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Axioma de Completitud Análisis Matemático numero 2
Cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima.
Sea 𝑋 ⊂ 𝐾 acotado superiormente no vacío. Un número 𝑏 ∈ 𝐾 se llama supremo del conjunto X cuando es la menor
de las cotas supe...

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Axioma de 45

Completitud

Cada conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene una cota superior mínima. Sea 𝑋 ⊂ 𝐾 acotado superiormente no vacío. Un número 𝑏 ∈ 𝐾 se llama supremo del conjunto X cuando es la menor de las cotas superiores de X. De forma explícita, b es el supremo de X cuando se cumple las dos condiciones siguientes: 1. S1. Para todo 𝑥 ∈ 𝑋 se tiene 𝑥 ≤ 𝑏 . 2. Si 𝑐 ∈ 𝐾 es tal que 𝑥 ≤ 𝑐 para todo 𝑥 ∈ 𝑋 , entonces 𝑏 ≤ 𝑐 . La condición S2 admite la siguiente reformulación 2.1 Si c < b entonces existe x ∈ X tal que c < x. En efecto, 2.1 afirma que ningún número real menor que b puede ser una cota superior de X. A veces 2.1 se escribe así: para todo 𝜀 > 0 existe 𝑥 ∈ 𝑋 tal que 𝑏 − 𝜀 < 𝑥. Escribimos 𝑏 = 𝑠𝑢𝑝 𝑋 para indicar que b es el supremo del conjunto 𝑋. X es un conjunto no vacío acotado, inferiormente se dice que un número real a es el ínfimo de X, y se escribe 𝑎 = í𝑛𝑓𝑋, cuando es la mayor de las cotas inferiores de X. Esto es equivalente a las dos afirmaciones siguientes: 1. Para todo x ∈ X se tiene a ≤ x. 2. Si c ≤ x para todo x ∈ X, entonces c ≤ a. 2.1 Si a < c entonces existe x ∈ X tal que x < c. Teorema 3. i) El conjunto 𝑁 ⊂ 𝐾 de los números naturales no está acotado superiormente; ii) El ínfimo del conjunto 𝑋 = {1/𝑛 ∶ 𝑛 ∈ 𝑁} es igual a 0; iii) Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 + , existe 𝑛 ∈ 𝑁 tal que 𝑛 · 𝑎 > 𝑏. Teorema 4. (Principio de los intervalos encajados) Dada una sucesión decreciente 𝐼1 ⊃ 𝐼2 ⊃···⊃ 𝐼𝑛 ⊃··· de intervalos cerrados y acotados, 𝐼𝑛 = [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], existe al menos un número real c tal que 𝑐 ∈ 𝐼𝑛 para todo 𝑛 ∈ 𝑁. Teorema 5. El conjunto de los números reales no es numerable Teorema 6. Todo intervalo no degenerado I contiene números racionales e irracionales...