INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL ANTON HOWARD PDF

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s. edición INTRODUCCiÓN , AL ALGEBRA LINEAL r:8LIMUSA http://libreria-universitaria.blogspot.com http://libreria-universitaria.blogspot.com Contenido de esta obra: • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES • DETERMINANTES • VECTORES EN LOS ESPACIOS BIDI- MENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL • ESPACIOS VECT...

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s.

edición

INTRODUCCiÓN AL ,

ALGEBRA LINEAL

r:8LIMUSA http://libreria-universitaria.blogspot.com

http://libreria-universitaria.blogspot.com

Contenido de esta obra:

• SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES • DETERMINANTES • VECTORES EN LOS ESPACIOS BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL • ESPACIOS VECTORIALES • TRANSFORMACION,ES LINEALES • EIGENVALORES (VALORES PROPIOS), EIGENVECTORES (VECTORES PROPIOS)

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Introducción al álgebra

Howard Anton

Drexel University

!El LlMUSA NORIEGA EDITORES M8(ICO • España • Venezuela. Colombia

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VERSiÓN A.UTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLt:S POR

J OHN W,LEY & SONS, INC ., CON EL TITULO: ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA, 3RD . EDITION . b) => c) => a).

a) ~ B): Supóngase que A es inversible y que X o es cualquier solución para AX = O. Por consiguiente , AXu = O. Al multiplicar los dos miembros de esta ecuación por A - 1 se ob tiene A - 1 (AX o ) = A - 1 O, o bien (A - 1 A)Xo = O, o bien,IXo = O, o bien X o = 0.. Por tanto , AX = O sólo tiene la solución trivial. b) => c): Sea AX = Ola forma matricial del sistema

(1.6)

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MATRICES ELEMENTALES Y UN METODO PARA HALLAR A-

l

63

y supóngase que el sistema únicamente tiene la solución trivial. Si se resuelve por la elimi-

nación de Gauss-Jordan, entonces el sistema de ecuaciones correspondiente a la forma escalonada en los renglones reducida de la matriz aumentada será

=0

Xl

=0

X2

Xn

(1.7)

= O

Por consiguiente, la matriz aumentada

r

a12

a ln

a21

a 22

a2n

anl

a n2

a nn

!J

para (1. 6) se puede reducir a la matriz aumentada l O O O 1 O O O

O O O O O O

O O O

O

para (1.7), por una sucesión de operaciones elementales sobre los renglones. Si se descarta la última columna (de ceros) en cada una de estas matrices, es posible concluir que se puede reducir A hacia In por una sucesión de operaciones elementales sobre los renglones; es decir, A es equivalente respecto a los renglones a In. e) ~ a): Supóngase que A es equivalente respecto a los renglones a In, de modo que es posible llevar A hacia In por una sucesión finita de operaciones elementales sobre los renglones. Por el teorema 8 es posible realizar cada una de estas operaciones multiplicando por la izquierda, por una matriz elemental apropiada. Por tanto, se pueden encontrar las matrices elementales El, E2 , . . • , Ek tales que (1.8) Por el teorema 9, El, E 2 , • . • , Ek son inversibles. Al multiplicar los dos miembros de la ecuación (1.8) por la izquierda, sucesivamente por Ek/ , ... , Ei l , E l l se obtiene (1.9)

Dado que (I .9) expresa a A como un producto de matrices inversibles, se puede concluir que A es inversible . I

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

64

OBSERV ACION .• Como In está en la forma escalonada en los renglones reducida y ya que

ésta para una matriz A es única , el inciso (e) del teorema 10 es equivalente a afirmar que In es la forma escalonada en los renglones reducida de A . ¡ Como primera licación de este teorema, se establecerá un método para determinar la inversa de una matriz inversible. La inversión del primero y segundo miembros de (I .9) da A -1 ::: Ek . . . E2E¡ , o lo que es equivalente,

(1.10)

con lo cual se afirma que es posible obtener A -1 al multiplicar In sucesivamente por la izquierda, por las matrices elementales El, E2, .. ., Ek' Puesto que cada multiplicación por la izquierda, por una de estas matrices elementales, realiza una operación sobre los renglones, se concluye, al comparar las ecuaciones (1.8) y (l.l O), que la sucesión de operaciones sobre los renglones que reduce A hacia In , reducirá In hacia A -¡ . Por tanto, para hallar la inversa de una matriz inversible A , debe encontrarse una sucesión de operaciones elementales sobre los renglones que reduzca A hacia la identidad y, a continuación, efectuar esta misma sucesión de operaciones sobre In para obtener A - ¡ . En el sigui(!nte ejemplo se da un método sencillo para llevar a cabo este procedimiento . Ejemplo 30 Encuéntrese la inversa de

