Atividade sobre MMC e MDC PDF

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Todo o material utilizado para a disciplina de Teoria de Anéis do segundo semestre de 2018...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN ´A ´ - Professora Heily Wagner TEORIA DE ANEIS Os itens 3 e 7 devem ser entregues at´e o dia 05 de outubro

1. Defina o m´aximo divisor comum e o m´ınimo m´ ultiplo comum entre dois inteiros a e b. 2. Mostre que se x ´e m´ ultiplo de a e x ´e m´ ultiplo de b ent˜ ao x ´e m´ ultiplo de mmc(a, b). Enuncie e mostre a rec´ıproca. 3. Conclua que aZ ∩ bZ = mmc(a, b)Z 4. Mostre que se x ´e m´ ultiplo de a ent˜ ao x ´e m´ ultiplo de mdc(a, b). 5. Sejam I, J, L ideais de um anel A. Mostre que se L ´e um ideal de A tal que I ⊂ L e J ⊂ L ent˜ao I + J ⊂ L. 6. Enuncie o Teorema de Bezout para dois inteiros a e b. 7. Conclua que aZ + bZ = mdc(a, b)Z 8. Sejam a, b n´ umeros inteiros positivos. Acrescentando expoentes nulos se necess´ ario, podemos “fatorar” ambos com os mesmos primos: a = pα1 1 p2α2 · · · pnαn b = pβ11 p2β2 · · · pnβn com p1 , . . . , pn primos distintos, αi ≥ 0 e βi ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n. Por exemplo, para a = 280 e b = 234 escrevemos 280 = 23 · 30 · 51 · 71 · 130 e 234 = 21 · 32 · 50 · 70 · 131 . 9. Mostre que os divisores comuns (positivos) de a e b s˜ ao da forma c = pr11 p2r2 · · · pnrn com 0 ≤ ri ≤ mi , onde mi = min{αi , βi }. 10. Conclua que o mdc de a e b ´e 2 mn d = p1m1pm 2 · · · pn

11. Fazendo um racioc´ınio an´alogo, prove que o mmc ´e M

Mn 1 M2 = pM 1 p2 · · · p n

onde Mi = max{αi , βi }. 12. Conclua que ab = mdc(a, b)mmc(a, b)....