Area en coordenadas polares. Calculo Integral PDF

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Sergio Yansen Núñez 1.

Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa r = cos2θ.

Solución: Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación: cos2θ = 0

θ = π , en el primer cuadrante. 4

⇒

A = ∫ 4 π 1 r 2 dθ = 1 ∫ −4 π r 2 dθ = 1 ∫ −4 π cos 2 2θdθ −4 2 2 4 2 4 π

π

π

Por simetría: π π π 1 + cos4θ dθ A = 1 ⋅ 2 ∫ 04 cos 2 2θdθ = ∫ 4 cos 2 2θdθ = ∫ 4 0 0 2 2 π A = 1 ∫ 04 1 + cos4θdθ = π 2 8

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 2.

Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3 sinθ y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.

Solución: Puntos de intersección: 3 sinθ = 1 + sinθ

⇒ sinθ = 1 2

θ= π 6

θ = π − π = 5π 6 6

⇒

,

(en cuadrantes I y II).

5π 5π A = 1 ∫ π6 3 sinθ 2 dθ − 1 ∫ π6 1 + sinθ 2 dθ 2 6 2 6

Por simetría, se tiene: π π A = 1 ⋅ 2 ∫ π2 9 sin 2 θ dθ − 1 ⋅ 2 ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ 2 2 6 6 π

π

6

6

A = ∫ 2π 9 sin 2 θ dθ − ∫ π2 1 + sinθ 2 dθ π

A = ∫ 2π 9 sin 2 θ − 1 + sinθ 2 dθ 6

π

A = ∫ 2π 8 sin 2 θ − 1 − 2 sin θ dθ 6

Usando la identidad: π

A = ∫ 2π 8 ⋅ 6

sin2 θ =

1 − cos2θ 2

Área en coordenadas polares

1 − cos2θ se tiene: 2

− 1 − 2 sin θ dθ

Sergio Yansen Núñez π

A = ∫ 2π 4 − 4 cos 2θ − 1 − 2 sin θdθ 6

π 2 π 6

A = ∫ 3 − 4 cos 2θ − 2 sin θdθ = π

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 3.

Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata:

r 2 = 9 cos2θ .

Solución:

Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante. cos2θ = 0

⇒

θ= π 4

, en el primer cuadrante.

A = 4 ⋅ ∫ 4 1 r 2 dθ = 2 ∫ 4 r 2 dθ = 2 ∫ 4 9 cos2θ dθ 0 0 2 0 π

π

π

A = 18 ∫ 4 cos2θdθ = 9 0

Área en coordenadas polares

π

Sergio Yansen Núñez 4.

Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ y exterior a la circunferencia r = 3.

Solución: Puntos de intersección: 31 + cosθ = 3 θ= π 2

⇒

cos θ = 0

⇒

∨ θ = 3π (menores que 2π) 2

Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante π π A = 2 ⋅ ∫ 2 1 31 + cosθ 2 dθ − ∫ 2 1 ⋅ 3 2 dθ 0 2 0 2 π

π

A = ∫ 2 91 + cosθ 2 dθ − ∫ 02 9dθ 0

π

A = ∫ 2 91 + cosθ 2 − 9 dθ 0

π

A = 9 ∫ 2 1 + cosθ 2 − 1 dθ 0 π

A = 9 ∫ 2 2 cosθ + cos 2 θdθ 0

π

A = 9 ∫ 2 2 cosθ + 0

1 + cos2θ 2

dθ

π A = 9 ∫ 02 4 cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π 2 4

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 5.

Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.

Solución:

Por simetría: π π A = 2 ⋅ ∫ 1 r 2 dθ = ∫ 2 + cosθ 2 dθ 0 0 2 π

A = ∫ 4 + 4 cosθ + cos 2 θdθ 0 A=∫

π 0

4 + 4 cosθ +

1 + cos2θ dθ 2

π A = 1 ∫ 0 8 + 8 cosθ + 1 + cos2θdθ 2 π A = 1 ∫ 0 9 + 8 cosθ + cos2θdθ = 9π 2 2

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 6.

Calcule el área de la región encerrada por r = 4 sin2θ .

Solución:

Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante sin2θ = 0

⇒

θ=0

θ = π (considerando el pétalo del primer cuadrante) 2

∨

A = 4 ⋅ ∫ 2 1 r 2 dθ = 2 ∫ 2 r 2 dθ = 2 ∫ 2 4 sin2θ 2 dθ 0 0 2 0 π

π

π

π

π

A = 32 ∫ 2 sin 2 2θdθ = 32 ∫ 2 0 0

π

1 − cos4θ dθ 2

A = 16 ∫ 2 1 − cos4θdθ = 8π 0

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 7.

Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ e interior a la circunferencia r =

3 sinθ.

Solución: Puntos de intersección: 1 + cosθ =

3 sinθ

1 + cosθ 2 = 3 sin 2 θ 1 + 2 cosθ + cos 2 θ = 31 − cos 2 θ 1 + 2 cosθ + cos 2 θ − 31 − cos 2 θ = 0 −2 + 2 cosθ + 4 cos 2 θ = 0 2 cos 2 θ + cosθ − 1 = 0 cosθ + 12 cosθ − 1 = 0 cosθ + 1 = 0 θ= π 3

π A = 1 ∫π 2 3

∨

2 cosθ − 1 = 0

∨

, (valores menores que 2π)

θ=π

3 sinθ

2

π dθ − 1 ∫ π 1 + cosθ 2 dθ 2 3

π A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ 2 3 π A = 1 ∫ π 3 sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1 dθ 2 3

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez π A = 1 ∫ π 31 − cos 2 θ − cos 2 θ − 2 cosθ − 1 dθ 2 3 π A = 1 ∫ π 2 − 4 cos 2 θ − 2 cos θdθ 2 3 π 1 + cos2θ A = 1 ∫π 2−4 2 3 2

− 2 cos θ dθ

π 3 3 A = 1 ∫ π −2 cos 2θ − 2 cos θdθ = 2 3 4

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 8.

Calcule el área de la región interior a r = 3 cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.

Solución:

Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante Puntos de intersección: 3 cosθ = 1 + cosθ

⇒

cosθ  = 1 2

θ = π (valor en primer cuadrante) 3

⇒

A = 2⋅

1 ∫ 3 3 cosθ 2 dθ − 1 ∫ 3 1 + cosθ 2 dθ 2 0 2 0 π

π

π

A = ∫ 3 9 cos 2 θ − 1 + cosθ 2 dθ 0 π

A = ∫ 3 8 cos 2 θ − 1 − 2 cosθdθ 0

π

A = ∫3 8 0

1 + cos2θ 2

− 1 − 2 cosθ dθ

π

A = ∫ 3 3 + 4 cos 2θ − 2 cos θdθ = π 0

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 9.

Calcule el área de la región interior a r 2 = 2 cos2θ y exterior a r = 1.

Solución:

Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante. Puntos de intersección: 2 cos2θ = 1 A = 4⋅

⇒

cos2θ  = 1 2

1 ∫ 6 2 cos2θdθ − 1 ∫ 6 dθ 2 0 2 0 π

Área en coordenadas polares

π

⇒ π

θ = π , valor en primer cuadrante. 6

= 2 ∫ 6 2 cos2θ − 1 dθ = 0

3 − π 3

Sergio Yansen Núñez 10.

Considere la ecuación polar r = 4 sin3θ. Calcule el área de un pétalo.

Solución:

A = 1 ∫ 03 4 sin3θ 2 dθ = 1 ∫ 03 16 sin 2 3θdθ 2 2 π

π

π

π

A = 8 ∫ 3 sin 2 3θdθ = 8 ∫ 3 0 0

1 − cos6θ dθ 2

π A = 4 ∫ 3 1 − cos6θdθ = 4π 0 3

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 11.

Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sinθ

y

r = cosθ.

Solución:

Puntos de intersección: sinθ = cosθ

⇒

, valor en el primer cuadrante. θ= π 4

Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. A = 2 ⋅ 1 ∫ 04 sin 2 θ dθ = ∫ 4 sin 2 θdθ 2 0 π

π

A = ∫4 0

π

π 1 − cos2θ dθ = 1 ∫ 4 1 − cos2θdθ = π − 1 2 8 2 0 4

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez 12.

Calcule el área de la región interior a las curvas: r = sin2θ

y

r = cos2θ.

Solución:

Puntos de intersección: sin2θ = cos2θ

⇒

θ = π , menor valor en el primer cuadrante. 8

Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área de la región sombreada (ver la siguiente figura).

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

A = 16 ⋅ 1 ∫ 08 sin 2 2θdθ = 8 ∫ 8 sin 2 2θdθ 0 2 π

π

A = 8∫ 8 0

π

π 1 − cos4θ dθ = 4 ∫ 8 1 − cos4θdθ = π − 1 0 2 2

Área en coordenadas polares...