2 5 O

¡]

Se desea reducir A hacia la m.atriz identidad por operaciones sobre los renglones y, simultáneamente , aplicar estas operaciones a 1 para producir A - ¡. Se puede realizar esto, adjuntando la matriz identidad a la derecha de A y aplicando las operaciones sobre los renglones a ambos lados, hasta que el lado izquierdo se reduce a l. Entonces la matriz final tendrá la forma [IIA -1 J. Los cálculos se pueden realizar como sigue:

[i

2 5 O

3 3 8

[~ [~

2

.g

1

1

-3 5

- 2

-2

2 3 1 -3 O -1

1 O O

O

O 1 O

-1 I

I I I I

1 -2

i. -5

1 O

O 1 2

~]

~] ~]

Se sumó -2 veces el primer ren¡l:!ón al segundo y -1 vecOlS el primer renglón al tercero

Se sumó 2 veces el segundo renglón al tercero

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MATRICES ElEMt;NTALES y UN METOOO PARA MALLAR A-

[~ [~

"

[ O

O 1

O

O

3 1 - 3

-2 5 -2

O

2

-~]

O 1

¿.

\ -14 I I 13

O O

I I

O

I

\ -40 I I 13

O O

I I I

s~ sumó 3 veces el tercer renglón al segundo y -3 veces el tercer renglón al primero .

-1

-~]

16

-5

5 -2

65

Se multiplicó el tercer renglón por -1.

-:]

6

-5 5 -2

1

Se sumó -2 veces el segundo renglón a1.primero

-1

Por tanto,

A- ¡ =

[- ~13

16

-~]

- 5 5 -2 -1

A menudo no se sab rá con anterioridad si una matriz dada es inversible . Si se intenta el procedimiento aplicado en este ejemplo sobre una matriz que no es inversible, entonces, por el inciso (e) del teorema 10, será imposible reducir el lado izquierdo hacia 1 por operaciones sobre los renglones. En algún paso del cálculo, se Presentará un renglón de ceros en el lado izquierdo; entonces se puede concluir que la matriz dada no es inverslble y detener los cálculos. ~iemplo 31

Considérese la matriz

A=[~-1 ~2 -~]5 Al aplicar el procedimiento del ejemplo 30 da

L~

6 4

2

4 -1 5

[ [

6

4

O -8 O 8

-9 9

1 6 4 O -8 -9 O O O

1

O

O

1

O

O O

-2

1 O

1

O

-2 -1

~] ~] ~]

Se sumó -2 veces el primer renglón al segundo y el primero al tercero.

Se sumó el segundo renglón al tercero.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

66

Puesto que se ha obtenido un renglón de ceros en el lado izquierdo, A no es inversible.

Ejemplo 32 En el ejemplo 30 se demostró que

2 3] 5

3

O 8 es una matriz inversible . Con base en el teorema lO se puede concluir ahora que el sistema de ecuaciones

+ 2xz + 3x 3 = O 2x l + 5xz + 3x 3 = O Xl + 8X3 = O Xl

tiene únicamente la solución trivial.

EJERCICIOS 1.6 1. ¿Cuáles de las que siguen son matrices elementales?

(a)

(d)

[~ ~J

(b)

[~ 1OO 0]O1

(e)

O (f)

[¡

O

[~

[:

~J 1 O O O

-:] [l (g)

(e)

[~ ~J

!l ° 0]

O O 1 1 O O O 1

2. Determine la operación sobre los renglones que llevará la matriz elemental dada hacia una matriz identidad.

(a)

(e)

[~ ~J

[l

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MATRICES ELEMENTALES Y UN METODO PARA HALLAR A - ¡

67

3. Considere las matrices

1 25 63] [7 8 9

A=

4

B

=

7 85 9]6 [1 2 3 4

Encuentre las matrices elementales E ¡, E2 , E 3 Y E4 tales que (a) E¡A=B

4. ¿En el ejercicio 3' es posible encontrar una matriz elemental E tal que EB = C? Justifique la respuesta. En los ejercicios 5-7, aplique el método mostrado en los ejemplos 30 y 31 a fÍn de encontrar la inversa de la matriz dada , si la matriz es inversible .

5. (a)

[~

~J

(b)

-:]

4

6. (a)

O

[¡ 6

(d)

7

[¡

7

[

V2

7. (a)

- 4

5

¡] v1

-~" ·JOi

[-~

-~J

IblU

2

H :1

~] Ib{

-~J

J lel [i

4

O

(e)

_!

