Apuntes probabilidad facultad matemáticas ucm 2º año PDF

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Apuntes de la asignatura de probabilidad de la Universidad Complutense de Madrid que se cursa en el segundo año en todas las carreras de la facultad de matemáticas....

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Probabilidad

APUNTES DE CLASE Leandro Pardo Llorente transcritos por David Peñas Manuel Morán Departamento de Estadística e Investigación Operativa Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid Febrero 2013

Documento maquetado con TEXiS v.1.0+.

Este documento está preparado para ser imprimido a doble cara.

Probabilidad

Apuntes de clase para los alumnos Doble grado en Ingeniería Informática-Matemáticas Doble grado en Matemáticas y Físicas

Versión 1.0+

Departamento de Estadística e Investigación Operativa Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid Febrero 2013

A Iñigo, compañero y amigo.

Agradecimientos

En primer lugar, gracias a Leandro por permitirme llevar a cabo este proyecto, siendo todo el contenido de estos apuntes obra suya y a aquellos que me ayudaron: Miguel, Jaime, Mayra, Íñigo e Iker. Merece un especial agradecimiento David, quien se encargó de la generación y edición completa de lo que son ahora estos apuntes, además de ir añadiendo cosas nuevas que Leandro iba dando en clases. Este proyecto es más suyo que mío, ya que al fin y al cabo me dediqué únicamente a la revisión técnica.

Manuel

Gracias a todos los que lográisteis hacer que estas notas que hoy están aquí puedan existir. A Jaime, Mayra y Miguel por esos ratos que estuvieron escribiendo y a Jesús, Quique e Íñigo por la correción de erratas, que han sido numerosas a lo largo del proyecto. A Iker doblemente agradecido, no sólo por escribir, si no por las erratas y sugerencias que todos los días tenía para mí. Sentido agradecimiento a Manuel Blanco, por haber sido guía maquetando el documuento y por estar ahí siempre que esto no compilaba. Su calidad como editor de LATEX es incuestionable. Además, gran parte del Capítulo 5 es de su mano, debido a la imposibilidad por mi parte por tener los apuntes a tiempo.

David vii

Resumen

Azar: casualidad, caso fortuito. Diccionario de la RAE

No puede resumirse más el contenido de esta obra que el que se ofrece en la portada. Probabilidad. Mundanamente se define la probabilidad como la fuerza u ocurrencia con la que se obtiene un resultado (o un conjunto de ellos) al realizar experimentos aleatorios. Al menos esa es la primera noción que el ser humano tiene de probabilidad. Y en esencia es así. Lo que hay por detrás de esa idea (lo aquí expuesto) no es más que fundamentación matemática de este concepto a la vista tan sencillo. Solo que se aplica a procesos muchos más complejos y muchas ocasiones, a sucesos potenciales. La transcripción de estos apuntes busca plasmar una teoría del cálculo de probabilidades que cualquier alumno de ciencias ó ingeniería debe manejar con soltura.

Suerte en tu aventura con ellos.

ix

Índice

Agradecimientos Resumen

VII

IX

1. Introducción 1 1.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Límites de sucesiones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Álgebras y σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1. Generación de álgebras y σ-álgebras . . . . . . . . . . 6 1.3.2. σ-álgebras particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Probabilidad 2.1. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa . . . . . . . . . . . . 2.2. Definición axiomática de probabilidad . . . . . . . . . . . . . 2.3. Espacio de probabilidad discreto. Análisis combinatorio. . . . 2.3.1. Breve repaso de combinatoria . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Probabilidad condicionada e independencia de sucesos . . . . 2.4.1. Teorema de la probabilidad total . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Independencia de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Función de distribución en R . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 17 18 20 22 23 24 27

