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Tutoren-Team Fachgebiet Mikroökonomie

Winter 20/21

Mikroökonomik - Aufgabenblatt 2 - Lösungen

Aufgabe 1 (Indifferenzkurven) Nutzenfunktion: mathematische Funktion, die die Präferenzen eines Haushaltes beschreibt. Indifferenzkurve(IK): geometrischer Ort (Kurve) aller Güterbündel (x1 , x2 ) , die dem Konsumenten denselben Nutzen ux1 , x2 ) = u¯ bescheren. Der Konsument ist also indifferent zwischen allen Mengenkombinationen auf dieser Kurve. Die Präferenzen eines Haushalts bezüglich einer Gütermengenkombination (x1 , x2 ) können grafisch als Indifferenzkurven dargestellt werden. a) Nennen Sie verschiedene Arten von Präferenzen. Beschreiben Sie jeweils den Verlauf der Indifferenzkurven und geben Sie Beispiele für die dazugehörigen Nutzenfunktionen. Hier werden einige wichtige Präferenzarten in der Mikroökonomik vorgestellt. 1. Perfekte Substitute: Dem Konsumenten ist es egal, welches der Güter er konsumiert (z.B. viele Konsumenten sehen Butter und Margarine als perfekte Substitute). Ihm bringt eine Einheit von Gut 1 genauso viel Nutzen wie ein bestimmte Menge von Gut 2, weswegen er sie perfekt gegeneinander austauschen kann. Eine Nutzenfunktion dafür wäre u(x1 , x2 ) = 2x1 + x2 . Grafisch sieht das so aus:

1

x2 (Margarine) 16

8

4

x1 (Butter)

8

Abbildung 1: Perfekte Substitute

2. Perfekte Komplemente: beide Güter sind in einem bestimmten Verhältnis erforderlich, d.h. der Nutzen erhöht sich nur, wenn man von beiden Gütern mehr konsumiert. Besipiel: eine vereinfachte Brille, bestehend aus 2 Gläsern (=Gut 1) und dem Gestell (=Gut 2). Hätte man 4 Gläser und 1 Gestell, könnte man trotzdem nur eine Brille haben, welche den Nutzen erbringt. Mehr Gläser bei gleicher Gestellanzahl erhöhen also nicht den Nutzen. Eine Nutzenfunktion für dieses Beispiel wäre z.B. u(x1 , x2 ) = min{ x21 , x2 }. (Die Nutzenfunktion ist so zu verstehen, dass man beispielsweise weiß wie viele Gläser und Gestelle man besitzt und um herauszufinden wie viele Brillen man noch herstellen kann, setzt man die Mengen in die Funktion ein. Da man für eine Brille doppelt so viele Gläser wie Gestelle braucht, wird deren Anzahl durch 2 geteilt.) Perfekte Komplemente sind nicht nur mit ganzahligen Gütern möglich, wie man anhand dieses Beispiels vermuten könnte. Wenn man beispielsweise einen vereinfachten Kuchen backen will, braucht man 1kg Mehl und 100 ml Milch (um bei zwei Gütern zu bleiben), und diese auch in genau diesem verhältnis zueinander. Halbiert man diese Mengen bleibt das Verhältnis erhalte, aber wir können nur noch einien halben Kuchen backen, der uns trotzdem Nutzen bringt, weil wir ihn esen können. Auch für alle anderen Präferenzen gilt, dass sie ebenfalls mit nichtganzzahligen Gütern arbeiten können.

2

x2 (Gestell)

2 1

IK “2 Brillen” IK “1 Brille”

2

x1 (Gläser)

4

Abbildung 2: Perfekte Komplemente 3. Imperfekte Komplemente/Substitute: Aus Sicht des Konsumenten sind die Güter verschieden, aber bedingt austauschbar. Beispiel: Kartoffeln (=Gut 1) und Reis (=Gut 2). Wenn einem beides schmeckt, verzichtet man auf keins der beiden Güter komplett, aber man will auch nicht jeden Tag Kartoffeln essen und ersetzt sie durch den Reis. Eine Nutzenfunktion wäre: u(x1 , x2 ) = x1 x2 (siehe Grafik) Zu diesen Präferenzen gehören unter anderem die Cobb-DouglasPräferenzen, für die die obige Funktion ein typisches Beispiel ist. x2 (Reis)

u¯ = 4 u¯ = 2 x1 (Kartoffeln) Abbildung 3: Imperfekte Komplemente/Substitute (hier: Cobb-Douglas)