(e) [

O O 2 O 2 4 2 4

(O

~J

O

~]

[J

(el []

1

5 1

5 1

10

11

7

1

4

- 2

8

O

O

-1]

-!J

8. Demuestre que la matriz

es inversible para todos los valores de 9. Considere la matriz

A = a)

b)

e)

e y encuentre A -

1.

[~ ~J

Encuentre las matrices elementales E¡ y E¡ tales que E¡EIA' Escriba A - 1 como un producto de dos matrices elementales. Escriba A como un producto de dos matrices elementales.

10. Efectúe las operaciones sobre los renglones que siguen

= l.

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SISTEjV1AS PI" I"CVACION~S LIN~~I,.ES

58

y MJ!,TFIICI:S

~35 ~]5

sobre

1

A = [-

multiplicando A por la izquierd&, por una n¡&triz elemental apropiada. En cada caso, vt:rifique la respuesta llevando a cabo la operación sobre los renglor¡~s directamente sobre A. a)

b; r)

Intercambie el primero y ter¡::er renglones. Multiplique el ~egundo renglón por 1/3 . Sume el dob~e del segundo renglón al prin1ero.

11. Exprese la matriz 3

3

-5 1

7

en la form a A = EFR, en donde E y F SO!) matrices elementales y R est4 en la forma escalonada en los renglones . 12. Demuestre que si

,1 O0] A =

lO

1 O b e

a

es una matriz elemental, entonces al menOS un elemento del tercer renglón debe ser un cero . 13. Encuentre la inversa de cada una de las matrices de 4 X 4 siguientes, en donde k 1, k 2 ,.k 3 , k4 Y k son todas diferentes de cero.

(a)

[

kl O O

O O k2 O O k3

0-' O O

O

O

k4

O

J

(b)

O

k

O

1 k

O

[

k4

(e)

[

O

Ú

O

O1 k

01 °0J

O O 1 k

14. Pruebe que si A es una matriz de m X n , existe una matriz inversible e tal que CA está en la forma escalonada en los renglones reducida. 15. Pruebe que si A es una matriz inversible y B es equivalente respecto a los renglones a A entonces B ta mbién es inversible.

1.7

RESULTADOS ADICIONALES ACERCA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES Y LA INVERSIBILlDAD

En esta seccÍón se establecen más resultados acerca de los sistemas de ecuaciones lineales y la inversibilidad de las matrices. Lo que se vea conducirá a un método para resolver n ecuaciones en n incógnitas, que es más eficaz que la eliminación g;lllssiana, para ciertos tipos de problemas.

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RESULTADOS ADICIONALES AO~RCA DE

los SISTEMAS DE ECUACIONES

69

Teorema 11. Si A es una matriz irtversible de n X n, entonces para cada matriz B di! n Xl, el sistemd de ecuaciones AX = B tiene exactamente una solución. a saber, X = A -1 B. Dernostrdción. PuestO' que A(A -1/1) == B, X = A -1 B es una sO'lución de AX = B. Para dertlO'stta:t que ésta: es la única sO'lUclón, se supO'ndrá que X o es una sO'lución arbitraria y, a continuación, se demostrará que X o debe ser la sO'lución A -1 B. Si Xd es cua:lquier solución, entO'nces AXo = B. Al multiplicar IO's dO's miembros por A -1 , se tt15tiene Xo = A - 1

B: •

EjemPló 33 Cónsidere él sisterna de eeUaciO'nes lineales

+ ~X 2 + 3.\ 3 = 5 2x 1 + 5X1 + 3.\3 = 3 Xl + 8.\'3 = 17 xj

En la: f(jrniá matricial. este sistema se puede eScribir come AX = B, en dO'nde

A=

1 :2 3] [~ ~ ~

[Xl]

y = .::

B=

[

5J

1~

En el ejemplO' 30 se dettidstt6 q116 A es lnversible y que

-40 1

A- =

[

1~

-~]

16 -5 _1

- 1

Por el teO'fema 11. la selución del sistema es 16

~] ~] rL-~]

-5 [ = - 2 -1 17

2

La técnica que Sé ifustró en este ejemplO' sólO' se aplica cuandO' la matriz de ceeficientes A es cuadrada, es decir, cuando el sistema tiene tantas ecuacienes cerne incógnitas. Sin e'mbargO', rtnichO's problemas de la ciencia y la ingeniería cemprenden sistemas de este tipO' . Ei métO'de eS útil en particular cuandO' eS necesariO' resolver una serie cempleta de sistemas AX= 13 1 , AX= 132 " " , AX= Bk

