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ACTIVIDAD # 5TALLER METODOS DE SOLUCION DE SISTEMASDE SCUACIONES Y MATRIZ INVERSAYELISSA MOSQUERA CHALAYUVER PALACIOS MOYASEMESTRE:VIIITUTOR:DAVID FERNANDO MÉNDEZ VARGASCOMPONENTE: ALGEBRA LINEALNRC: 23981CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOSEDUCACION CON CALIDAD AL ALCANCE DE TODOSFACULTAD DE CI...

Description

ACTIVIDAD # 5

TALLER METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE SCUACIONES Y MATRIZ INVERSA

YELISSA MOSQUERA CHALA YUVER PALACIOS MOYA

SEMESTRE: VIII

TUTOR: DAVID FERNANDO MÉNDEZ VARGAS

COMPONENTE: ALGEBRA LINEAL NRC: 23981

CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS EDUCACION CON CALIDAD AL ALCANCE DE TODOS

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

Actividad 5

Taller: métodos de solución de sistemas de ecuaciones y matriz inversa Apreciado estudiante, en el presente taller encontrará diversos tipos de ejercicios, algunos de los cuales fueron tomados de la sección 9.4 del capítulo 9 del libro “Matemáticas aplicadas a la administración”.1

Para revisar los resultados de cada uno de los ejercicios, puede utilizar las siguientes aplicaciones: • Wolframalpha (https://www.wolframalpha.com/) • Geogebra (www.geogebra.org)

Actividad Para cada uno de los siguientes conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas, determine si hay una solución única y obtenga la solución, si existe, utilizando la regla de Cramer. Desarrolle cada ejercicio paso a paso: 1) En cada caso halle la matriz inversa mediante los siguientes métodos:  El método de los determinantes.

a)

A−1=

(

1 0 3 A= 1 0 2 4 −1 6 Adj( A t ) det (A )

)

Det(A)= 1(0*6-2*-1)- 0(1*6-2*4) +3(1*-1-0*4) =

1*2+0+3(-1) =2-3=-1

(

1 1 4 A t = 0 0 −1 3 −1 6

)

:: AdjAt11=(0*6-(-1)(-1))=0-1=-1 ;

AdjAt12=(0*6-(-1*3))=0+3=3; AdjAt13=(0*-1-0*3)=0 AdjAt21= (1*6-(4*-1))=6+4=10; AdjAt22=(1*6-3*4)=6-12=-6 AdjAt 23=(1*-1-1*3) =-1-3=-4;AdjAt31=(1*-1-4*0)=-1 AdjAt32=(1*-1-0*4)=-1 ; AdjAt33=(1*0-1*0)=0

t

Adj(A )=

a)

−1 3 0 10 −6 − 4 −1 −1 0

(

-1

A =

)

5 0 3 B= 12 −2 3 5 −1 1 Escriba aquí la ecuación .

1 −3 0 10 6 4 1 1 0

(

)

Det(B)= 5(-2*1-3*-1)+3(12*-1-(-2*5))= 5-6=-1

(

5 12 5 B t= 0 −2 −1 3 3 1

)

AdjBt11=(-2+3)=1;AdjBt12=3;AdjBt13=6;

AdjBt21=12-15=-3; AdjBt22=5-15=-10; AdjBt23=15-36=-21; AdjBt31=12+10=-2; AdjBt32=-5; AdjBt33=-10

1 3 6 Adj(B )= −3 −10 −21 −2 −5 −10 t

b)

( (

1 −2 4 C= 1 −1 1 0 1 −2

Ct=

)

−1 −3 −6 B = 3 10 21 2 5 10 -1

;; Det(C)=1(2-1)-(-2(-2-0))+4(1)= 1-4=-3

)

1 1 0 −2 −1 1 ; ;AdjCt11=(2-1)=1; AdjCt12=4+4=8; AdjCt13=4 1 −2

2+4=2; AdjCt21=-2; AdjCt22=-2; AdjCt23=1-4=-3; AdjCt31=1; AdjCt32=1; AdjCt33=1+2=1; Adj(Ct)=

c)

(

1 8 2 −2 −2 −3 1 1 1

1 0 2 D= 2 −2 3 1 −1 1

)

;; C-1=

−1/ 3 −8 / 3 2/3 2/3 2/3 1 1/3 1 /3 1 / 3

;; Det(D)= (-2+3)+2(-2+2)= 1;Dt=

1 2 1 0 −2 −1 2 3 1

AdjDt11=(-2+3)=1; AdjDt12=(2);AdjDt13=4;AdjDt21=2-3=-1 AdjDt22=(12)=-1;AdjDt23=-1;AdjDt31=4;AdjDt32=(3-4)=-1; AdjDt33=-2;

(

)

1 2 4 −1 −1 −1 4 −1 −2

Adj(Dt)=

(

1 2 4 −1 −1 −1 4 −1 −2

;;como Det(D)=1 entonces: D-1=

)

2) En los siguientes problemas, encuentre la inversa de la matriz dada (si existe): a)