3. Variables aleatorias unidimensionales 31 3.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Concepto de variable aleatoria. Propiedades . . . . . . 31 3.1.2. Probabilidad inducida por una variable aleatoria . . . 35 3.1.3. Transformaciones de una variable aleatoria . . . . . . 38 3.2. Características de las variables aleatorias unidimensionales . . 43 3.2.1. La esperanza matemática . . . . . . . . . . . . . . . . 43 xi

xii

Índice 3.3. Otras medidas de centralización . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1. Momento de orden k centrado en origen . . . . . . . . 47 3.3.2. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.3. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4. Medidas de dispersión de una variable aleatoria . . . . . . . . 49 3.4.1. Varianza y desviación típica . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.2. Momento de orden k respecto de la media . . . . . . . 51 3.5. La desigualdad de Tchebychev. Aplicaciones . . . . . . . . . . 52 3.6. Función generatriz de momentos. Función característica . . . 53 3.7. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.7.1. Distribución de Bernoulli pBerppqq . . . . . . . . . . . 56 3.7.2. Distribución binomial pBpn, pqq . . . . . . . . . . . . . 57 3.7.3. Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.7.4. Distribución geométrica o de Pascal . . . . . . . . . . 60 3.7.5. Distribución binomial negativa . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.6. Distribución hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.8.1. Distribución uniforme pU pa, bqq . . . . . . . . . . . . . 65 3.8.2. Distribución normal (N pµ, σ q) . . . . . . . . . . . . . 66 3.8.3. Distribución gamma (γpa, pq) . . . . . . . . . . . . . . 69 3.8.4. Distribución beta (βpp, q q) . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. Variables aleatorias multidimensionales 73 4.1. Variables aleatorias bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . 73 4.1.1. σ-algébra de Borel. Función de distribución . . . . . . 73 4.1.2. Variable aleatoria bidimensional. Propiedades . . . . . 77 4.1.3. Distribuciones marginales y condicionales . . . . . . . 80 4.1.4. Independencia de variables aleatorias . . . . . . . . . . 83 4.1.5. Transformación de variables aleatorias . . . . . . . . . 85 4.2. Momentos. Función característica . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.1. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.2. Función característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.3. Familias reproductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3. Esperanza y varianza condicionadas. Regresión y correlación . 93 4.3.1. Esperanza y varianza condicionadas . . . . . . . . . . 93 4.3.2. Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.3. Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.4. Curvas de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4. Distribuciones notables (n-dimensionales) . . . . . . . . . . . 106 4.4.1. Distribución multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.2. Distribución normal bidimensional . . . . . . . . . . . 108

Índice

xiii

5. Convergencias estocásticas 111 5.1. Convergencia de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2. Leyes de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.1. Leyes débiles de los grandes números . . . . . . . . . . 119 5.2.2. Leyes fuertes de los grandes números . . . . . . . . . . 121 5.3. El teorema central del límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4. Corrección por continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Capítulo 1

Introducción

1.1.

Experimentos aleatorios

Definición 1.1 (Experimento). Se denomina experimento aleatorio a aquel experimento que verifica las siguientes condiciones: a) Se conocen previamente los posibles resultados del experimento. b) Es imposible conocer el resultado antes de realizarlo. c) Si se realiza el experimento sucesivas veces en las mismas condiciones pueden aparecer resultados distintos. Ejemplo 1.1. Algunos experimentos aleatorios. Lanzamiento de un dado al aire. Consumo de agua diario en una ciudad. Tiempo que tarda cada uno en llegar a la facultad cada día Definición 1.2 (Espacio muestral). Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento aleatorio. Lo denotaremos por Ω. Ejemplo 1.2. Espacios muestrales del ejemplo anterior. a) Experimento: “Lanzar una moneda al aire”. Ω “ tC, Xu. b) Experimento: “Lanzar dos monedas al aire”. Si las monedas son distinguibles. Ω “ tCC, CX, XC, XX u Si las monedas no son distinguibles. Ω “ tCC, CX, XX u

Observación 1.1. Esencialmente hay tres tipos de espacios muestrales: 1

2

Capítulo 1. Introducción a) Espacio muestral finito (cardinal finito). b) Espacio muestral infinito numerable. “Lanzar una moneda al aire hasta obtener por primera vez una cruz”. Ω “ tX, CX, CCX, ...u c) Espacio muestral continuo. “Lanzamiento de una partícula en un plano y suponemos que estamos interesados en la posición de la partícula en el plano”.

Definición 1.3 (Suceso). Se denomina suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

1.2.

