Articulo 2 - Avances en el diseño mecanico de un multiplicador epicicloidal PDF

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Creacion de un multiplicador epicicloidal de dos puntos para aumentar las rpm...

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Avances en el diseño mecánico de un multiplicador de

velocidad basado en un tren epicicloidal de dos etapas Ricardo Yáñez-Valdezy

Tlaloc Fernando Cardona Ruiz

Miguel Ángel García Granados

Milton Osmar Sosa Corona

Abel Galarza Martínez

Facultad de Ingeniería, DIMEI-UNAM. Abstract

ida de 3600 rpm como mínimo, usando un tren de engranajes planetarios. La base del proyecto radica en las especi…caciones diseño. La primera restringe el tamaño del dispositivo a un área de 25 x 25 cm. La segunda especi…cación restringe la forma en la que se va a transmitir la velocidad de entrada; de forma manual.

Se presenta el proceso de diseño mecánico de un multiplicador de velocidad usando un tren de engranajes planetarios. En el mismo proceso de diseño se consideraron especi…caciones relacionadas con el tamaño demandado (25 x 25 cm de área) y la velocidad requerida en la salida del multiplicador (mín 3600 rpm). Se diseñó el multiplicador con una relación de transmisión objetivo de 1:72. Se construyó un prototipo basado en un tren de engranajes planetarios de dos etapas, logrando alcanzar más de 7 500 rpm. La relación de transmisión real es de 1:60 con una velocidad angular de entrada de 120 rpm. Se muestra el desarrollo del proceso de diseño para la construcción del prototipo, empezando por el análisis cinemático del mecanismo, seguido del proceso de selección de los engranes y por último el análisis de esfuerzos de los engranes y ejes.

II. Cinemática de un tren planetario El movimiento de un engrane planetario puede ser seguido por la superposición de tres movimientos simples.

 Rotación del brazo alrededor del engrane sol.  Rotación del engrane planeta alrededor de su propio eje.  Rotación del engrane sol.

Palabras clave: Análisis de esfuerzos, Diseño mecánico, Relación de transmisión, Tren de engranes planetario.

planeta = mov1 + mov 2 + mov3

I. INTRODUCCIÓN

(1)

Estos movimientos no son independientes uno del otro, debido a que el engrane planetario gira alrededor del engrane sol. Así la relación del diámetro entre ambos engranes determina cuantas veces gira el engrane planeta alrededor de su propio eje mientras se mueve alrededor del engrane sol. Así que, para encontrar la relación de velocidades entre el engrane sol, el engrane planetario y el brazo, vamos a analizar cada movimiento simple por separado, después, vamos a superponerlos para encontrar una ecuación general que describa el movimiento del engranaje. Si el engrane sol esta …jo y el brazo gira alrededor del engrane sol, sin que en engrane planetario este girando, el ángulo de barrido del brazo es

Se usa un tren de engranajes planetario cuando existe restricción de peso y espacio, pero es necesaria una reducción o multiplicación grande de velocidad y par de torsión. Este requerimiento aplica a una variedad de máquinas como tractores, vehículos, turbinas, transmisiones automáticas, etc. Los trenes de engranajes planetarios son capaces de producir mayor par de torsión debido a que la carga es distribuida por varios engranes planetas. Esta con…guración crea mayor área de contacto y por esta razón la carga es distribuida. Esto contribuye a obtener mayores relaciones de transmisión con mayor resistencia al desgaste en los engranes. El objetivo en el desarrollo de este proyecto es alcanzar una velocidad de sal Este es un resumen de la experiencia adquirida por estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la UNAM en el diseño mecánico de un multiplicador de velocidades usando un tren planetario. Proyecto desarrollado como parte del curso de la materia de "Diseño de elementos de máquinas". Curso impartido en el semestre 2020-1. y Profesor del posgrado en Ingeniería Mecánica de la FI-UNAM ([email protected] x) .

p1 = c

(2)

donde p1 es el ángulo que recorrre el engrane planetario debido a su propio giro, y c es el ángulo recorrido por el brazo. La relación anterior nos de…ne que el desplazamiento angular que tiene el brazo es igual al desplazamiento angular del engrane planetario. Si se considera solo la rotación del 1

!

= 2n,

= 2nt.

