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Fun¸co˜es cont´ınuas. Propriedades.

´ MODULO 1 - AULA 6

Aula 6 – Fun¸ c˜ oes cont´ınuas. Propriedades. Referˆ encias: Aulas 2 e 3.

Objetivos Compreender a no¸ca˜o de fun¸ca˜o cont´ınua. Estudar propriedades elementares de fun¸co˜es cont´ınuas, tais como: soma, produto, quociente e composi¸ca˜o.

Antes de introduzir o conceito no qual estaremos interessados nesta aula, e em muitas outras que se seguir˜ao, vejamos dois exemplos. Exemplo 6.1 Consideremos a fun¸c˜ao f : R → R, definida por f(x) = x2 + 1 se x ≤ 0 e f(x) = x3 se x > 0, cujo gr´afico esb o¸camos na Figura 6.1.

1

0

Figura 6.1

Como lim− f(x) = lim− (x2 + 1) = 1 = f(0) e lim+ f(x) = lim x3 = 0, x→0

x→0

x→0

lim f(x) n˜ao existe.

x→0+

x→0

Exemplo 6.2 Consideremos a fun¸c˜ao f : R → R, definida por f(x) = |x| se x = 1 e f(1) = 0, cujo gr´afico esb o¸camos na Figura 6.2. J´a sab emos que lim f(x) = lim |x| = |1| = 1. Entretanto, como f(1) = x→1

x→1

0, lim f (x) = f (1). x→1

Para a fun¸ca˜o f, do Exemplo 6.1, lim f(x) n˜ao existe, apesar dos lix→0

mites lim− f(x) e lim+ f(x) existirem. Para a fun¸c˜ao f, do Exemplo 6.2, x→0

x→0

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Fun¸co˜es cont´ınuas. Propriedades.

1

Figura 6.2

lim f(x) existe, apesar de ser diferente de f(1). Deste ponto de vista, o comportamento da fun¸c˜ao f, do Exemplo 6.1, para x pr´oximo de 0 ´e diferente do comportamento da fun¸c˜ao f, do Exemplo 6.2, para x pr´oximo de 1. O gr´afico da primeira fun¸c˜ao d´a um “salto”em x = 0 e o gr´ afico da segunda fun¸c˜ao tem um “buraco”em x = 1. Em outras palavras, em ambos os casos, os gr´aficos n˜ao s˜ao cont´ınuos. x→1

Nesta aula estaremos interessados naquelas fun¸c˜oes cujos gr´aficos sej am cont´ınuos, algumas das quais j´a apareceram na s aulas anteriores. Defini¸c˜ao 6.1 Sejam f : D → R e a ∈ D. Diz-se que f ´e cont´ınua em a se, para qualquer seq¨ uˆencia (xn ) de elementos de D tal que lim xn = a, tem-se n→∞

lim f(xn ) = f(a).

n→∞

Na grande maioria dos exemplos relevantes e em todos os exemplos e exerc´ıcios considerados neste curso ocorre que todo intervalo aberto contendo a intercepta D − {a}. Neste caso, dizer que f ´e cont´ınua em a equivale a dizer que lim f (x) = f (a) (lembrar a aula 2). x→a

Diz-se que f e´ cont´ınua em D se f ´e cont´ınua em todo a ∈ D. Vejamos alguns exemplos de fun¸c˜oes cont´ınuas: Exemplo 6.3 A fun¸c˜ao f(x) = |x| ´e cont´ınua em R.

De fato, vimos no Exemplo 2.11 que, para todo a ∈ R, lim f(x) = lim |x| = |a| = f(a). x→a

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x→a

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Exemplo 6.4 Todo polinˆ omio p ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua em R. De fato, vimos no Exemplo 2.12 que, para todo a ∈ R, lim p(x) = p(a). x→a

Exemplo 6.5 √ A fun¸c˜ao f(x) = x ´e cont´ınua em seu dom´ınio [0, +∞) (na Figura 6.3 esbo¸camos o gr´ afico de f).

