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Análisis de un proyecto de expansión a través del uso de probabilidades y distribuciones de probabilidad discreta Pablo Camilo Vásquez Segura – grupo 043, Karen Andrea Garzón Triviño, y Cristian Felipe Caro Sierra grupo 041 Fundación Universitaria del Área AndinaFacultad de Ingenierías Ingeniería de...

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Análisis de un proyecto de expansión a través del uso de probabilidades y distribuciones de probabilidad discreta Pablo Camilo Vásquez Segura – grupo 043, Karen Andrea Garzón Triviño, y Cristian Felipe Caro Sierra grupo 041 Fundación Universitaria del Área Andina

Facultad de Ingenierías Ingeniería de Sistemas – Modalidad Virtual Estadística y Probabilidad Grupo 041 y grupo 043 Bogotá D.C., 2019

Análisis de un proyecto de expansión de la empresa Power & Light (P&L) a través del uso de las probabilidades (tomado de: https://administradorjorgevelcas.files.wordpress.com/2013/12/unidad-ii-iiiprobabilidadesok.pdf). PARTE I Power & Light ha empezado un proyecto que tiene como objetivo incrementar la capacidad de generación de una de sus plantas en el norte de Colombia. El proyecto fue dividido en dos etapas o pasos sucesivos: etapa 1 (diseño) y etapa 2 (construcción). A pesar de que cada etapa se planeará y controlará con todo el cuidado posible, a los administrativos no les es posible pronosticar el tiempo exacto requerido en cada una de las etapas del proyecto. En un análisis de proyectos de construcción similares encuentran que la posible duración de la etapa de diseño es de 2, 3, o 4 meses y que la duración de la construcción es de 6, 7 u 8 meses. Además, debido a la necesidad urgente de más energía eléctrica, los administrativos han establecido como meta 10 meses para la terminación de todo el proyecto. Como hay tres posibles periodos para la etapa del diseño (paso 1) y tres para la etapa de la construcción (paso 2) cabe aplicar la regla de conteo para experimentos de pasos múltiples, entonces el total de resultados posibles es 3∗3=9. Para describir los resultados experimentales emplean una notación de dos números; por ejemplo, (2,6) significa que la etapa del diseño durará 2 meses y la etapa de construcción 6 meses. Esto da como resultado una duración de 2+6=8 meses para todo el proyecto. 1. En la tabla 1, aparecen el primero y último de los 9 resultados posibles. Usted debe completar esta tabla. Tabla 1. Resultados experimentales (puntos muestrales) para el proyecto P&L DURACIÓN MESES

NOTACIÓN PARA LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

PROYECTO COMPLETO DURACIÓN MESES

6

(2,6)

8

7

(2,7)

9

2

8

(2,8)

10

3

6

(3,6)

9

3

7

(3,7)

10

3

8

(3,8)

11

4

6

(4,6)

10

4

7

(4,7)

11

4

8

(4,8)

12

ETAPA 1

ETAPA 2

(DISEÑO)

(CONSTRUCCIÓN)

2 2

HISTOGRAMA DE LA DURACIÓN EN MESES PROYECTO COMPLETO

Duración en meses de las etapas del proyecto

14

12

10

8

Etapa 1 Etapa 2

6

Duración en meses

4

2

0 8

9

10

9

10

11

10

11

12

Duración del proyecto (en meses) Ilustración 1. Histograma de los resultados experimentales (puntos muestrales) para el proyecto P&L

La regla de conteo y el diagrama de árbol ayudan al administrador del proyecto a identificar los resultados experimentales y a determinar la posible duración del proyecto. 2. Con la información de la Tabla 1, elabore el diagrama de árbol correspondiente. De acuerdo con la información de la tabla 1, la duración del proyecto es de 8 a 12 meses. Usted debe verificar que seis de los nueve resultados experimentales tienen la duración deseada de 10 meses o menos.