Límites de sucesiones de conjuntos

Definición 1.4. Sea PpΩq las partes de Ω. Se denomina sucesión de conjuntos a toda aplicación de N en PpΩq y la representaremos por tAn unPN (An es la imagen de n mediante la aplicación dada f : N ÝÑ PpΩq). Definición 1.5 (Límite superior e inferior). Sea tAn unPN una sucesión de subconjuntos de un conjunto Ω, se denomina límite superior y límite inferior de la sucesión a las expresiones: l´ım An “ l´ım sup An “ n

n

l´ım An “ l´ım inf An “ n

n

8 č

n“1 8 ď

n“1

Observación 1.2. l´ım sup xn “ ´ınf nÑ8

ně1

˜

˜

“ A˚

¸

“ A˚

Am

8 č

Am

m“n

m“n

˙ ˆ sup xk kěn

ˆ

l´ım inf xn “ sup ´ınf xk nÑ8 ně1

¸

8 ď

kěn

˙

Ejemplo 1.3. Sea tAn unPN una sucesión tal que A2n´1 “ p´ n1 , 1s, A2n “ p´1, n1 s n “ 1 : A1 “ p´1, 1s, A2 “ p´1, 1s n “ 2 : A3 “ p´ 21 , 1s, A4 “ p´1, 21 s n “ 3 : A5 “ p´ 31 , 1s, A6 “ p´1, 31 s

1.2. Límites de sucesiones de conjuntos

8 č

m“n 8 č

n“1

˜

Am “ t0u,

8 ď

Am

m“n

8 ď

n“1

˜

8 č

m“n

¸

“

Am

8 ď

3

m“n 8 č

n“1

¸

“

Am “ p´1, 1s

p´1, 1s “ p´1, 1s 8 ď

n“1

t0u “ t0u

Proposición 1.1. Sea tAn unPN una sucesión de subconjuntos de Ω, entonces: a) l´ımn An “ tω b) l´ımn An “ tω finitou

P

Ω | ω pertenece a infinitos An u

P

Ω | ω pertenece a todos los An excepto a un número

Observemos que el apartado b) quiere decir que existe un término m tal que ω pertenece a An para todo n mayor que m. Demostración. ˘ Ş8 `Ť8 Ť8 P a) ω P l´ımn An ô ω P n“1 P P m“n Am ô @n m“n Am ô @n N; ω N D r ě m | ω P Ar ô ω pertenece a infinitos An . ˘ Ş8 Ť8 `Ş8 P N | ω P b) ω P l´ımn An ô ω P n“1 m“n Am ô D n m“n Am ô D n P N | ω P Am @m ě n ô ω pertenece a todos los An salvo a un número finito de ellos.

Proposición 1.2. Sea tAn unPN una sucesión de subconjuntos de Ω, entonces l´ımn An Ă l´ımn An Demostración. ω P l´ımn An ñ ω pertenece a todos los An salvo a un número finito de ellos ñ ω pertenece a infinitos An ñ ω P l´ımn An Definición 1.6. Sea tAn unPN una sucesión de subconjuntos de Ω tal que l´ımn An “ l´ımn An , entonces se dice que tAn unPN tiene límite y su expresión es: An l´ım An “ l´ımAn “ l´ım n n

Ejemplo 1.4. Sea tAn unPN , An Ă R, An “ tx P R | x ă n1 u

4

Capítulo 1. Introducción ˘ `Ť8 Ş l´ımn An “ 8 n“1 `Ť8Am , y ˘puesto Ş8que An 1es decreciente respecto de la Ş8 m“n “ A inclusión n“1 m“n m n“1 p´8, n s “ p´8, 0s ˘ Ť8 `Ş8 Ť l´ımn An “ 8 m“n Am “ n“1 p´8, 0s “ p´8, 0s n“1

Definición 1.7. Una sucesión tAn unPN de subconjuntos de Ω es monótona creciente (resp. decreciente) si A1 Ă A2 Ă ¨ ¨ ¨ Ă An Ă ¨ ¨ ¨ presp. A1 Ą A2 Ą ¨ ¨ ¨ Ą An Ą ¨ ¨ ¨ q. En lo sucesivo la denotaremos tAn unPN Ò presp. tAn unPN Óq Proposición 1.3. Sea tAn unPN una sucesión monótona de subconjuntos de Ω, entonces se verifica: a) tAn u Ò