1

0

1

Figura 6.3

Vamos explicar porque √ √ limf(x) = lim x = a = f(a)

x→a

x→a

no caso em que a > 0; o caso em que a = 0 ´e bem mais simples (fa¸ca os detalhes). Realmente, seja (xn ) uma seq¨uˆencia arbitr´aria de elementos √ xn − de [0, +∞) diferentes de a tal que lim xn = a. Como xn − a = n→∞ √  √ √ xn + a , temos a

√ 1 √ |xn − a| √ ≤ √ | xn − a| , | xn − a| = √ xn + a a √ √ √ pois xn + a ≥ a. Como podemos tornar os nu´meros √1 a |xn − a| t˜ao pr´oximos de zero quanto queiramos (j´a que lim xn = a), o mesmo vale para n→∞ √ √ os n´ umeros | xn − a| em vista da desigualdade acima. Isto nos permite concluir que √ √ lim f(xn ) = lim xn = a. n→∞

n→∞

Portanto, lim f (x) = f (a), x→a

mostrando que f ´e cont´ınua em a. 59

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Fun¸co˜es cont´ınuas. Propriedades.

Raciocinando de maneira similar, mas trabalhando um pouco mais, podemos garantir a validade dos dois exemplos a seguir. Exemplo 6.6 √ Para cada inteiro k ≥ 2 par, a fun¸ca˜o f(x) = k x ´e cont´ınua em seu dom´ınio √ √ √ √ √ ao cont´ınuas em [0, +∞). Ou seja, as fun¸c˜oes x, 4 x, 6 x, 8 x, 10 x, . . . s˜ [0, +∞). Exemplo 6.7 √ Para cada inteiro k ≥ 3 ´ımpar, a fun¸c˜ao f(x) = k x ´e cont´ınua em R. Ou √ √ √ √ √ seja, as fun¸c˜oes 3 x, 5 x, 7 x, 9 x, 11 x, . . . s˜ ao cont´ınuas em R. Exemplo 6.8 A fun¸c˜ao f, do Exemplo 6.2, ´e cont´ınua em R−{1}, mas n˜ao ´e cont´ınua em 1. Com efeito, para cada a ∈ R − {1}, lim f(x) = |a| = f(a), x→a

como vimos no Exemplo 6.3; logo, f ´e cont´ınua em a. Por outro lado, vimos no Exemplo 6.2 que lim f(x) = 1 = 0 = f(1). x→1 Logo, f n˜ ao ´e cont´ınua em 1. Exemplo 6.9 Os dois fatos expressos no Exemplo 6.9 tamb´em podem ser justificados a partir de propriedades das fun¸co ˜es seno e cosseno; ver H. L. Guidorizzi, Um Curso de C´ alculo, Volume 1.

As fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao cont´ınuas em R. Isto segue dos Exemplos 9.7 e 9.8 e da Proposi¸c˜ao 10.1. Nas pr´oximas proposi¸co˜es obteremos propriedades elementares de fun¸c˜oes cont´ınuas. Proposi¸c˜ao 6.1 Se f, g : D → R s˜ ao cont´ınuas em a ∈ D, ent˜ao f + g e f g tamb´em o s˜ao. Demonstra¸c˜ao: Seja (xn ) uma seq¨ uˆencia arbitr´aria de elementos de D tal que x = a. Pe la c ontinu idade d e f e g em a, temos lim n

n→∞

lim f(xn ) = f(a) e

n→∞

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lim g(xn ) = g(a).

n→∞

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Usando as Proposi¸c˜oes 2.1 e 2.2, obtemos lim (f + g)(xn ) =

n→∞

=

lim (f (xn ) + g(xn )) =

n→∞

lim f(xn ) + lim g(xn ) =

n→∞

n→∞

= f(a) + g(a) = = (f + g)(a) e lim (f g)(xn ) =

n→∞

=

lim (f (xn )g(xn )) =

n→∞



lim f(xn )