[32 54]

;Det(A)=15-8=7;

b)

[12 40]

;Det(B)=0-8=-8;

c)

[−63 −24 ]

[−25 −43 ] [−20 −41 ]

; A-1=

;B-1=;

5/7 −4 / 7 −2/ 7 3 / 7

[10/4

1/ 2 −1/8

]

;Det(C)=12-12=0, como el det=0 entonces no tiene

inversa.

d)

[

2 4 3 1 −3 1 2 4 −2

[

]

;Det(D)=2(6-4)-4(-2-2)+3(4+6)=4+16+30=50;

2 1 2 t=¿ 4 −3 4 3 1 −2 ¿ D

]

;

t

Adj(D )=

D-1=

e)

[

]

Adj(E )=

f)

[

[

2/50 −20 /50 13 / 50 −4 /50 −10 /50 −1/50 10 /50 0 −10 / 50

1 4 0 −9 0 2 2 0 3

t

E´-1=

[

2 (−8−12) (4+ 9 ) (−2−2) (−4−6) ( 2−3 ) (4+ 6) (8−8) (− 6−4 )

[

[

] [ =

2 −20 13 −4 −10 −1 10 0 −10

;

1/25 −2/5 13 / 50 −4 /50 −1/5 −1/50 1/5 0 −1/ 5

;

] [ =

[

] ]

0 12 8 (−27−4 ) 3 2 0 −8 36

] [ =

0 12/124 8/124 −31/124 3 /124 2/124 0 −8/124 36/124

1 0 0 4 4 −2 2 1 2 0 1 0 1 3 2 3

]

]

0 12 8 −31 3 2 0 −8 36

=

]

1 −9 2 0 0 0 2 3

Det(E)=-4(-27-4)=124; Et ¿ 4

]

0 3/31 2/31 1/ 4 ¿ 3 /124 ¿ 1/62 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

;Det(F)=1(-2(3)+1(-3))-4((4*-3)+2(3)+2(6)=

-9-4(-6)=-9+24=15;

Et

[

[

1 4 2 0 −2 0 ¿ 0 2 1 4 1 0

(−2∗3+1∗3) (3∗− 4 ) (2∗−8 ) (2∗−4 ) 4∗ 3−2(6−2 ) +1(−1) ¿ (3−2∗−8−4 ) ¿ 1 (6−2)−4 −4 ( )+2(− 8) 3 ; Adj(Et)= ¿ 2 −1 −4 (−4 ) +2(−8 ) 3 ¿ (−2 (−6 −3 ) ) ¿ −2(−12 ) ¿ ¿ (−6 −3 )−4 ( −12 )+8 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

−2 −12 −16 3 15 1 18 24 47 6 −3 −10

]

−8 −1 16 −2

]

−2/15 −12 /15 −16/15 1/5 1 1/15 ; E-1= 6/5 8 /5 47 /15 6/15 −1 /5 −2 /3

−8/15 −1/15 16 / 15 −2 / 15

3) “(Modelo insumo-producto). La interacción entre tres industrias P, Q y R está dada por la tabla 1. Tabla 1 Industria P Q R

Demandas finales

Producción total

40

100

20

200

80

200

Industria P Q R Insumos Primarios

2 0 4 0 0 4 0

0

40

4 100 0 8 40 0 8 0

20

Fuente: problemas de la sección 9.4 del libro Matemáticas aplicadas a la administración de Arya, Ed. Pearson.

a) Construya la matriz de insumo-producto.

A=

20 /100 0 /200 40 /200 40 /100 40 /200 100/200 0 /100 80 / 200 40 /200

[ ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

-

=

] [

1 /5 0 1 /5 2/5 1/5 1 /2 0 2/5 1 /5

=

1/5 0 1/5 2/5 1/5 1 / 2 0 2 /5 1 / 5

4 /5 0 −1/ 5 −2/5 4 /5 −1/2 0 −2/5 4 / 5

]

b) Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro a 70, 50 y 120, respectivamente. Tabla 1 Industria P Q R

Demandas finales

Producción total

70

130

50

230

120

240

Industria P Q R Insumos Primarios

2 0 4 0 0 4 0

0

40

4 100 0 8 40 0 8 0

20

La Producción total pasara para P: de 100 a 168.75 Q: de 200 a 350 R: de 200 a 325

c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias? Tabla 1 P Industria P

Industria Q R

2

0

40

Demandas Producción finales total 70

130

0 4 100 R= 32,5 Los insumos serianQP= 67,5. Q=40 140. 0 50 R 0 80 40 120

230 240

4) Repita el ejercicio 3 para los tres sectores de economía dados en la tabla 2, si las nuevas demandas finales son 68, 51 y 17 para P, Q y R, respectivamente. Tabla 2.