3

4. Quasilineare Präferenzen: Hier geht ein Gut linear und das andere nicht-linear in die Nutzenfunktion ein. Interpretation: Das lineare Gut repräsentiert alle Konsumgüter eines Haushalts bis auf das nicht-lineare. Wird nun der Preis des linearen Gutes auf 1 normiert, spiegelt das lineare Gut die Ausgaben des Haushaltes für alle Güter außer dem nicht-linearen wider. Beispiel: Salz (Gut 1) und Restausgaben (Gut 2) verteilt auf alle anderen Konsumgüter. Konsumiert man bei einer quasilinearen Präferenz bereits die optimale Menge des nicht-linearen Gutes, wird jedes zusätzliche Einkommen für den Konsum des linearen Gutes verwendet. Salz beispielsweise benötigt man nur in einer bestimmten Menge, die sich nicht erhöht, wenn das Einkommen steigt. Wenn das Einkommen steigt, wird der Konsument mehr für alle anderen Güter ausgeben, aber nicht für mehr Salz. Deswegen sind die Indifferenzkurven parallel in Richtung des zusammengesetzen Gutes verschoben (in der Grafik nach oben). √ Eine Beispiel-Nutzenfunktion ist u(x1 , x2 ) = x1 + x2 (wobei x1 die Menge des nicht linearen und x2 die des linearen Gutes ist) . x2

0

x1

p22 4p21

Abbildung 4: Quasilineare Präferenzen

4

Bisher haben wir nur Güter betrachtet, bei denen mehr Konsum besser ist. Im Folgenden betrachten wir auch Güter, deren Konsum den Nutzen senken: 5. 1 Gut (z.B. Autos) und 1 „Schlecht(es Gut)“ (z.B. Umweltverschmutzung): Der Pfeil zeigt die Richtung höherer Nutzenniveaus an (=Bessermenge): x2 (Autos)

x1 (Umweltverschmutzung) Abbildung 5: 1 Gut, 1 Schlecht 6. 2 „Schlecht(e Güter)“ (z.B. Stau und Umweltverschmutzung): Der Pfeil zeigt die Richtung höherer Nutzenniveaus an (=Bessermenge): x2 (Stau)

x1 (Umweltverschmutzung) Abbildung 6: 2 Schlechte (Güter)

5

b) Ordnen Sie den unten aufgeführten Beispielen jeweils eine in a) kennengelernte Präferenz zu und stellen Sie je eine Beispiel- Nutzenfunktion auf. 1. Autokarosserien und Autoräder, 2. 50-Euro-Scheine und 100-Euro-Scheine, 3. Joghurt und Müsli unter der Annahme, dass der Konsument weder Joghurt noch Müsli einzeln konsumiert, sondern es bevorzugt, diese beiden Güter miteinander zu mischen, 4. Zigarettenrauch und Lärm.

1. Zum Bau von Autos braucht man sowohl eine Karosserie als auch 4 Räder. Nur zusammen ergeben sie ein nutzbares Auto und das auch nur, wenn sie in dem beschriebenen Verhältnis zusammengefügt werden. Also haben wir hier perfekte Komplemente, die im Verhältnis 1:4 eingesetzt werden. Man kann dazu die folgende Nutzenfunktion aufstellen: u(x1 , x2 ) = min{x1 , x42 } (x1 : Karosserie, x2 :Rad) 2. Wenn man sich etwas für 100e kaufen möchte ist es einem egal ob man mit einem 100e-Schein oder zwei 50e-Scheinen bezahlt. Da einem zwei 50e-er genauso viel nutzen wie ein 100e-er kann man diese Güter als perfekte Substitute betrachten. Man kann dazu die folgende Nutzenfunktion aufstellen: u(x1 , x2 ) = 2x1 + x2 (x1 : 100e-Schein , x2 :50e-Schein) 3. Da weder Joghurt noch Müsli ganz durch das andere Gut ersetzt werden kann, der Konsument aber auch kein bestimmtes Verhältnis zur Nutzenerzeugung einhalten muss, handelt es sich hierbei um imperfekte Komplemente/Substitute. Man kann dazu die folgende Nutzenfunktion aufstellen: u(x1 , x2 ) = x1 x2 4. Sowohl Zigarettenrauch, als auch Lärm vermindern den Nutzen, je größer die vorhandene Menge ist. Also handelt es sich hier um 2 schlechte Güter. Wir nehmen hier einfach an, dass sie in einem linearen Zusammenhang zueinander stehen, damit wir eine beispielhafte Nutzenfunktion aufstellen können: u(x1 , x2 ) = −2x1 −x2 (beide Güter gehen negativ ein)

