Matematicas IV. Algebra lineal PDF

Preview

Summary

LARSON Matemáticas IV ÁLGEBRA LINEAL Matemáticas IV • ÁLGEGRA LINEAL Matemáticas IV Matemáticas IV. Álgebra lineal, ha sido adaptado por el maestro Joel Ibarra para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México a partir d...

Description

LARSON

Matemáticas IV ÁLGEBRA LINEAL

En Matemáticas IV. Álgebra lineal el estudiante hallará abundantes ejemplos, explicaciones, recuadros, tablas, definiciones y ejemplos para hacer más fácil el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo del álgebra lineal. Además de ello, la Unidad 1 correspondiente a números complejos es completamente nueva. En suma, estas páginas equilibran la teoría con ejemplos, aplicaciones y prácticas para lograr un sistema de aprendizaje completo.

Matemáticas IV • ÁLGEGRA LINEAL

Matemáticas IV. Álgebra lineal, ha sido adaptado por el maestro Joel Ibarra para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México a partir de las páginas del reconocido volumen Fundamentos de álgebra lineal de Ron Larson.

Matemáticas IV ÁLGEBRA LINEAL

ISBN-13: 978-607-526-554-4 ISBN-10: 607-526-554-6

RON LARSON Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

9 786075 265544

Álgebra lineal. Matemáticas 4

www.elsolucionario.org free online eBooks and Solutions Manual can be found at www.elsolucionario.org

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd i

08/03/17 10:46

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd ii

08/03/17 10:46

Álgebra lineal Matemáticas 4 Ron Larson

The Pennsylvania State University The Behrend College

Joel Ibarra Escutia

Instituto Tecnológico de Toluca Traducción

Oliver Davidson Véjar Traductor profesional

Revisiones técnicas de esta edición

MSc. Harold Vacca González

Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá (Colombia)

Mtro. Francisco Javier Avilés Urbiola Instituto Tecnológico de Querétaro

www.elsolucionario.org free online eBooks and Solutions Manual can be found at www.elsolucionario.org

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd iii

08/03/17 10:46

Álgebra lineal. Matemáticas 4 Ron Larson y Joel Ibarra Gerente Editorial de Contenidos en Español: Jesús Mares Chacón Editora de Adquisiciones para Latinoamérica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Antonio Mateos Martínez Gerente de Desarrollo Editorial en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editor: Omegar Martínez Diseño de portada: Daniela Torres Arroyo Imagen de portada: Shutterstock Composición tipográfica: José Jaime Gutiérrez Aceves

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301. Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa. C.P. 05320. Ciudad de México. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Reg 103 Traducido del libro: Elementary linear algebra Seventh Edition Publicado en inglés por Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-1-133-11087-3 Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron y Joel Ibarra Álgebra lineal. Matemáticas 4 ISBN: 978-607-526-554-4 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd iv

08/03/17 10:46

Contenido vi

Prefacio

1 2

Números complejos

1

1.1

2

Números complejos

Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 2.2

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan

21 22 33

3

Matrices y determinantes

45

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

47 59 69 81 91 99 107 115

4

Espacios vectoriales

5

Transformaciones lineales

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

5.1 5.2 5.3 5.4

Operaciones con matrices Propiedades de las operaciones con matrices Inversa de una matriz Matrices elementales Determinante de una matriz Determinantes y operaciones elementales Propiedades de los determinantes Adjunta de una matriz y regla de Cramer

Espacios vectoriales Subespacios de espacios vectoriales Conjuntos generadores e independencia lineal Base y dimensión Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales Coordenadas y cambio de base Espacios con producto interno Bases ortonormales: el proceso de Gram-Schmidt

Introducción a las transformaciones lineales El kernel y el rango de una transformación lineal Matrices de transformaciones lineales Matrices de transición y semejanza

125 127 135 142 153 162 175 185 196

207 208 219 230 240

www.elsolucionario.org free online eBooks and Solutions Manual can be found at www.elsolucionario.org

v

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd v

08/03/17 10:46

vi

Contenido

6

Eigenvalores, eigenvectores y formas cuadráticas 6.1 6.2 6.3 6.4

247

Eigenvalores y eigenvectores Diagonalización Matrices simétricas y diagonalización ortogonal Formas cuadráticas