Ilustración 2. Diagrama de árbol de los resultados experimentales (puntos muestrales) para el proyecto P&L

Aun cuando identificar los resultados experimentales ayuda, es necesario considerar cómo asignar los valores de probabilidad a los resultados experimentales antes de evaluar la probabilidad de que el proyecto dure los 10 meses deseados. Para continuar con el análisis del proyecto P&L hay que hallar las probabilidades de los nueve resultados experimentales enumerados en la Tabla 1. De acuerdo con la experiencia, los administrativos concluyen que los resultados experimentales no son todos igualmente posibles. Por tanto, no emplean el método clásico de asignación de probabilidades. Entonces deciden hacer un estudio sobre la duración de los proyectos similares realizados por P&L en los últimos tres años. En la Tabla 2 se resume el resultado de este estudio considerando 40 proyectos similares. Tabla 2. Duración de 40 proyectos de KP&L DURACIÓN MESES PUNTO MUESTRAL

NÚMERO DE PROYECTOS QUE TUVIERON ESTA DURACIÓN

6

(2,6)

6

2

7

(2,7)

6

2

8

(2,8)

2

3

6

(3,6)

4

3

7

(3,7)

8

3

8

(3,8)

2

4

6

(4,6)

2

4

7

(4,7)

4

4

8

(4,8)

6

ETAPA 1

ETAPA 2

(DISEÑO)

(CONSTRUCCIÓN)

2

Después de analizar los resultados de este estudio, los administrativos deciden emplear el método de frecuencia relativa para asignar las probabilidades. Los administrativos podrían haber aportado probabilidades subjetivas, pero se dieron cuenta de que el proyecto actual era muy similar a los 40 proyectos anteriores. Así, consideraron que el método de frecuencia relativa sería el mejor. Si emplea la Tabla 2 para calcular las probabilidades, observará que el resultado (2, 6) duración de la etapa 1, 2 meses, y duración de la etapa 2, 6 meses— se encuentra seis veces en los 40 proyectos. Con el método de las frecuencias relativas, la probabilidad 6 signada a este resultado es = 0,15. También el resultado (2, 7) se encuentra seis 40

veces en los 40 proyectos, por lo que su probabilidad de ocurrencia es

6

= 0,15. Continuando de esta manera, se obtienen, para los puntos muestrales del proyecto de P&L, las asignaciones de probabilidad que se muestran en la Tabla 3. 3. Complete la tabla 3.

40

Tabla 3. Asignación de probabilidades para el proyecto KP&L

PUNTO MUESTRAL

TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

(2,6)

8 MESES

P (2,6) = 6/40 = 0,15

0,15

(2,7)

9 MESES

P (2,7) = 6/40 = 0,15

0,15

(2,8)

10 MESES

P (2,8) = 2/40 = 0,05

0,05

(3,6)

9 MESES

P (3,6) = 4/40 = 0,1

0,10

(3,7)

10 MESES

P (3,7) = 8/40 = 0,2

0,20

(3,8)

11 MESES

P (3,8) = 2/40 = 0,05

0,05

(4,6)

10 MESES

P (4,6) = 2/40 = 0,05

0,05

(4,7)

11 MESES

P (4,7) = 4/40 = 0,1

0,10

(4,8)

12 MESES

P (4,8) = 6/40 = 0,15

0,15

PROBABILIDAD DEL PUNTO MUESTRAL

RESULTADO

TOTAL

1

Observe que P (2, 6) representa la probabilidad del punto muestral (2, 6). 4. Recuerde que una distribución de probabilidad discreta es un arreglo en el que aparecen cada uno de los puntos muestrales de un experimento y su respectiva probabilidad. Para la tabla 3, elabore la representación gráfica de esta distribución de probabilidad discreta. Advierta que la suma de las probabilidades debe ser 1. Solución: CANTIDAD DE PROYECTOS CON LOS MISMOS RESULTADOS 9

Cantidad de proyectos

8 7 6

5 4

Proyectos

3 2 1

0 (2,6)