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Aufgabe 2 (Berechnen von Indifferenzkurven) Ein Individuum vergleicht verschiedene Güterbündel (x1 , x2 ) mit dem Bündel G = (1, 1). Es kommt zu dem Schluss, dass es alle Mengenkombinationen mit 1 x2 = x1 genauso gut findet wie G. a) Wie lautet die zu G indifferente Mengenkombination (x1 , x2 ), wenn x1 = 2 ist? b) Skizzieren Sie die Indifferenzkurve auf der G liegt. c) Berechnen Sie die Ableitung der Indifferenzkurve nach x1 (MRS: Grenzrate der Substitution). d) Welche Art der Präferenzen liegt vor? Die Gleichung x2 = x11 ist eine Indifferenzkurve im (x1 ,x2 )-Diagramm, da der Konsument zwischen allen (x1 ,x2 )-Kombinationmen, die diese Gleichung erfüllen, indifferent ist. a) Um ein nutzenäquivalentes Güterbündel zu finden, muss hier x1 in die Indifferenzkurve eingesetzt werden. Wenn x1 = 2, dann ist das zu G=(1,1) nutzenäquivalente Güterbündel also (2,0.5) b) Indifferenzkurve mit G Vorgehen: – bekannte Punkte markieren (hier: (1,1) und (2,0.5)) – erkennen, dass x2 = berechnen

1 x1

eine Hyperbelfunktion ist, oder zusätzliche Punkte

– Kurve durch die Punkte zeichnen x2

G

1 .5 1

2

x1

Abbildung 7: Indifferenzkurve mit Güterbündel G

7

c) Die MRS ist die Steigung der Indifferenzkurve. Wir berechnen also die erste Ableitung nach x1 : d(x1−1 ) dx2 1 = = −x−2 1 = − 2 x1 dx1 dx1

(= MRS )

d) Es handelt sich um Präferenzen vom Cobb-Douglas-Typ (imperfekte Komplemente/Substitute). Eine Nutzenfunktion, aus der man diese Indifferenzkurve gewinnen kann, ist z.b. u = x1 x2 . Für einen Nutzenwert von 1 erhält man 1 = x1 x2 ⇐⇒ x2 = x11 .

Aufgabe 3 (Grenznutzen und Grenzrate der Substitution) Nehmen Sie die folgende Nutzenfunktion über drei Güter an: u(x, y, z) = x0.5 y 0.5 z 0.5 a) Was versteht man unter dem Grenznutzen eines Gutes? Berechnen Sie den Grenznutzen der Güter x und y . b) Was versteht man unter der Grenzrate der Substitution? Berechnen Sie die Grenzrate der Substitution der Güter x und y . Hier wird eine Funktion mit drei Gütern verwendet. Im Regelfall werden in dieser Veranstaltung Funktionen mit zwei Variablen verwendet. Diese stellen allerdings eine starke Vereinfachung der Realität dar, weswegen in dieser Aufgabe eine Funktion mit mehr Variablen gewählt wurde. So kann gezeigt werden, dass die Konzepte, die hier behandelt werden, nicht nur in einer 2-dimensionalen Modellwelt gelten. a) Grenznutzen(=MU, marginal uitlity): Der Nutzen, der dem Konsumenten durch den Erhalt einer marginalen (=sehr kleinen) zusätzlichen Einheit eines Gutes gegeben wird. Das bedeutet rechnerisch, dass man sich die Änderung des Nutzenwertes durch eine kleine Änderung des betrachteten Gutes ansieht. Also berechnet man den Grenznutzen, indem man sich den Anstieg der Funktion in die Richtung des entsprechenden Gutes herleitet; die Funktiona also partiell nach dem Gut ableitet. du 1 1 1 1 = x− 2 y 2 z 2 2 dx du 1 1 1 1 = x 2 y− 2 z 2 2 dy