248 259 268 278

Proyectos

283

Examen acumulativo

294

Respuestas a los ejercicios impares seleccionados

301

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd vi

08/03/17 10:46

Prefacio Álgebra lineal. Matemáticas 4 es una adaptación del muy reconocido Fundamentos de álgebra lineal de Ron Larson. La adaptación fue hecha por el maestro Joel Ibarra del Instituto Tecnológico de Toluca para el uso del texto según las necesidades y requisitos de los planes de estudio de las sedes del Tecnológico Nacional de México. Este libro incluye una completamente nueva unidad 1 con ejemplos, ejercicios y sección de proyectos. Adicionalmente, en esta entrega se han mejorado por completo varios capítulos del libro y se han agregado y actualizado ejercicios, ejemplos, casos y definiciones en todas sus secciones. A la vez que ha sido completamente replanteado, el volumen conserva, amplía y da énfasis a los ejercicios y al sistema que ha dado tanto reconocimiento a los libros de su autor original, haciéndolo más enfocado sin perder valor. Este libro cuenta, además de con tres capítulos adicionales en CengageBrain, con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles únicamente en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor información, póngase en contacto con el área de servicio al cliente en las siguientes direcciones de correo electrónico: • • • •

Cengage Learning México y Centroamérica Cengage Learning Caribe Cengage Learning Cono Sur Cengage Learning Pacto Andino

[email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

Al igual que los recursos impresos adicionales, las direcciones de los sitios web señaladas a lo largo del texto, y que se incluyen a modo de referencia, no son administradas por Cengage Learning Latinoamerica, por lo que ésta no es responsable de los cambios y actualizaciones de las mismas.

vii

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd vii

08/03/17 10:46

www.elsolucionario.org

00LarsonTEC(i-viii)Prelim.indd viii

08/03/17 10:46

1 1.1

Números complejos Números complejos

Telecomunicaciones

Dinámica de fluidos

Astrofísca

Electrónica Física nuclear

1

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 1

16/03/17 21:09

2

Unidad 1

1.1

Números complejos

Números complejos Iniciemos esta sección considerando la ecuación general cuadrática con coeficientes reales ax2 ! bx ! c " 0 El teorema fundamental del álgebra nos garantiza que por ser una ecuación de grado dos, tendrá exactamente dos raíces. Se sabe, por completación de cuadrados, que dichas dos raíces son x

b p b 2 4ac 2a

Expresión conocida como la fórmula general de la ecuación cuadrática. La expresión I " b2 # 4ac se conoce como el discriminante de la ecuación y se sabe que si I $ 0 existen dos raíces reales diferentes; si I " 0 existen dos raíces reales repetidas. Una manera de abordar el estudio de los números complejos es considerar las raíces de la ecuación para el caso restante I % 0. Consideremos la ecuación cuadrática x2 ! 1 " 0. Algebraicamente se puede verificar — que la solución debe satisfacer x2 " #1 o de manera equivalente x2 " &!#1. Esto nos permite introducir la definición de la unidad imaginaria i.

Definición 1.1

La unidad imaginaria i

Se define la unidad imaginaria i como el número imaginario que satisface i2 " #1 — o bien i "!#1.

Esta definición nos permite resolver el caso I % 0 de la ecuación cuadrática, porque bajo esta condición se tienen las dos raíces x

b p  b 2 4ac 2a

agrupar

x

b p 1 b 2 4ac 2a

Separar radicando

x

b p b 2 4ac i 2a

utilizar i2 " #1

EJEMPLO 1

Raíces complejas de una ecuación cuadrática

Para la ecuación x 8x  25  0, se tienen los valores a 5 1, b 5 28 y c 5 25. Al aplicar la fórmula general tenemos x

( 8) p ( 8)2 4(1)(25) 2(1)

sustituir

x

8 p 36 2

simplificar

x

8 p 6i 2

utilizar i2 " #1

De donde x1  4  3i y x 2  4 3i.

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 2

16/03/17 21:09

1.1

3

Números complejos

Al considerar la unidad imaginaria, es posible definir el conjunto de los números complejos. Al respecto la siguiente definición.