(2,7)

(2,8)

(3,6)

(3,7)

(3,8)

(4,6)

(4,7)

(4,8)

Punto muestral Ilustración 3. Histograma de la asignación de probabilidades para el proyecto KP&L

PROBABILIDAD DEL PUNTO MUESTRAL 9

Cantidad de proyectos

8 7 6 5 4

Proyectos

3 2 1 0 0,15

0,15

0,05

0,1

0,2

0,05

0,05

0,1

0,15

Probabilidad del punto muestral Ilustración 4. Histograma de la asignación de probabilidades para el proyecto KP&L

5. Para esta distribución de probabilidad discreta, calcule su esperanza matemática. ¿Qué significa de acuerdo con el contexto del proyecto? Solución: Esperanza matemática. Según la solicitud y urgencia de los administrativos, se requiere que el proyecto se termine en 10 meses; por lo que se valida la cantidad de proyectos que se relacionan de los 40 ya culminados que terminaron en el periodo de tiempo asignado para este o menor. Por lo que se tiene, según el detalle de la tabla 3 lo siguiente:

PUNTO MUESTRAL

TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

(2,6)

8 MESES

(2,7)

9 MESES

(2,8)

10 MESES

(3,6)

9 MESES

(3,7)

10 MESES

(3,8)

11 MESES

(4,6)

10 MESES

(4,7)

11 MESES

(4,8)

12 MESES

(2,6) (2,7) (2,8) (3,6) (3,7) (4,6) = 6 (3,8) (4,7) (4,8) = 3 Según el árbol la cantidad total de probabilidades de la culminación de los proyectos son 9 por lo cual se tiene en cuenta los siguientes parámetros. TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

REPETICIONES DEL TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

8 meses

1 9

9 meses

2 9

10 meses

3 9

11 meses

2 9

12 meses

1 9

Si se referencia que la terminación sea menor o igual a 10 meses, se hace la siguiente operación. 𝐸(𝑥) =

1 2 3 + + 9 9 9

𝐸(𝑥) =

6 9

𝐸(𝑥) = 0.7 Dando como conclusión que la esperanza que se pueda culminar el proyecto en 10 meses o menor tiempo es alta. Si se quiere culminar en el tiempo exacto de 10 meses. 𝐸(𝑥) =

3 9

𝐸(𝑥) = 0.3 Lo anterior refleja, que esta es la esperanza más alta de completar el proyecto en el límite máximo de tiempo asignado al proyecto. Si se quiere culminar en el tiempo exacto de 9 meses.

𝐸(𝑥) =

2 9

𝐸(𝑥) = 0.2 La esperanza de lograr que se culmine en 9 meses es alta, pero a mayor cantidad de proyectos culminados en tiempos menores o iguales a 10 meses, es directamente proporcional a la esperanza de la meta solicitada por los administrativos. Si se quiere culminar en el tiempo exacto de 8 meses. 𝐸(𝑥) =

1 9

𝐸(𝑥) = 0.1 La esperanza de lograr que se culmine en 8 meses es mínima, pero a mayor cantidad de proyectos culminados en tiempos menores o iguales a 10 meses, es directamente proporcional a la esperanza de la meta solicitada por los administrativos. En cuanto a que la cantidad de proyectos que superan la solicitud de los 10 meses hecha por los administrativos, no se tendrá en cuenta por la urgencia de la culminación de este proyecto.

PARTE II Con el propósito de expansión, cierta empresa ha empezado un proyecto que tiene como objetivo incrementar la capacidad de generación de una de sus plantas en alguna región del país. El proyecto fue dividido en tres etapas o pasos sucesivos: etapa 1 (diagnóstico), etapa 2 (diseño) y etapa 3 (implementación). A pesar de que cada etapa se planeará y controlará con todo el cuidado posible, a los administrativos no les es posible pronosticar el tiempo exacto requerido en cada una de las tres etapas del proyecto. En un análisis de proyectos similares encuentran que la posible duración de la etapa de diagnóstico es de 1 ó 2 meses, la duración de la etapa de diseño es de 4, 5 ó 6 meses y la duración de la implementación es de 6 o 7 meses. Además, debido a la necesidad urgente de implementar el proyecto, los administrativos han establecido como meta, máximo un año para la terminación de todo el proyecto. a. Elabore un diagrama de árbol que muestre todos los resultados posibles de duración del proyecto.

