BAB 6 GEOMETRI PROYEKTIF PDF

Preview

Summary

BAB 6 GEOMETRI PROYEKTIF A. Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif Geometri proyektif mulai dipelajari pada periode Renaissance, abad 14 sampai 16. Geometri proyektif muncul ketika seniman-seniman mencoba teknik baru untuk memperoleh hasil yang bagus dalam memindahkan objek 3D ke bentuk 2D. Sebelum...

Description

BAB 6 GEOMETRI PROYEKTIF A. Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif

Geometri proyektif mulai dipelajari pada periode Renaissance, abad 14 sampai 16. Geometri proyektif muncul ketika seniman-seniman mencoba teknik baru untuk memperoleh hasil yang bagus dalam memindahkan objek 3D ke bentuk 2D. Sebelum adanya geometri proyektif, pelukis susah menampilkan bagaimana melukis garis sejajar di atas kanvas. Seniman ingin menampilkan garis sejajar, seperti pinggir jalan, karena sejajar pinggiran jalan tersebut, terlihat berubah dalam lukisan dengan apa yang dilihat nyata oleh orang. Usaha untuk mewujudkan gambar yang realistik di dunia ke dalam bentuk 2D dipelajari oleh banyak seniman selama periode Renaissance. Salah satunya adalah Albrecht Durer. Durer merupakan seniman yang terkenal di Jerman yang bekerja sebagai pelukis dan pengukir kayu. Dia bekerja keras untuk menampilkan secara nyata semua yang ada disekitarnya. Tujuan ini membawa Durer untuk mempelajari geometri. Dia sebagai Geometri proyektif

Page 119

penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke bentuk 2D. Kita dapat belajar banyak tentang bagaimana orang melihat cara kerja dunia dengan seninya. Dalam lukisan, anak panah pemanah bergerak lurus secara sempurna hingga ia mencapai puncaknya, pada saat mereka berhenti tepat di titik, pada sudut yang tajam dan jatuh langsung ke bumi. Sebelum masa renaisans gambar dan lukisan dimulai dengan representasi dari pelukis, orang yang digambar akan lebih kecil dibandingkan sesungguhnya agar terlihat nyata. Bahkan, Giotto, pelukis yang hidup dari sekitar 12661337 adalah yang pertama menyadari bahwa ukuran relatif dan bentuk sesuatu harus dimodifikasi dalam lukisan untuk membuatnya tampak lebih nyata. Tentu saja dia tidak tahu persis bagaimana melakukan ini, sehingga beberapa lukisannya muncul sedikit aneh (ada beberapa koreksi untuk perspektif, tapi itu dilakukan secara tidak benar). Sungguh mengejutkan, karena semua orang sejak awal (sebelum pada kenyataannya) pasti melihat orang-orang yang jaraknya jauh terlihat kecil. Tentu saja ada alasan psikologis luar biasa untuk kesalahan representasi ini. Kita "tahu" bahwa meskipun orang itu jauh, dia benarbenar tetap dengan ukuran yang sama. Gambar tentang yang lainnya (orang-orang, bangunan, atau pegunungan) lebih kecil pada gambar, disebut gambar perspektif. Sekarang kita tahu cara menggambar perspektif, ini benar-benar jelas bahwa itu adalah cara yang "benar" untuk menggambar. Kita tahu bahwa jika kita melihat sepasang rel kereta api di tanah datar terus ke 120

cakrawala, sepasang rel itu akan bertemu di sebuah titik, dan juga bahwa garis lintasannya akan muncul lebih dekat di kejauhan, meskipun kita tahu bahwa di dunia nyata jarak satu sama lain adalah sama. Tentang bagaimana membuat suatu pemandangan dalam perspektif, ada cara yang mekanis untuk mendapatkan tampilan yang sangat akurat. Hanya dengan menggunakan sepotong kaca, dan menjaga kepala Anda di posisi yang sama persis (secara teknis, Anda harus menggunakan hanya satu mata, dan menjaga pandangan Anda). Caranya, di mana pun Anda melihat hijau melalui kaca, tandai cat hijau pada saat itu pada kaca. Cat merah di mana Anda melihat merah, dan sebagainya, dan itu jelas bahwa jika Anda dapat mencocokkan warna persis, Anda telah melukis sebuah pemandangan pada kaca dalam perspektif yang sempurna. Jika Anda membayangkan bahwa garis terang mengikuti ketika bergerak dari berbagai objek ke mata Anda melalui kaca, sinar cahaya dari atas dan bawah dari sebuah objek akan membuat sudut yang pada dasarnya menentukan ukuran gambar benda pada kaca. Jika objek yang sama lebih jauh, sudut akan lebih kecil, sehingga gambar pada kaca juga akan lebih kecil. Ini adalah ide dasar di balik gambar perspektif. Dapat dilihat pada gambar berikut:

