítulo 5 de la edición anterior. Se presenta nuevo material sobre complementos ortogonalcs. descomposición QR y mínimos cuadrados. Capítulo 7. Este capítulo corresponde al capítulo 6 de la edición anterior. Se ha repasado el material desarrollado antes sobre eigenvalores y elgenvectores. Se incluye nuevo material sobre las multiplicidades geométrica y algebraica. así como una explicación mejorada sobre los requisitos para la diagonalización. Capítulo 8. Este capítulo correspondeal capítulo 7 de l a edición anterior. El material se ha vuelto a escribir sustancialmente. a fin de reflejar el hecho de que las transformaciones lineales de Rn a Hm se introdujeron en el capítulo 4. Capítulo 9. Este capítulo corresponde al capítulo 8 y a las secciones 9. I y 9.2 de la edición anterior. Se ha vuelto a escribir la secciónsobre la

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Prólogo

geometría de los operadores lineales sobre R2 para poder fundamentar los conceptos desarrollados en la sección 4.2. Capítulo 10. Este capítulo corresponde al capítulo 7 de la edición anterior. Los cambios son menores.

ACERCA DE LOS EJERCICIOS En todos los ejercicios de cada sección se empieza con problemas de rutina, se avanza hacia problemasmás sustanciales y se concluye con problemasteóricos. AI final de casi todos los capítulos se presenta un conjunto de ejercicios complementarios que pueden presentar más dificultad y forzar al estudiante a extraer ideas de todo un capítulo, en vez de hacerlo solamente de unasección específica.

GUÍA PARA EL INSTRUCTOR

PROGRAMAS POSIBLESPARA UN CURSO NORMAL He revisado una gran cantidad de posibilidades para cursos de álgebra lineal. La variación entre las instituciones es amplia, aunque los cursos tienden a caer en dos categorías: una que consta de entre 20 y 30 lecciones (excluyendo los exámenes y los repasos) y otra que consta de entre 35 y 40 lecciones (excluyendo los exámenes y los repasos). Con base en mi análisis de estas posibilidades. he proporcionado dos patrones para elaborar un curso propio. Los patrones se deben ajustar a fin de reflejar los intereses y requisitos propios, aunque deben ser útiles como punto de partida. En el patrón largo se supone que se cubren todas las seccionesdel capítulo, y en el patrón corto se supone que el instructor selecciona material para ajustarse al tiempo disponible. Dos cambios en la organización del texto facilitan la construcción de cursos más cortos: la breve introducción a los eigenvalores y eigenvectores que se presenta en las secciones 2.3 y 4.3 y la colocaciónprevia de las transformaciones lineales de R" a Rm en el capítulo 4. Estos cambios aseguran que el estudiante se familiarice unpococon estos conceptos fundamentales, inclusive si el tiempo disponible para abordar los capítulos 7 y S es limitado. Observé también que los estudiantes que ya conocen el material pueden omitir el capítulo 3 sin pérdida de continuidad.

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Guía para el instructor

Patrón largo

Patrón corto

Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 4 Capítulo S Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8

7 lecciones 4 lecciones 3 lecciones X lecciones

6 lecciones 3 lecciones 3 lecciones 7 lecciones

6 lecciones

3 3

Total

3 8 lecciones

4 lecciones 6 lecciones

lecciones lecciones 2 lecciones 27 lecciones

VARIANTES DEL CURSO NORMAL Son posibles muchas variantes del curso normal. Por ejemplo. es posible crcar un patrón largo opcional siguiendo la asignación de tiempo del patrón corto y dedicando las 11 lecciones restantes a algunos dc los temas de los cdphlOS 9 y 1 0 .

CURSO ORIENTADO A APLICACIONES El capítulo 9 contiene aplicaciones selectas de álgebra lineal que son esencialmente de naturaleza matemática.Los instructores interesados en una variedad más amplia de aplicaciones pueden considerar la otra versión de este texto, Elementary Linear Algebra, Aplications Version. de Howard Anton y Chris Rorres. En esc texto se proporcionan numerosas aplicaciones a los negocios. biología, ingeniería. economía. ciencias sociales y ciencias físicas.