ñ l´ımn An “

b) tAn u Ó

ñ l´ımn An “

Ť8

n“1 An

Ş8

n“1 An

a) Por un lado,

Demostración.

l´ım An “ n

8 č

n“1

˜

8 ď

Am

m“n

¸

“

8 č

n“1

˜

8 ď

Am

m“1

¸

“

8 ď

Am

m“1

puesto que es intersección de iguales. Por otro lado, ˜ ¸ 8 8 8 č ď ď An , Am “ l´ım An “ n

puesto que

m“n

n“1

Ş8

m“n Am “ An

n“1

b) Por una parte l´ım An “ n

porque

Ť8

m“n

8 č

n“1

˜

8 ď

Am

m“n

¸

“

8 č

An

n“1

Am “ An . Por otro lado ˜ ¸ 8 8 č ď Am “ l´ım An “ n

como es unión de iguales

“

8 ď

n“1

n“1

˜

8 č

m“1

Am

m“n

¸

“

8 č

m“1

Am

1.3. Álgebras y σ-álgebras

1.3.

5

Álgebras y σ -álgebras

Definición 1.8. Una familia no vacía A de subconjuntos de Ω es un álgebra si verifica: i) @A P A ñ Ac ii) @A1 , ..., An

P

P

A

Añ

Ťn

i“1 Ai

P

A

Definición 1.9. Una familia no vacía A de subconjuntos de Ω es un σ álgebra si verifica: i) @A P A ñ Ac

P

A

ii) @A1 , . . . , An , . . .

P

Añ

Ť8

i“1 Ai

P

A (Unión numerable)

Observación 1.3. Toda σ-álgebra es un álgebra. Basta tomar An`1 “ An`2 “ ... “ An . Proposición 1.4 (Propiedades de álgebras y σ-álgebras). Sea A un álgebra, entonces 1. H y Ω pertenecen a A Demostración. Sea A P A ñ Ac

Como Ω P A ñ 2. Si A1 , . . . , An

P

Ωc

P

“HPA

Añ

Şn

i“1 Ai

P

A ñ A Y Ac

P

AñΩPA

A

Ťn Ş Demostración. ni“1 Ai “ p i“1 Aci qc P A porque tanto los complementarios como las uniones pertenecen al álgebra. 3. Si A1 , A2 P A y A2 Ă A1 , entonces A1 ´ A2 diferencia simétrica. Demostración. A1 ´A2 “ A1 XAc2

P

P

A, donde A1 ´ A2 denota

A, y ambos pertenecen al álgebra.

4. Si A es un σ-álgebra y A1 , . . . , An , . . . P A, entonces Demostración.

Ş8

i“1 Ai

“p

Ť8

c c i“1 A i q P

A

Ş8

n“1 An

P

A

5. Toda σ-álgebra es cerrada respecto de las operaciones límite superior e inferior (Si Ai P A ñ l´ımn An P A y l´ımn An P A )

6

Capítulo 1. Introducción Demostración. Se obtiene de 4. y de ii) de la definición 1.9. 6. La intersección de una familia de σ-álgebras es σ-álgebra (El resultado es válido para álgebras) Demostración. Sea pAi qiPI una familia de σ-álgebras y A :“ a) A P A ñ A P Ai @i P I ñ Ac

P

Ai @i P I ñ Ac

P

A

b) Sean A1 , . . . , An , . . . . P A ñ A1 , ..., An , ... P Ai @i P I ñ Ť P Ai @i P I ñ 8 n“1 An A

Ş

iP I

Ai

Ť8

n“1 An

P

Definición 1.10 (Espacio probabilizable). Se denomina espacio medible o probabilizable al par pΩ, Aq con Ω ‰ H, A Ă PpΩq, siendo A álgebra ó σ-álgebra y Ω un espacio muestral. Proposición 1.5. Una clase1 de subconjuntos de Ω es un σ´álgebra si y sólo si es cerrada respecto del límite de sucesiones monótonas.