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

70

cada uno de los cuales tiene la misma matriz cuadrada de coeficientes A. En este caso, se pueden obtener las soluciones

X= A -lBI,X= A -IB 2 ,

... ,

X= A - IBk

aplicando una inversión de matrices y k multiplicaciones de matrices. Este procedimiento es más eficaz que el de aplicar por sep¡¡rado la eliminación gaussiana a.. cada uno de los k sistemas. Se hará un paréntesis para ilustrar en qué forma puede surgir esta situación en las aplicaciones. En ciertos problemas de aplicación, se consideran sistemas físicos que pueden describirse como cajas negras. Este término indica que se ha despojado al sistema de todo lo superfluo y se contemplan sus características esenciales. Como se ilustra en la figura 1.5, uno se imagina simplemente que si se aplica cierta entrada al sistema, entonces se

Sistema (Caja negra)

Salida

Figura 1.5

obtendrá de él determinada salida. La forma en que funciona el sistema internamente se desconoce o no tiene importancia para el problema - de ahí el nombre de caja negra. En el caso de muchos sistemas importantes de caja negra, es posible describir matemáticamente tanto la entrada como la salida en forma de matrices que tienen una sola columna. Por ejemplo, si la caja negra consta de cierta circuitería electrónica, entonces la entrada podría ser una matriz de n X 1 cuyos elementos fuesen n voltajes leídos a través de determinadas terminales de entrada, y la salida podría ser una matriz de n X 1 cuyos elementos fuesen las corrientes resultantes en n alambres de salida. Hablando matemáticamente, un sistema de este tipo hace nada más que transformar una matriz de entrada de n X 1 en una matriz de salida de n X 1. Para una clase grande de sistemas de caja negra, una matriz de entrada C está relacionada con la matriz de salida B por medio de una ecuación matricial AC= B

en donde A es una matriz de n X n cuyos elementos son parámetros físicos determinados por el sistema. Un sistema de este tipo es un ejemplo de lo que se conoce como sistema [isico lineal. En las aplicaciones, a menudo es importante determinar qué entrada se debe aplicar al sistema para lograr una determinada salida deseada. Para un sistema físico lineal del tipo que acaba de describirse , esto equivale a resolver la ecuación AX = B para la entrada X desconocida, dada la salida B que se desea. Por tanto, si se tiene una sucesión de matrices de salida diferentes B 1, .. . , Bk , Y se desea determinar las matrices de entrada que producen estas salidas dadas, será necesario resolver sucesivamente los k sistemas ,de ecuaciones lineales AX= BI

j = 1, 2, .' " k

cada uno de los cuales tiene la misma matriz cuadrada A de coeficientes.

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RESUL TADOS ADICIONALES ACERCA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

71

El teorema que sigue simplifica el problema de demostrar que una matriz es inversible. Hasta ahora, para demostrar que una matriz A de n X n es inversible, era necesario encontrar una matriz B de n X n tal que

AB= 1

BA = 1

y

El teorema que sigue a continuación muestra que si se produce una matriz B de n X n que satisfaga cualquiera de las dos condiciones que se dan , entonces la otra condici6n :;e cumple automáticamente. Teorema 12. Sea A una matriz cuadrada.

a) b)

Si B es una matriz cuadrada que satisface BA = 1, entonces B = A -1. Si B es una matriz cuadrada que satisface AB = 1, entonces B = A -1

DemostraciólI. Se probará (a) y se dejará (b) como ejercicio. a) Supóngase que BA = 1. Si es posible demostrar que A es inversible, se puede completar la demostración al multiplicar los dos miembros de BA = 1 por A - 1 para obtener BAA

- 1

= lA

- 1

o

BI= lA

- 1

o

B= A

-1

para demostrar que A es inversible. basta con demostrar que el sistema AX = O tiene únicamente la solución trivial (véase el teorema 10). Sin embargo, si se multiplican por la izquierda ambos miembros de AX = O por B, se obtiene BAX = BO , o bien, IX = O, o bien, X = O. Por tanto, el sistema de ecuaciones AX = O tiene solamente la solución trivial. I Ahora se está en condiciones de agregar una cuarta proposición que equivale a las tres dadas en el teorema 10. Teorema 13. Si A es una matriz de n X n, entonces las proposiciones que siguen son equh'alelltes:

a) b) e) d)

A es i/ll'ersible. AX = O tielle únicamente la solución trivial. A es equil'alente respecto a los renglones a In. AX = B es consistente para toda matriz B de n X 1.

DemostraciólI. Puesto que se probó en el teorema 10 que (a), (b) Y(e) son equivalentes, bastará con probar que ...