n→∞



 lim g(xn ) =

n→∞

= f(a)g (a) = = (f g)(a). O que acabamos de verificar mostra que f + g e f g s˜ ao cont´ınuas em a, como quer´ıamos demonstrar. Como conseq¨ uˆencia da Proposi¸ca˜o 6.1 podemos assegurar que, para f e g como na Proposi¸c˜ao 6.1 e para qualquer c ∈ R, as fun¸co˜es cf e f − g s˜ao cont´ınuas em a. Exemplo 6.10 √ √ As fun¸c˜oes f1 (x) = 3 x + sen x, f2 (x) = 3 x sen x, f3(x) = sen x + cos x √ e f4(x) = (sen x)(cos x) s˜ao cont´ınuas em R, pois as fun¸co˜es g1(x) = 3 x, g2(x) = sen x e g3(x) = cos x s˜ao cont´ınuas em R. Exemplo 6.11 √ A fun¸c˜ao f(x) = |x| 6 x+x cos x ´e cont´ınua em [0, +∞), pois a fun¸ca˜o g1(x) = √ 6 x ´e cont´ınua em [0, +∞) e as fun¸co˜es g2(x) = |x|, g3(x) = x e g4(x) = cos x s˜ ao cont´ınuas em R (logo, em [0, +∞)). Proposi¸c˜ao 6.2 Se f, g : D → R s˜ ao cont´ınuas em a ∈ D e g(x) = 0 para todo x ∈ D, ent˜ao f e cont´ınua em a. g ´

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Demonstra¸c˜ao: Seja (xn ) uma seq¨ uˆencia arbitr´aria de elementos de D tal que lim xn = a. Pela continuidade de f e g em a, temos

n→∞

lim f(xn ) = f(a) e

n→∞

lim g(xn ) = g(a).

n→∞

Pelo visto na aula 2,     lim f(xn ) f(xn ) n→∞ f(a) f f = lim (xn ) = lim = (a). = lim g(xn ) n→∞ g n→∞ g(xn ) g(a) g n→∞ Acabamos de verificar que demonstrar.

f g

´e cont´ınua em a, como quer´ıamos

Exemplo 6.12 x A fun¸c˜ao f(x) = sen e cont´ınua em R, pois as fun¸co˜es g1(x) = sen x e x4 +1 ´ 4 g2(x) = x + 1 s˜ao cont´ınuas em R e g2 (x) ≥ 1 > 0 para todo x ∈ R.

A Proposi¸ca˜o 6.2 admite uma formula¸ca˜o mais geral, a saber: Se f, g : D → R s˜ ao cont´ınuas em a ∈ D e g(a) = 0, ent˜ ao f em a, sendo g definida no conjunto {x ∈ D ; g(x) = 0}.

f g

´e cont´ınua

Exemplo 6.13 A fun¸c˜ao f(x) =

|x| cos x 1−x2

´e cont´ınua em R − {−1, 1}.

Realmente, as fun¸c˜oes g1(x) = |x| cos x e g2(x) = 1 − x2 s˜ao cont´ınuas em R e g2(x) = 0 para todo x ∈ R − {−1, 1}. Exemplo 6.14 Se p e q s˜ ao dois polinˆomios, ent˜ao a fun¸c˜ao racional f = conjunto D = {x ∈ R; q(x) = 0}.

p q

´e cont´ınua no

Proposi¸c˜ao 6.3 Sejam f : D → R cont´ınua em a ∈ D e g : E → R tal que f(x) ∈ E para todo x ∈ D e g ´e cont´ınua em f(a). Ent˜ao a fun¸c˜ao composta g ◦f ´e cont´ınua em a. Demonstra¸c˜ao : Seja (xn ) uma seq¨uˆencia arbitr´aria de elementos de D tal que lim xn = a. Pela continuidade de f em a, lim f(xn ) = f(a); e, pela n→∞

n→∞

continuidade de g em f(a), lim g(f (xn )) = g(f (a)). Acabamos de ver que n→∞

lim (g ◦ f)(xn ) = (g ◦ f)(a),

n→∞

provando que g ◦ f ´e cont´ınua em a. CEDERJ

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Exemplo 6.15 A fun¸c˜ao f(x) = sen(x2) ´e cont´ınua em R. De fato, as fun¸c˜oes g1(x) = x2 e g2 (x) = sen x s˜ao cont´ınuas em R e f = g2 ◦ g1 (realmente, para todo x ∈ R, (g2 ◦ g1 )(x) = g2(g1(x)) = g2(x2 ) = sen(x2 ) = f(x)). Exemplo 6.16 A fun¸c˜ao f(x) =

 4 |x| ´e cont´ınua em R.

√ De fato, a fun¸c˜ao g1 (x) = |x| ´e cont´ınua em R e a fun¸c˜ao g2 (x) = 4 x ´e cont´ınua em [0, +∞). Al´em disso, g1 (x) ∈ [0, +∞) para todo x ∈ R. Como f = g2 ◦ g1 (realmente, para todo x ∈ R, (g2 ◦ g1 )(x) = g2 (g1 (x)) = g2 (|x|) =  4 |x| = f(x)), a nossa afirma¸c˜ao est´a justificada.