8

b) Grenzrate der Substitution (=MRS (marginal rate of substitution)): Steigung der IK; gibt die Tauschbereitschaft eines Konsumenten an, sprich: Wie viel von einem Gut muss dem Konsumenten gegeben werden, damit er bereit ist eine marginale Einheit des anderen Gutes abzugeben? Die MRS ist als Rate über zwei Güter definiert, das bedeutet, dass sie nur die Tauschbereitschaft zwischen zwei Gütern angibt. Im vorliegenden Fall kann man also nicht nur eine MRS berechnen, sondern drei: – Tauschbereitschaft zwischen x und y – Tauschbereitschaft zwischen x und z – Tauschbereitschaft zwischen z und y Rechnerisch ist die MRS das negative Verhältnis der Grenznutzen der betrachteten Güter. Um also die MRS für x und y zu berechen, wenden wir das Wissen aus a) an: 1 12 x− 21 y 12 du z y MUx dx MRSx,y = − = − du = − 21 1 1 1 = − − x MUy 2 x2 y 2 dy 2z

Aufgabe 4 (Präferenzen und Nutzenfunktion) Die Präferenzordnungen von vier Haushalten lassen sich durch folgende Nutzenfunktionen beschreiben: (A) uA = x1 x2

(B) uB = x12x22

(C) uC = x12 + x22

(D) uD = min{

x1 , x2 } 2

a) Berechnen Sie für jede der genannten Nutzenfunktionen die Indifferenzkurve sowie deren Steigung und Krümmung für ein Nutzenniveau von u = 16. Skizzieren und beschreiben Sie den Verlauf der Indifferenzkurven. Kennzeichnen Sie die Bessermengen. b) Bei einem ordinalen Nutzenkonzept haben zwei der oben genannten Haushalte die gleiche Präferenzordnung. Welche sind dies und womit ist diese Übereinstimmung zu begründen? c) Berechnen Sie für die Indifferenzkurve des Haushalts (B) die Grenzrate der Substitution (MRS) für ein Nutzenniveau von 16 in den Punkten x′ = (2, 2) und x′′ = (4, 1). Welche Aussagen bezüglich der Substitutionsbereitschaft des Haushaltes lassen sich aus diesen Ergebnissen ableiten?

9

a)

– 1. Ableitung der Indifferenzkurve: Steigung – 2. Ableitung der Indifferenzkurve: Krümmung (0: es existiert ein Minimum, konvexe Krümmung)

– Bessermenge: umfasst alle IK, die ein höheres Nutzenniveau haben (hier alle mit u>16)

uA = x1 x2 uA = 16 = x1 x2 (nach x2 umstellen um die IK zu erzeugen) IKA : x2 =

16 , x1

dx2 16 = − 2 < 0, x1 dx1

d2 x2 32 = 3 >0 2 dx1 x1

x2

Bessermenge

uA = 16 x1 Abbildung 8: Indifferenzkurven HH (A)

IKB : x2 =

4 , x1

dx2 4 = − 2 < 0, x1 dx1

10

d2 x2 8 = 3 >0 2 dx1 x1

x2

Bessermenge

uB = 16 x1 Abbildung 9: Indifferenzkurven HH (B)

1

IKC : x2 = (16 − x12) 2 ,

dx2 1 −1 −1 = −2x1 (16 − x21 ) 2 = −x1 (16 − x12 ) 2 < 0, dx1 2

d2 x2 1 1 3 = −(16 − x21 )− 2 + 2x12(16 − x21 )− 2 (− ) < 0 2 dx 1 2 x2 4

Besserlinse uC = 16

4

x1

Abbildung 10: Indifferenzkurve HH (C) D: Perfekte Komplemente sind ein Sonderfall: Die Minimumfunktion ist nicht differenzierbar, sprich man kann sie nicht ableiten. Deswegen kan man hier keine MRS berechnen, da die Steigung der IK nicht überall definiert ist: die IK bildet immer einen rechten Winkel an der Stelle, wo die Güter im gewünschten Verhältnis