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AGRADECIMIENTOS

1

Expreso mi aprecio por la útil orientación proporcionada por las siguientes personas:

REVISORES Y COLABORADORES DE EDICIONES ANTERIORES EN INGLÉS Steven C. Althoen, University of Michigan-Flint C. S. Ballantine, Oregon State University Erol Barbut, University of Idaho William A. Brown, University of Maine Joseph Buckley, Western Michigan University Thomas Cairns, University of Tulsa Douglas E. Cameron, University of Akron Bomshik Chang, University of British Columbia Peter Colwell, Iowa State University Carolyn A. Dean, University of Michigan Ken Dunn, Dalhousie University Bruce Edwards, University of Florida Murray Eisenberg, University of Massachusetts Harold S. Engelsohn, Kingshorough Comm. College Garret Etgen, University ofHouston Marjorie E. Fitting, San Jose State University Dan Flath, University of South Alabama David E. Flesner, Gettysburg College Mathew Gould, Vanderbilt University Ralph P. Grimaldi, Rose-Hulman Institute

William W. Hager, University of Florida Collin J. Hightower, University of Colorado Joseph F. Johnson, Rutgers University Robert L. Kelley, University of Miami Arlene Kleinstein Myren Krom, Calfornia State University Lawrence D. Kugler, University of Michigan Charles Livingston, Indiana University Nicholas Macri, Temple University Roger H. Marty, Cleveland State University Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton Robert M. McConnel, University of Tennessee Douglas McLeod, Drexel University Michael R. Meck, Southern Connecticut State Univ. Craig Miller, University of Pennsylvania Donald P. Minassian, Butler University Hal G. Moore, Brigham Young University Thomas E. Moore, Bridgewater State College Robert W. Negus, Rio Hondo Junior College Bart S. Ng, Purdue University 13

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Agradec.citrrientos

James Osterburg, University of Cincinnati MichaelA.Penna, Indiana-Purdue University Gerald J.Porter, University of Pennsylvania F. P. J. Rimrott, University qf Toronto C. Ray Rosentrater, Westmont College KennethSchilling, University of Michigan-Flint William Scott, University of Utah Donald R. Sherbert, University of Illinois Bruce Solomon, Indiana University Mary T. Treanor, Valparaiso University

William Trench, F. Trinity University Joseph L. Ullman, University of Michigan W. VanceUnderhill, East Texas State University James R. Wall, Auburn University Arthur G. Wasserrnan, University of Michigan Evelyn J. Weinstock, Glassboro State College Rugang Ye, Stanford University Frank Zorzitto, University of Waterloo Daniel Zwick, University of Vermont

REVISORES Y COLABORADORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN EN INGLÉS, SEGUNDA EN ESPAÑOL Mark B. Beintema, Southern Illinois University Paul Wayne Britt, Louisiana State University David C. Buchthal, University of Akron Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls Stephen L. Davis, Davidson College Blake DeSesa, Drexel University Dan Flath, Uniwrsity of South Alabama Peter Fowler, California State University Marc Frantz, Indiatza-Purdue University Sue Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY William Golightly, College qf Charleston Hugh Haynsworth, College qf Charleston Tom Hem, Bow!ling Green State University J. Hershenov, Queens College. CUNY Steve Humphries, Brigham Young Universitt3 Steven Kahan, Queens College, CUNY

Andrew S. Kim, Westfield State College John C. Lawlor, University of Vermont M. Malek, California State University at Huyward J. J. Malone, Worcester Polytechnic Institute William McWorter, Ohio State University Valerie A. Miller, Georgia State University Hal G. Moore, Brigham Young University S. Obaid, San Jose State University Ira J. Papick, University of Missouri-Columbia Donald Passman, University of Wisconsin Robby Robson, Oregon State University David Ryeburn, Simon Fraser University Ramesh Sharma, University of New Haven David A. Sibley, Pennsylvania State University Donald Story, Universio,of Akron Michael Tarabek, Southern Illinois University

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS, LECTURA DE PRUEBASE INDICE Michael Dagg, Numerical Solutions, Inc. Susan L. Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY Mareen Kelley, Northern Essex Communih. College Randy Schwartz, Schoolcraft College Daniel Traster (Student), Yale Universio.