Ilustración 5. Diagrama de árbol de los resultados experimentales (puntos muestrales) para el proyecto

b. Elabore una tabla que muestre todos los puntos muestrales del experimento y su respectiva probabilidad, es decir, la distribución de probabilidad discreta correspondiente. Tabla 4. Resultados experimentales (puntos muestrales) para el proyecto.

ETAPA 1

DURACIÓN MESES ETAPA 2 ETAPA 3

(DIAGNÓSTICO)

(DISEÑO)

(IMPLEMENTACIÓN)

1 1 1 1 1

4 4 5 5 6

6 7 6 7 6

NOTACIÓN PARA LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

PROYECTO COMPLETO DURACIÓN MESES

(1,4,6) (1,4,7) (1,5,6) (1,5,7) (1,6,6)

11 12 12 13 13

1 2 2 2 2 2 2

6 4 4 5 5 6 6

7 6 7 6 7 6 7

(1,6,7) (2,4,6) (2,4,7) (2,5,6) (2,5,7) (2,6,6) (2,6,7)

14 12 13 13 14 14 15

Tabla 5. Duración de 40 proyectos. DURACIÓN MESES ETAPA 2 ETAPA 3

ETAPA 1 (DIAGNÓSTICO)

(DISEÑO)

(IMPLEMENTACIÓN)

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

4 4 5 5 6 6 4 4 5 5 6 6

6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7

NOTACIÓN PARA LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES

PROYECTO COMPLETO DURACIÓN MESES

(1,4,6) (1,4,7) (1,5,6) (1,5,7) (1,6,6) (1,6,7) (2,4,6) (2,4,7) (2,5,6) (2,5,7) (2,6,6) (2,6,7)

6 6 2 3 5 3 3 6 2 1 2 1

Tabla 6. Asignación de probabilidades para el proyecto.

PUNTO MUESTRAL

TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO (meses)

PROYECTOS QUE OBTUVIERON RESULTADOS PARECIDOS DE LAS 40 QUE SE RELACIONARON

(1,4,6)

11

6

P(1,4,6) = 6/40 = 0,15

0,15

(1,4,7)

12

6

P(1,4,7) = 6/40 = 0,15

0,15

(1,5,6)

12

2

P(1,5,6) = 2/40 = 0,05

0,05

(1,5,7)

13

3

P(1,5,7) = 3/40 = 0,075

0,075

(1,6,6)

13

5

P(1,6,6) = 5/40 = 0,125

0,125

(1,6,7)

14

3

P(1,6,7) = 3/40 = 0,075

0,075

(2,4,6)

12

3

P(2,4,6) = 3/40 = 0,05

0,075

(2,4,7)

13

6

P(2,4,7) = 6/40 = 0,15

0,15

(2,5,6)

13

2

P(2,5,6) = 2/40 = 0,05

(2,5,7)

14

1

P(2,5,7) = 1/40 = 0,025

(2,6,6)

14

2

P(2,6,6) = 2/40 = 0,05

(2,6,7)

15

1

P(2,6,7) = 1/40 = 0,025

PROBABILIDAD DEL PUNTO MUESTRAL

TOTAL

RESULTADO

0,05 0,025 0,05 0,025 1

Observaciones: la suma de probabilidades es igual a 1. c. Elabore la representación gráfica de esta distribución de probabilidad discreta. Advierta que la suma de las probabilidades debe ser 1. CANTIDAD DE PROYECTOS CON LOS MISMOS RESULTADOS

Cantidad de proyectos

7 6 5 4 3 Proyectos

2 1

0

Punto muestral Ilustración 6. Histograma de la asignación de probabilidades para el proyecto

PROBABILIDAD DEL PUNTO MUESTRAL Cantidad de proyectos

7 6 5 4

3

Proyectos

2 1 0 0,15 0,15 0,05 0,075 0,125 0,075 0,075 0,15 0,05 0,025 0,05 0,025

Probabilidad del punto muestral Ilustración 7. Histograma de la asignación de probabilidades para el proyecto.