También sabemos que

arco que el brazo

Ahora, sustituyendo estas relaciones en la ecuación de posi-

b ha recorrido alrededor del engrane sol es

ción angular compuesta obtenemos

exactamente la misma que el engrane planetario ha recorrido sobre su propia circunferencia rotará un ángulo adicional

bc .

por lo tanto

'

engrane planetario alrededor de su propio eje, la longitud de

Así el engrane planetario

p2 , entonces

bp2 = bc

Ya que el

(3)

np dp = nc (dp + ds )  ns ds diámetro de paso dp de un engrane

(8) recto es di-

rectamente proporcional con el número de dientes podemos

Sabemos además que una longitud de arco se puede cal-

expresar la ecuación de la siguiente forma

cular por el producto del radio del círculo que recorre con el desplazamiento angular, por lo que

 = 2 p2

dp

p2 = bp2

 2 c

ds

donde

np

np Np = nc (Np + Ns )  ns Ns son las revoluciones del engrane planetario,

es el número de dientes del engrane planetario,

ds  dp c

revoluciones del brazo,

(4)

sol y

ns

(9)

nc

Np

son las

Nc es el número de dientes del engrane

son las revoluciones del engrane sol.

es la longitud de arco recorrida por el engrane

La ecuación 9 es llamada la ecuación fundamental de los

planetario sobre su propia circunferencia, c es la longitud de

engranajes planetarios y es usada para determinar la razón

arco recorrida por el brazo alrededor del engrane sol,

de transmisión de acuerdo con el modo de operación. Esta

donde

b

d

dp es el

diámetro del engrane planetario, s es el diámetro del engrane

ecuación a pesar de que no toma en cuenta para su formu-

sol y

lación a la corona, no cambia las relaciones de movimiento

p2 es el ángulo que recorre el engrane planetario debido

a su propio giro. Ahora el brazo esta …jo en el engrane sol y

entre el engrane sol, el brazo y el engrane planeta. Posterior-

éste está girando en el sentido de las manecillas del relo j a un

mente hace falta relacionar la ecuación 9 con el diámetro del

ángulo

engrane corona y las revoluciones a las que gira este engrane.

s , por lo que el engrane planetario girará en sentido contrario, un ángulo p3 . Esto quiere decir que debido a ese

Debido a que la velocidad con la que se mueve el engrane planetario en su punto exterior es igual a la velocidad de la

giro del engrane sol, el brazo va a recorrer una longitud de

b

arco s sobre el engrane sol debido a su giro. De igual manera

corona (no existe deslizamiento) es posible establecer la sigu-

el giro provocado en sentido inverso por el engrane sol en el

iente relación

planetario tiene una longitud de arco exactamente igual a la

vr = vpo

recorrida por el brazo.

bp3 = bs

(10)

Lo mismo aplica para determinar la velocidad en el punto

(5)

de contacto inferior que es donde hacen contacto el engrane sol con el engrane planeta

sabemos que una longitud de arco se puede calcular por el producto del radio del círculo que recorre con el desplazamiento angular, por lo que dp 2

vs = vpi

p3 =  2 s ds

p3 =  donde

bp3

(11)

Ahora hay que tomar en cuenta la in‡uencia del portaplanetas en la velocidad del punto de contacto entre el corona-

ds  dp s

planeta y el sol-planeta.

(6)

es la longitud de arco recorrida por el engrane

planetario debido al giro del engrane sol,

bs es la longitud de p3 es el

arco recorrida por el brazo alrededor del engrane sol,

ángulo que recorre el engrane planetario a giro del engrane sol y



s es el ángulo recorrido por el engrane sol. La ecuación de posición angular que describe el desplazamiento angular del

engrane planetario en función de la suma de los movimientos simples es la suma de las ecuaciones 2, 4 y 6. Entonces

p = c +

ds d   s dc c dp s

Re lación de ve loc idades entre los e ngranes.

(7)

Ahora solo falta escribir esta ecuación en función de las velocidades angulares

!

en un tiempo determinado

vr = vc + vp

t (' = !t).