COMPLEMENTOS Benny Evans, Oklahoma State University Charles A. Grobe, Jr., Bowdoin College

Agradecimientos / 15

Elizabeth M. Grobe IntelliPro, Inc. Jerry Johnson, Oklahoma State University Randy Schwartz, Schoolcraft College

OTROS COLABORADORES Un agradecimiento especial a los siguientes profesores, quienes leyeron profundamente el material del texto e hicieron contribuciones significativas a la calidad del nivel matemático y de exposición: Stephen Davis, Davidson College Blaise DeSesa, Drexel University Dan Flath, University of South Alabama Marc Frantz, Indiana-Purdue University William McWorter, Ohio State University Donald Passman, University of Wisconsin David Ryeburn, Simon Fraser University Lois Craig Stagg, University of Wisconsin-Milwaukee También deseo expresar mi agradecimiento a: Barbara Holland, mi editora, quien me ayudó a moldear al concepto de esta nueva edición y cuyo entusiasmo incluso convirtió en divertido el arduo trabajo (alguna vez). Ann Berlin, Lucille Buonocore y Nancy Prinz del Departamenro de Producción de Wiley, por preocuparse tanto por la calidad de este trabajo y proporcionarme un apoyo extraordinario. Lilian Brady, cuyoojo para los detalles y sentido estético infalible mejoró grandemente la exactitud del texto y la belleza de la tipografía. Joan Carafiello y Sharon Prendergagst por su soberbio trabajo en la coordinación de la miríada de detalles que mágicamente produjeron las respuestas y los complementos a tiempo. El grupo en Hudson River Studio por tratar con tanto tacto a un autor riguroso. Mildred Jaggard, mi asistente, quien coordinó todoslos detalles deltexto desde la lectura de pruebas hasta el índice con pericia consumada, y quien pacientemente toleró mi idiosincrasia. HOWARD ANTON

CAPíTULO 1

SISTEMAS DEECUACIONESLINEALES Y MATRICES l . l . Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2 1 1.2.Eliminacióngaussiana 29 1.3. Matrices y operaciones con matrices 47 1.4. Inversas: Reglas de la aritmética de matrices 61 1.5. Matrices elementales y unmétodo para determinarn" 75 1.6. Otros resultados sobre sistemas de ecuaciones e invertibilidad 1.7. Matrices diagonales, triangulares y simétricas 94

CAPíTULO 2

DETERMINANTES

85

107

2.1. La funcióndeterminante 107 2.2. Evaluación de determinantes por reducción de renglones 2.3. Propiedades de la funcióndeterminante121 2.4. Desarrollo por cofactores; Regla de Cramer 131

CAPíTULO 3

21

115

VECTORES EN LOS ESPACIOS BlDlMENSlONALY TRIDIMENSIONAL. 149 3. l. Introducción a losvectores (geométrica) 147 3.2. Normade un vector; Aritmética vectorial159 3.3. Producto punto: Proyecciones165 17

3.4. Producto cruz 175 3.5. Rectas y planos en elespacio tridimensional

CAPITULO 4

ESPACIOS VECTORIALES

189

EUCLIDIANOS

203

4. l . Espacio euclidiano n dimensional 203 4.2. Transformaciones lineales de R" a Rm 218 5.3. Propiedades de las transformaciones lineales de R" a Rm

CAPíTULO 5

ESPACIOS VECTORIALES GENERALES 5. 1. Espaciosvectorialesreales257 5.2. Subespacios 265 5.3. Independencialineal277 5.4. Base y dimensión 287 5.5. Espacio renglón. espacio columna 5.6. Rango y nulidad322

CAPíTULO 6

239

257

y espacio nulo 306

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR

339

6.1. Productos interiores 339 6.2. Ángulo y ortogonalidad en espacios con producto interior 353 6.3. Bases ortonormales: Proceso de Gram-Schmidt; Descomposición QR 3 67 6.4. Mejoraproximación: Mínimos cuadrados 384 6.5. Matricesortogonales:Cambio de base395

CAPíTULO 7

EIGENVALORES, EIGENVECTORES 41 7. l. Eigenvalores y eigenvectores 7.2. Diagonali...