Cantidad de proyectos

DURACIÓN EN MESES DEL PROYECTO 7 6 5 4 3 2 1 0

Cantidad de proyectos Meses

Meses que dura el proyecto Ilustración 8. Histograma de la duración en meses de los proyectos.

Observaciones: la suma de probabilidades es igual a 1. d. ¿Cuál es la probabilidad de que los administrativos logren la meta? Esperanza matemática. Según la solicitud y urgencia de los administrativos, se requiere que el proyecto se termine en 12 meses; por lo que se valida la cantidad de proyectos que se relacionan de los 40 ya culminados que terminaron en el periodo de tiempo asignado para este o menor. Por lo que se tiene, según el detalle de la tabla 6 lo siguiente:

PUNTO MUESTRAL

TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

(1,4,6)

11 meses

(1,4,7)

12 meses

(1,5,6)

12 meses

(1,5,7)

13 meses

(1,6,6)

13 meses

(1,6,7)

14 meses

(2,4,6)

12 meses

(2,4,7)

13 meses

(2,5,6)

13 meses

(2,5,7)

14 meses

(2,6,6)

14 meses

(2,6,7)

15 meses

(1,4,6) (1,4,7) (1,5,6) (2,4,6) = 4 (1,5,7) (1,6,6) (1,6,7) (2,4,7) (2,5,6) (2,5,7) (2,6,6) (2,6,7) = 8 Según el árbol la cantidad total de probabilidades de la construcción son 12 por lo cual se tiene en cuenta los siguientes parámetros. TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

REPETICIONES DEL TIEMPO DE TERMINACIÓN DEL PROYECTO

11 meses

1 12

12 meses

3 12

13 meses

4 12

14 meses

3 12

15 meses

1 12

Si se referencia que la terminación sea menor o igual a 12 meses, se hace la siguiente operación. 𝐸(𝑥) =

3 1 + 12 12

𝐸(𝑥) =

4 12

𝐸(𝑥) = 0.3 Dando como conclusión que la esperanza que se pueda culminar el proyecto en 12 meses o menor tiempo es baja. Si se quiere culminar en el tiempo exacto de 12 meses. 𝐸(𝑥) =

3 12

𝐸(𝑥) = 0.25 La más alta esperanza de que se pueda lograr con exactitud en la fecha limite solicitada por los administrativos y en general media. Si se quiere culminar en el tiempo exacto de 11 meses.

𝐸(𝑥) =

1 12

𝐸(𝑥) = 0.08 La esperanza de lograr que se culmine en 11 meses es baja, pero a mayor cantidad de proyectos culminados en tiempos menores o iguales a 12 meses es directamente proporcional a la esperanza de la meta solicitada por los administrativos. En cuanto a que la cantidad de proyectos que superan la solicitud de los 12 meses hecha por los administrativos, no se tendrá en cuenta por la urgencia de la culminación de este proyecto. Debido a que la cantidad de proyectos que superan los 12 meses es mayor y aunque la esperanza de lograrlo en el tiempo propuesto es medio - alto, se puede lograr la meta de culminar el proyecto, siguiendo los parámetros detallados de los proyectos que se lograron culminar en el tiempo estimado por los administrativos.

Bibliografía Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams (). Estadística para negocios y economía, 11a. ed. México D.F. México: CENGACE Learning López J. F. Esperanza Matemática. Economipedia, Recuperado de h...