2

(12)

vs = vc  vp

(13) Ya que el

Relacionando las ecuaciones 12 y 13 se tiene

nr dr = nc (dr + ds )  ns ds diámetro de paso d de un engrane

(21) es directa-

mente proporcional al número de dientes podemos expresar la ecuación de la siguiente forma

vr  vs = vc + vp  vc + vp

(14)

Desarrollando la ecuación 14

vp = Sabemos que

vr 2



donde

vs

2

es el número de dientes de la corona.

diferentes modos de operación, dependiendo del componente

v = ! d2 , por lo tanto np dp = nr dr

que esté …jo y dónde se encuentre la entrada y la salida. En este caso lo que se deja …ja es la corona y la entrada es en el

d  ns s

engrane sol, por lo que la salida es en el brazo.

(16)

2

La relación de transmisión es

Esta ecuación relaciona las velocidades del engrane planetario con el engrane corona y el engrane sol. Sustituyendo

ir =

la ecuación 16 en la ecuación fundamental de los engrana jes planetarios, ecuación 9, obtenemos lo siguiente

nr

dr 2

 ns

ds 2

(22)

Con un tren de engranaje planetario se pueden obtener 3

(15)

2

Nr

nr Nr = nc (Nr + Ns )  ns Ns

= nc (dp + ds )  ns ds

ns nc

(23)

Nuestro objetivo de diseño es en la primera etapa, ésta es

ir =

(17)

ns nc

=

8 . 1

(24)

Es decir, por cada revolución del brazo, el sol debe girar 8

nr dr = 2nc (dp + ds )  ns ds donde:

nr

son las revoluciones de la corona y

dr

veces. De la ecuación 22 eliminando los términos de acuerdo

(18)

con el modo de operación elegido.

es el diámetro

0 = nc (dr + ds )  ns ds

de la corona. Debido a la geometría de un tren de engranes

(25)

Obtenemos la ecuación que nos relaciona la relación de

planetarios podemos cambiar la ecuación 17 en términos del

transmisión con el diámetro de paso de los engranes corona

engrane sol y el engrane corona.

y sol.

dr = ds + 2dp dp =

dr  ds 2

(19)

ir =

ns nc

=

(dr + ds )

ds

(26)

Sustituyendo la relación de transmisión en la ecuación 19,

(20)

obtenemos

3ds = dp

(27)

Por último, nos falta relacionar lo siguiente

3 dr = dp 7

(28)

Las mismas tres relaciones aplican para los números de dientes

7Ns = Nr

(29)

3Ns = Np

(30)

3 Nr = Np 7

(31)

Re laciones g eométricas entre los eng ranes.

3

Ahora falta seleccionar el engrane de acuerdo con estas

Ahora bien, es necesario agregar una etapa más para al-

relaciones de diámetros y números de dientes entre engranes.

canzar la relación de transmisión que de…nimos al principio

Combinar los diferentes pares de engranes con diferentes

de 1:72. Debido a que solo con la etapa del planetario al-

números de dientes cambia la velocidad y el par en el en-

canzamos una relación de transmisión de 1:8. Con nuestras

grana je. Para el correcto funcionamiento de cada par de en-

consideraciones, solo es posible dar 60 rpm de entrada en el

granes estándar, estos deben tener el mismo ángulo de presión

engranaje planetario manualmente, por lo que, con el diseño

y el mismo módulo.

que hicimos del mismo solo alcanzamos 480 rpm en el eje de salida de esta primera etapa. Para alcanzar el ob jetivo de

(32) m = DN donde m es el módulo, D es el diámetro primitivo y N

3600 rpm hicimos uso de un tren de engranes compuesto, que

p

va conectado al eje de salida del engranaje planetario.

p

representa el número de dientes. Para seleccionar cada engrane fue necesario utilizar las relaciones de diámetros y números de dientes obtenidos anteriormente para cumplir con la relación de transmisión y con el tamaño.

d

s

+ 2dp

< 250 mm

Por lo que seleccionamos engranes métricos con un módulo de 2, debido a que, de acuerdo con un catálogo, estos cumplen con las relaciones de…nidas de diámetros y números de dientes.

2=m=

224 m m 112 d i e nt e s

= 1632d i emntme s =

N = 112 dientes N = 16 dientes N = 48 dientes d = 224 dientes d = 32 dientes d = 96 dientes

96 m m 48 d i e nt e s

Etapa de plane tario más tren de eng ranajes compuesto.

r

s

p

r

s

p

Para las demás medidas de los engranes se debe consideras que ya están de…nidas y son medidas estándar. Todas están en función del paso diametral

p

d.