11

konsumiert werden (bei einem Nutzenniveau von 16 im Punkt (32,16)). Daher ist eine Fallunterscheidung für die IK nötig: IKD :

 x

1

x

2

= 32 falls x2 ≥ 16

= 16 falls x1 ≥ 32.

x2

Bessermenge 16

uD = 16 x1

32

Abbildung 11: Indifferenzkurve HH (D) b)

– HH (A) und (B) gleiche Präferenzordnung, da uB eine monotone Transformation von uA : uB = (uA )2 = (x1 · x2 )2 = x12 · x22

– Monotone Transformation: Mathematisch betrachtet, handelt es sich um eine positive monotone Transformation, wenn man eine strikt steigende Funktion auf die Funktion anwendet. Also g(u(x, y)) mit g() strikt steigend und es gilt, dass u(x, y) < u(x′ , y ′ ) genau dann, wenn g(u(x, y)) < g (u(x′ , y ′ )) Das bedeutet verbal, dass man, egal in welche der Funktionen man zwei verschiedene Güterbündel einsetzt, immer zur gleichen Konsumentscheidung kommt. Wenn man sich bei A für das erste Bündel entschieden hat, muss man bei monotoner Transformation auch bei B zu dieser Entscheidung kommen. Also in diesem Beispiel: uA = x1 x2 , g(u) = u2 => g(uA ) = x12x22 = uB Bsp : (x1 , x2 ) = (2, 2), (xl1 , x2l ) = (3, 4) uA (x1 , x2 ) = 4 < 12 = uA (xl1 , x2l ) uB (x1 , x2 ) = 16 < 144 = uB (x1l , x2l )

12

→ keine Veränderung der Präferenzen, da ORDINALE Güterbewertung unverändert – ordinale Bewertung bedeutet, dass man nur Aussagen darüber treffen kann ob ein Bündel besser ist als ein anderes, aber nicht um wie viel es besser ist. (Es gibt noch die nominale und die kardinale Bewertung: ∗ nominal: man kann nur sagen ob etwas gleich oder ungleich etwas anderem ist, aber sonst keine weiteren Aussagen dazu treffen (Bsp: grün ist nicht gleich rot) ∗ kardinal: Man kann feststellen ob etwas gleich oder ungleich, besser oder schlechter als etwas anderes ist und man kann ebenfalls messen um wie viel besser oder schlechter etwas ist (Bsp: 25◦ C sind 10◦ C kälter als 35◦ C) c) uB = x21 x22 =! 16 = u¯ √ u¯ ⇔ x2 = x1 √ u¯ ∂x2 4 = − 2 = − 2 (= MRSB ) < 0 ∀x1 ∈ R ⇒ x1 x1 ∂x1   ∂x2  x′ = (2, 2) :  = −1, ∂x1 x′ x = (4, 1) : ′′



∂x2   = −0, 25 ∂x1 x′′

→ MRS negativ, d.h. die Aufgabe einer marginalen Einheit eines Gutes muss durch Zugewinn des zweiten Gutes kompensiert werden, um das gleiche Nutzenniveau zu erreichen → je größer die vorhandene Menge von x1 , desto weniger Kompensationsmenge x2 ist zum Verzicht auf eine marginale Einheit x1 notwendig   ∂x2  ( [x1 ↑→  ∂x1  ↓→ Tauschbereitschaft in Einheiten von x2 ↓]) Beispiel: Stellt euch vor die beiden Güter sind Bier und Limonade. Habt ihr erst realtiv wenig Bier getrunken, müsste man euch relativ viel Limonade bieten damit ihr ein Bier abgebt. Habt ihr aber schon fast über den Durst hinaus Bier getruken, muss man euch nur relativ wenig Limonade geben damit ihr ein Bier abgebt.

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