1.3.1.

Generación de álgebras y σ -álgebras

Definición 1.11. Sea Ω un conjunto no vacío y C una clase de subconjuntos de Ω. Se denomina σ-álgebra (resp. álgebra) engendrada por C y se denota σpCq (resp. ApC q) a la intersección de todas las σ-álgebras (resp. álgebras) de Ω que contienen a C. Es el mínimo σ-álgebra (resp. álgebra) que contiene a C. σpCq siempre existe porque al menos existe P pΩq (que ya es σ´ álgebra) que contiene a C. Si existieran más, la intesección numerable de ellas generará la mínima σ´álgebra posible. No obstante, no existe un método general de generación de σ-álgebras como sí lo hay para álgebras tal y como veremos a continuación. Proposición 1.6. Sea C una clase no vacía de subconjuntos de un espacio muestral Ω. Se consideran las siguientes clases: C1 “ tA | A P C o Ac P Cu Y tHu Y tΩu Ş C2 “ tB | B “ ni“1 Ai , Ai P C1 u

1

Con C1 y C2 así construidos tenemos: Ť ApCq “ tD | D “ ni“1 Di , Di P C2 y Di X Dj “ H con i ‰ ju familia

1.3. Álgebras y σ-álgebras

7

Ejemplo 1.5. Sea Ω “ N, C “ tt1u, t1, 2uu

C1 “ tt1u, t1, 2u, t1u, t1, 2u, H, Nu ( A “ Ac )

C2 “ tt1u, t1, 2u, t1u, t1, 2u, H, N, t2uu

ApCq “ tt1u, t1, 2u, t1u, t1, 2u, H, N, t2u, t2uu

Proposición 1.7. Sean Ω1 , Ω2 espacios muestrales y f : Ω1 Ñ Ω2 una aplicación, a) Sea C un álgebra (resp. σ-álgebra) de Ω2 , entonces f ´1 pCq “ tA Ă Ω1 | A “ f ´1 pBq, B P Cu

es álgebra (resp. σ-álgebra).

b) Sea C una clase de subconjuntos de Ω2 , entonces σ pf ´1 pCqq “ f ´1 pσ pCqq

(1.1)

Demostración. Veamos únicamente a) en dos partes. Sea A P f ´1 pCq ñ A “ f ´1 pB q, para algún B Bc P

Cñ

f ´1 pB c q

“

pf ´1 pB qqc

“

Ac

ñ

P

C, luego como C es álgebra

Ac P

f ´1 pC q

Ahora, sean A1 , . . . , An P f ´1 pCq ñ Ai “ f ´1 pBi q y B1 , . . . , Bn P C ñ Ťn Ť Ťn Ťn ´1 p n B q “ ´1 B q “ P j j“1 j j“1 pf j“1 Bj C ñ f j“1 Aj ñ Ťn ´1 P pC q j“1 Aj f

1.3.2.

σ-álgebras particulares

i. Si Ω es finito o numerable, la σ-álgebra que generalmente se utilizará es PpΩq ii. Si Ω “ R, entonces el espacio muestral está dotado de una topología, y utilizará la σ´álgebra engendrada por la topología, esto es, por la familia de conjuntos abiertos. Trabajaremos con BpRq :“ σ-álgebra de Borel. (*) σ´álgebra de Borel sobre R: Sea C “ tA | A es abierto en Ru. Entonces la σ´álgebra de Borel sobre R es la mínima σ´álgebra engendrada por la clase C . Algunas de las álgebras de Borel que se pueden construir sobre R son:

8

Capítulo 1. Introducción pa, bq P BpRq Ş 1 pa, bs “ 8 n“1 pa, b ` n q P BpRq Ş8 ra, bq “ n“1 pa ´ n1 , bq P BpRq Ş 1 1 ra, bs “ 8 n“1 pa ´ n , b ` n q P BpRq a “ ra, as P BpRq

Cualquier unión numerable pertenece a BpRq. En particular, los racionales pertenecen a BpRq (Q es unión numerable de puntos). Y por supuesto, también su complementario, los irracionales, pertenecen a BpRq.

Se puede ...