Definición 1.2

Los números complejos

Se define el conjunto de los números complejos como  [a  bi | a,b  , i 2  1] Los números complejos también se conocen como números imaginarios. La expresión a ! bi recibe el nombre de forma rectangular o binomial de un número complejo. Si z " a ! bi es un número complejo se define su parte real como Re(z) " a y su parte imaginaria como Im(z) " b. De esta manera z " Re(z) ! i Im(z). Para el caso particular en que a " 0 el complejo resultante z " bi se conoce como un complejo puro.

EJEMPLO 2

Partes real e imaginaria de un número complejo

Dado el número complejo 3 # 20i se verifica que su parte real es Re(3 # 20i) " 3 y su parte imaginaria Im(3 # 20i) " #20. Se puede observar que si b " 0 entonces z " a ! 0i " a es un número real, de manera que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos. ‹

‹

‹

‹

IGUALDAD DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS Se considera que dos complejos son iguales si sus correspondientes partes reales son iguales y sus correspondientes partes imaginarias son iguales, es decir a1  i b1  a2  i b2 si y solo si a1 " a2 y b1 " b2

OPERACIONES EN LOS COMPLEJOS Los números complejos se pueden operar de manera sencilla si se consideran como binomios y se utilizan las operaciones algebraicas normales. Se tienen los siguientes casos: i) Si z " a ! ib y w " c ! id son dos números complejos la suma se define como z  w   a  ib   c  id  a  c  i  b  d ii) Si k ! ! y z " a ! bi se define el producto de un escalar real por un complejo como k z  k  a  ib  ka  ikb iii) Si z " a ! ib y w " c ! id, se define el producto de dos números complejos como z w   a  ib  c  id  ac  i ad  i bc  i 2 bd   ac bd   ad  bc i

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 3

16/03/17 21:09

4

Unidad 1

Números complejos iv) Al considerar la potencia de un número complejo como un producto sucesivo de la base, se tiene que si n es un entero positivo, la potencia n-ésima de un complejo se puede expresar como zn  z – z –

z

n-factores

En la siguiente definición se enuncian las operaciones básicas con los números complejos.

Definición 1.3 Operaciones con los números complejos Dados los complejos z " a ! ib y w " c ! id, y k ! ! de definen las siguientes operaciones i) z  w   a  ib   c  id   a  c  i  b  d ii) k z  k  a  ib  ka  ikb

Suma de complejos Producto escalar por complejo

iii) z w   a  ib  c  id   ac bd   ad  bc i

Producto de complejos

iv) z  z – z –

Potencia de un complejo

n

z

n-factores

EJEMPLO 3

Operaciones con números complejos

Si z " 1 # 3i y w " #4 ! 5i calcular las operaciones (i) z ! w, (ii) z # w, (iii) 5z # 3w, (iv) z2, (v) z5 SOLUCIÓN i) z  w  1 3i   4  5i  3  2i ii) z w  1 3i  4  5i  5 8i iii) 5z 3w  5 1 3i 3  4  5i  17 30i iv) z w  1 3i  4  5i  11 17i v) z 2  1 3i 1 3i  8 6i 3 vi) z  1 3i 1 3i  26  18i 2

vii) z 4  1 3i 1 3i  28  96i 2

2

5 viii) z  1 3i 1 3i 1 3i   8 6i  8 6i 1 3i  316  12i. 2

2

EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Si bien el concepto de espacio vectorial se estudia a detalle en la unidad 4, ya estamos en condiciones de conocer las propiedades que satisfacen los números complejos con las operaciones de suma de complejos y producto de un escalar por un complejo y que hacen del conjunto " un espacio vectorial real. Se deja al lector como un ejercicio de suma importancia verificar cada una de estas propiedades. Si z1, z2, z3 ! " son tres números complejos y a, b ! ! escalares reales, se satisfacen las siguientes propiedades i) (Cerradura de la suma) z1 1 z2 ! " ii) (Conmutatividad de la suma) z1 1 z2 5 z2 1 z1