Resumo Nesta aula vocˆe foi apresentado a uma no¸ca˜o fundamental, a de fun¸ca˜o cont´ınua. Al´em disso, vocˆe estudou algumas propriedades elementares de fun¸c˜oes cont´ınuas.

Exerc´ıcios 1. Mostre que as fun¸co˜es tangente, cotangente, secante e cossecante s˜ao cont´ınua s em seus respectivos dom´ınios. 2. Se f : D → R ´e cont´ınua em D ⊂ R, mostre que a fun¸ca˜o |f| ´e cont´ınua em D, onde |f| ´e definida por |f |(x) = |f(x)| para todo x ∈ D. 3. Seja f : R → R definida por f(x) = −1 se x ≤ 0 e f(x) = 1 se x > 0. Mostre que |f| ´e cont´ınua em R mas f n˜ao o ´e. Este exerc´ıcio mostra que a rec´ıproca do exerc´ıcio anterior n˜ ao ´e verdadeira em geral.  √5 5 sen a sen(2x − a) . = 4. Seja a ∈ R − {0}. Mostre que lim 2 2 x→a 2a2 x +a 63

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5. Determine em que pontos de seus dom´ınios as fun¸co˜es f abaixo s˜ao cont´ınuas, justificando a sua resposta. (a) f(x) =

√

x2 − 1, x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞).

x5 − 4x2 + 1 , x ∈ R. x2 + 2 x2 − 9 f(x) = se x ∈ R − {3} e f(3) = 1. x−3 x2 − a2 f(x) = se x ∈ R − {a} e f(a) = 2a, onde a ∈ R. x+a √ f(x) = 3 cos x , x ∈ R. √ √ 4 √ x− 4 2 f(x) = se x ∈ [0, +∞) − {2} e f(2) = 4 4 8. x−2 x3 + x2 se x ∈ R − {0} e f(0) = 1. f(x) = 3 4x + 9x2 + x  f(x) = |sen x|, x ∈ R.

(b) f(x) = (c) (d) (e) (f) (g) (h)

6. Determine que valor devemos atribuir a c para que cada uma das fun¸c˜oes f abaixo seja cont´ınua em 1.  3 3 x − 1 (a) f(x) = se x ∈ R − {1} e f(1) = c. x−1 √ x−1 (b) f(x) = √ √ se x ∈ [0, +∞) − {1} e f(1) = c. 2x + 3 − 5 Sugest˜ ao: Escreva √ √ √ √ √ √ ( x − 1)( 2x + 3 + 5) 1 2x + 3 + 5 x−1 √ √ = √ √ √ √ √ = . x+1 2x + 3 − 5 ( 2x + 3 − 5)( 2x + 3 + 5) 2 (c) f(x) =

x3 − 1 se x ∈ R − {1} e f(1) = c. x3 − x2 + x − 1

7. Seja a > 0. Determine o valor de c para que a fun¸c˜ao f : [0, +∞) → R, √ √ x− a se x = a e f(a) = c, seja cont´ınua em a. definida por f(x) = x−a 8. Determine o valor de c para que a fun¸ca˜o f : [0, +∞) → R, definida √ x−2 por f(x) = x+x2 −1 se x ∈ [0, 1) e f(x) = xcx+5 2 +3 se x ∈ [1, +∞), seja cont´ınua em 1. 9. Sejam a ∈ R e r > 0, e sejam f, g, h : (a − r, a + r) → R tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ (a − r, a + r), f(a) = g (a) = h(a) e f e h s˜ ao cont´ınuas em a. Mostre que g ´e cont´ınua em a. CEDERJ

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Auto-avalia¸ca ˜o Nesta aula ´e introduzida a importante no¸c˜ao de continuidade que depende, fundamentalmente, da no¸ca˜o de limite estudada nas aulas 2 e 3. Por esta raz˜ao, as aulas 2 e 3 s˜ao a base para o entendimento desta aula. So´ prossiga ap´ os fazer todos os exerc´ıcios propostos, pois eles certamente contribuem para a assimila¸ca˜o do conte´ udo desta aula. Como sempre, consulte os tutores quando achar necess´ario.

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