Industria P Q R Industria P Q R Insumos Primarios

22 80 76 88 40 38 66 60 57

Demandas Producción finales total 42 34 7

220 200 190

44 20 19

Con las nuevas demandas finales 68, 51 y 17 para P, Q y R, la tabla 2. Quedaría de la siguiente manera. Industria P Q R Industria P Q R Insumos Primarios

22 80 76 88 40 38 66 60 57 70 37 29

Demandas Producción finales total 68 51 17

246 217 200

A. matriz de insumo-producto.

A=

22 /246 80 /217 76 /200 88 /246 40 /217 38 /200 66 /246 60 /217 57 /200

[ ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

-

=

11/123 80/217 19 / 50 44 /123 40 / 217 19 /100 11 /41 60/217 57 / 200

11 /123 80 /217 19 /50 44 /123 40 /217 19 /100 11 /41 60 /217 57 /200

] [ =

]

112 /123 −80 /217 −91 /50 −44 / 123 177 / 217 −19 /100 −11 /41 −60 /217 143/200

B. nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro respectivamente La Producción total pasara para P: de 220 a 360 Q: de 200 a 323 R: de 190 a 317 c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias? Para: P: 72 Q: 32,3 R: 31,7

5) Calcule los siguientes determinantes a)

[47 −14 ]

detA=16+7=23

b)

[35 −28 ]

detB=24+10=34

c)

[−x5 4x]

detC=20-x2

d)

[

e)

[ay 34 ]

f)

[

]

1 2 3 5 −1 0 detD=(1(-1))-2(5)+3(20+1)=49 1 4 1

detE=4a-3y

1 1 2 0 −1 0 1 7 1

]

detF=1(-1)+2(1)=1

6) Determine el valor de la incógnita en cada caso. a)

[a2 35 ]

b)

[

=9;;detA=5a-6=9 ;;a=3

]

a+1 2 a a a2 2 =1 =a2-2a-2 ;; a=3; a=-1; cumplen la ecuacón 0 1 0

7) Por medio de la regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. x+ 3 y −z=0 3 x− y +2 z =0 2 x −5 y + z =5 a)

x

y

z

1 3 −1 13 3 −1 2 3−1 2 −5 1 2−5

Δa=

T.I

y

z

= -1+ 12+ 15 – (2-10+9) = 25

0 3 −1 0 3 0 −1 20 −1 5 −5 1 5 −5

Δx=

x

T.I

z

1 0 −1 1 0 3 0 230 2 5 1 25

Δy=

x

y

= 30 - (5 ) = 25

= -15 - (10) = -25

T.I

1 3 0 13 3 −1 0 3 −1 2 −5 5 2−5

Δz=

= -5 - (45) = -50

X= Δx/ Δa= 25 / 25 = 1 Y= Δy/ Δa= −25 / 25 = -1 Z= Δz/ Δa= −50 / 25 = -2 X= 1 Y= -1 Z= -2

b)

3 1 x+ 2 2 x y 1 2 1 3

y =5 3 2 1 2

1 1 x+ y =7 3 2 = (¼)-(3/6) = -1/4

T.I Y

3 2

Δx= 5

7

= (5/2)-(21/2) = -8 1 2

x T.I ΔY=

1 2

5

= (7/2)-(5/3) = 11/6

Δb= -1/4

1 3

7

−8/(−1/4 ) = 32 (11 / 6)/(−1/4 ) = -22/3

X= Δx/ Δb= Y= Δy/ Δb= X=32 Y= -22/3

c)

2 x + y + z=0 x

y

T.I

y

= 8-1 +5 - (2-10+2) = 18

z

0 1 101 −6 2 −1 −6 2 0 5 205

Δx=

x

x

X= Δx/ Δa= Y= Δy/ Δa= Z= Δz/ Δa=

y

= -30 - (-12) = -18

z

2 0 1 20 1 −6 −1 1−6 1 0 2 10

Δy=

Δz=

T.I

x+ 5 y +2 z=0

z

2 1 12 1 1 2 −11 2 1 5 21 5

Δc=

X= -1 Y= -1 Z= 3

x+2 y −z=−6

= -24 - (-6) = -18

T.I

2 1 0 21 1 2 −6 1 2 1 5 0 15

−18 / 18 = -1 −18 / 18 = -1 54 / 18 = 3

= -6 - (-60) = 54

8) Calcular los siguientes determinantes 3x3 por medio de la regla de Sarrus

| |

=

b)

5 0 7 A= 1 3 4 4 3 4

| |

5 0 750 = 1 3 413 4 3 4 43

c)

0 2 9 A= 7 1 2 1 2 8

| |

0 2 902 7 1 271 1 2 812

a)

3 1 7 A= 1 2 9 4 1 1

=

3 1 731 1 2 912 4 1 141

=6+36+7- (56+27+1)= -35

= 60+0+21 - (84+ 60+ 0)= -63

= 0+ 4+126 - (9 + 0+ 112)= 9

…..……………………………………………………… 1

Arya, J. C., Lardner, R. W. e Ibarra, V. H. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (5.a ed.). Pearson. https://www-ebooks7-24-com.ezproxy.uniminuto.edu/?il=3374&pg=1...