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 4

16/03/17 21:09

1.1

Números complejos

5

iii) (Asociatividad de la suma) (z1 1 z2) 1 z3 5 z1 1 (z2 1 z3) iv) (Neutro aditivo) Existe 0 ! " tal que z1 1 0 5 z1 para cada z1 ! " v) (Inverso aditivo) Para cada z1 ! " existe 2z1 ! " tal que z1 1 (2z1) 5 0 vi) (Cerradura de producto por escalar) a z1 ! " vii) (Asociatividad de los escalares) (ab)z1 5 a(bz1) viii) (Primera ley distributiva) a(z1 1 z2) 5 az1 1 az2 ix) (Segunda ley distributiva) (a 1 b)z1 5 az1 1 bz1 x) (identidad multiplicativa) Si 1 ! ! entonces 1 ' z1 5 z1 para cada z1 ! " Es importante notar que para las propiedades antes listadas y que hacen de " un espacio vectorial, solo se consideran la suma de complejos y la multiplicación de un escalar real por un complejo. Si observamos con detenimiento, las propiedades anteriores son las mismas que cumplen los números reales. Un número complejo z " a ! bi se puede representar gráficamente en el plano carteciano asociándolo al punto de coordenadas (Re(z), Im(z)) 5 (a, b). En ocasiones al eje x se le conoce como eje real y al eje y como eje imaginario. En la figura 1.1 se representa al complejo z " a ! bi si se considera a, b $ 0

y " Im(z) z " a ! bi

b

a

x " Re(z)

Figura 1.1 Representación gráfica del complejo z " a ! bi.

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO En la siguiente definición se presenta el concepto de conjugado de un número complejo.

Definición 1.4 Conjugado de un número complejo Dado el complejo z " a ! bi, se define su conjugado como z– " a # bi.

El conjugado de un número complejo es el “reflejo” respecto del eje x. En la figura 1.2 se puede observar esta propiedad.

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 5

16/03/17 21:09

6

Unidad 1

Números complejos y " Im(z)

z " a ! bi

b

a

x " Re(z)

z– " a # bi

Figura 1.2 Conjugado de un complejo.

A continuación se enuncian algunas propiedades de los números complejos conjugados.

Propiedades de los complejos conjugados i) z  w  z  w ii) zw  z w iii) k w  k w, k ! ! iv)

z z = w w n

v) z n = (z) vi) z  z

Se deja como un ejercicio al lector, la justificación de todas estas propiedades.

EJEMPLO 4

Conjugado de un complejo

Los siguientes son ejemplos del conjugado de un número complejo i) 3  2i  3 2i ii) 1 8i  1 8i iii) 4 7i  4  7i iv) 3  4 2i  3  4  2i  12  6i v) 3 6i  3  6i  3 6i vi) 6  6 vii) 4i  4i viii)

3+ 2i 2 23 3 2i = = + i 4 + 5i 4 5i 41 41

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 6

16/03/17 21:09

1.1

7

Números complejos

ix)  2  3i  1 4i   2 3i  1 4i  14 5i





3

viii)  4 7i   4 7i   4  7i  524 7i. 3

3

Definición 1.5 Magnitud y argumento de un complejo Sea z " a ! bi un complejo. Se define su magnitud como r  z  a 2  b 2 , y su argumento como el ángulo entre la parte positiva del eje real y el radiovector defib nido por el punto (a, b) y se denota como = arg z = tan 1 , con 0 b Q  2P . a Se puede verificar que geométricamente, la magnitud de un complejo es la distancia del origen al punto que representa al número en el plano. En la figura 1.3 se puede observar la magnitud r y el argumento u del complejo z " a ! bi.

z " a ! bi

b

r

u a Figura 1.3 Magnitud de un número complejo

En la figura 1.4 se puede observar la relación que existe entre la magnitud y el argumento de un complejo y su conjugado. Se cumple que z  z y arg  z  arg  z z " a ! bi

b

r

u a

#u

r

z " a # bi Figura 1.4 Magnitud y argumento de z y z–.

www.elsolucionario.org

01LarsonTEC(001-020).indd 7

16/03/17 21:09

8

Unidad 1

Números complejos Si z " a ! ib se verifica que z z   a  ib  a ib  a 2  b 2, de manera que por definición de magnitud de un complejo se tiene zz  z 2 Si utilizamos esta propiedad, la división de los complejos z y w, con w ( 0, se escribe como z z w zw   w ww w 2 Como una consecuencia, se puede calcular el recíproco de un complejo no cero al escribir a b 1 1z z   

i 2 2 z zz z z 2 z

EJEMPLO 5 Calcular a)

Recíproco de un complejo y división de dos complejos

1 4  7i y b) 5 4i 3 2i

SOLUCIÓN 1 5  4i 5  4i 5 4 1     i a) 2 41 41 5 4i 5 4i 5  4i 25 1...