Medidas de los e ngranes rectos

=

Adendum

e

c

=

1:571

d

p

1

d

p

Dedendum

r

f

=

0:3

= Pd

1:25

d

p

h

h=

k

= p2d

0:2 pd +0:002

h

t

=

w

b

2:2

d +0:002

p

=

0:25

d

p

Tren de eng ranajes compuesto utilizado a la salida del plane tario.

Sabemos que la relación de transmisión de un tren de engrana jes compuestos es la siguiente

Rv =

   Rv = NN1 NN3 4 2

(33)

P ro du c to d e l nú m e ro d e d i e nt e s d e l o s e l e m e nt os c o nd u c to re s P ro du c to d e l núm e r o d e d i e n te s d e l os e l e m e nto s c on d u c i do s

Por lo que conectamos al eje de salida del engranaje plan-

Etapa planetario.

etario un engrane del mismo tamaño que elegimos para el

4

engrane planeta, este engrane es el piñón (engrane impulsor)

La potencia que el sistema deberá ser capaz de transmitir es

de la segunda etapa.

de 4 hp. La velocidad de línea en ft/min es la siguiente, y es la misma en el par de engranes en contacto (no deslizamiento).

= 96 mm = 48 dientes

d1 N1

Vt

En otro eje va conectado un engrane con las mismas es-

=

ds ns

12

=

La fuerza tangencial en

dp np

= 157:07

12

ft/min

(36)

en el par de engranes es

lbf

peci…caciones del engrane sol. Wt

= 32 mm = 16 dientes

d2 N2

=

33000P

= 840:38

Vt

lbf

(37)

Ahora seleccionamos un factor geométrico J (de tablas), para el engrane sol y planeta.

En este mismo eje va conectado otro engrane con las misJp

mas especi…caciones del engrane planeta.

Js

= 96 mm = 48 dientes

= 0:36 = 0:21

d3 N3

Factor de aplicación,

ka

Para determinar el factor de aplicación Que a su vez impulsa a un engrane con las mismas especi…caciones del engrane sol, que está en el eje de salida

se hacen las sigu-

Fuente de poder: Uniforme

donde medimos la velocidad …nal después de las dos etapas

Máquina que es impulsada: Uniforme

de transformación.

kap kas

= 32 mm = 16 dientes

d4 N4

ka

ientes consideraciones de diseño:

Factor de tamaño, Por lo que la relación de transmisión del tren de engranajes

= =

1.0 1.0

ks

Como el módulo es menor a 5.

compuestos conectado a la salida del planetario queda

Rv

=

 48    48 16

16

ksp

=9

kss

(34)

1.0 1.0

Factor de distribución de carga,

Es decir, multiplicamos la velocidad de salida de la primera etapa que es el engranaje planetario por 9.

= =

km

El espesor o ancho de la cara se necesita para el factor de

Por lo que la

distribución de la carga.

velocidad estimada de salida considerando la entrada de 60 rpm es de 4320 rpm, después de las dos etapas.

FG

= p12 = d

12 ntes 12:8 d i ein

= 0.9375 = 1.6 kms = 1.6

in = 23.81 mm

kmp

III. ANÁLISIS DE ESFUERZOS Se analizarán los esfuerzos en los dientes de los engranes para

kb

de…nir el material que debe ser utilizado. Así como las me-

Factor de espesor de corona,

didas de estos. Vamos a diseñar el engrane de acuerdo con

En ambos casos el valor será 1 por ser discos solidos.

una vida in…nita. Para esto utilizamos la ecuación de Lewis modi…cada (método AGMA) [1]. t

=

kbp

Wt Pd ka ks km kb FJ

kv

kbs

(35)

Factor de dinámica,

Es necesario calcular el esfuerzo tangencial para cada engrane en el mecanismo.

En total tenemos 7 engranes y el



engrane corona. Primero vamos a calcular los engranes del kv

planetario. Ns Np ds dp

= =

= =

=

A

1.0 1.0

kv

+

p

Vt



B

A

(38)

= 50 + 56(1  B ) = 0:25(12  Qv )2=3