Geometri proyektif

Page 121

Melukis itu juga merupakan ide dasar di balik geometri proyektif, yang mengatakan kepada kita bagaimana gambar-gambar benda pada kaca terkait dengan posisi benda-benda di dunia nyata, ke posisi kaca, dan posisi mata. Nama "Proyektif" berasal dari fakta bahwa pemandangan yang diambil dari kenyataan menjadi "diproyeksikan" pada kaca. Kita mungkin berpikir, dari sebuah proyektor dengan cara yang berlawanan, tentu saja slide proyektor dari lampu bersinar terang melalui slide (kaca) ke layar. Tetapi jika kita mengganti lampu dengan mata dan bayangkan sinar cahaya terbalik dan datang di objek, mereka akan memproyeksikan citra dari objek yang ada pada slide. Ada yang lebih dari geometri proyektif, tentu saja. Hanya untuk mengisyaratkan masalah yang lebih sulit, bayangkan bahwa Anda adalah seorang pelukis dari suatu seperti di atas, tapi salah satu subjek dalam pemandangan Anda adalah pelukis lain yang melakukan perspektif menggambar di kanvasnya. Ketika Anda menggambar di kanvas Anda apa yang ia ggambar, bagaimana gambar Anda dari fotonya yang terkait dengan dunia nyata, karena telah mengalami dua proyeksi? Dan jika ini tampaknya terlalu jauh, pertimbangkan ini: matahari melemparkan bayangan di tanah, yang hanya proyeksi benda pada "kanvas" dari tanah. Jika Anda seorang pelukis pemandangan dengan bayangan di tanah dan Anda ingin membuat bayangan dengan benar, Anda benar-benar melukis proyeksi. Geometri Proyektif bukan hanya bagian dari geometri Euclidean. Ini mungkin tampak mirip karena tampaknya untuk menangani terutama dengan proyeksi benda Euclidean pada bidang Euclidean. Tapi 122

itu tidak semua. Pikirkan tentang contoh kita dari sepasang rel kereta api berkumpul di cakrawala. Dalam lukisan Anda dari lintasan, dua baris mewakili mereka memenuhi di sebuah titik pada kanvas Anda, tapi apa titik yang mewakili di dunia nyata? Jawabannya adalah bahwa hal itu merupakan titik "Jauh di kejauhan" ke arah yang akan dituju lintasan (dengan asumsi, tentu saja, bahwa dunia benar-benar datar dan meluas seluas-luasnya). Kita bisa langsung tahu bahwa sesuatu yang aneh sedang terjadi, karena geometri Euclidean tidak dilengkapi dengan poin yang "jauh di takhingga", tetapi contoh ini menunjukkan bahwa geometri proyektif tidak memiliki masalah sama sekali yang mewakili titik-titik tersebut (atau setidaknya proyeksi mereka). Saat ini geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu cara yang sangat praktis setiap Anda melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua perhitungan untuk menghasilkan citra realistik dihitung dengan menggunakan rumus geometri proyektif. Sifat geometris pertama yang bersifat proyektif ditemukan pada abad ketiga oleh Pappus of Alexandria. Geometri proyektif memiliki sejarah yang sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari geometri Euclid. Jika ditelusuri lebih lanjut berdasarkan konsep-konsep dasarnya maka geometri ini muncul pada abad ke-14. Dan temuan ini juga hampir sama dengan Euclid’s Elements yang diletakkan para ahli sebagai fondasi geometri proyektif di abad 17. Disinilah sejarah geometri proyektif menjadi menarik, Geometri proyektif

Page 123

dimana di abad 17 geometri ini tidak popular dikalangan matematikawan. Dan pada abad 19 geometri proyektif menjadi terkenal dan menjadi sorotan bagi semua matematikawan. Gemetri proyektif didefinisikan secara sederhana sebagai sifat-sifat angka yang tetap atau tidak berubah (invariant) dalam proyeksi. Proyeksi sendiri secara sederhana dapat dicontohkan pada pengamatan yang dilakukan pada papan catur. Jika kita melihat dari depan maka akan terlihat garis-garis yang ada adalah sejajar, tapi ketika kita turunkan papan tersebut dan kita lihat dari sudut pandang yang lain maka garis-garis tersebut terlihat seperti tidak parallel atau tak sejajar. Dari sudut pandang geometri kegiatan tersebut merupakan sebuah proyeksi dari bidang pada kotak-kotak papan catur. Geometri proyeksi adalah studi tentang sifat dari garis-garis yang diproyeksikan. Pada abad ke-17 barulah ada seorang matematikawan Perancis yang berusaha untuk mempelajari geometri proyektif, Gerard Desargues (1591 – 1661) dianggap sebagai penemu sejati dari geometri proyektif. Desargues adalah seorang insinyur dan arsitektur yang tertarik pada konsep proyeksi. Tidak banyak yang dapat diketahui tentang kehidupan Deargues. Keluarga (pihak ayah maupun pihak ibu) adalah keluarga kaya selama beberapa generasi. Profesi keluarga adalah pengacara atau hakim di Paris maupun di Lyon. Desargues sering pergi ke Paris dalam hubungannya dengan proses hukum guna pemulihan hutang. Meskipun bangkrut, kelurganya masih memiliki beberapa rumah besar di Lyon, puri dekat desa Vourles dan kastil kecil yang dikelilingi oleh tanaman anggur. Pendidikan 124

Desargues tidak susah untuk sekolah tinggi dan mampu membeli buku-buku yang dia inginkan dan mampu menikmati kesenangan apapun yang ingin dia reguk. Sebagai penemu, Desargues, merancang tangga spiral dan pompa model baru, tapi minat utama adalah geometri. Dia menemukan sesuatu yang baru, berbeda dengan geometri Yunani, yang sekarang dieknal dengan nama “proyeksi” atau geometri “modern”. Karya-karya Desargues terkesan praktis dengan judul-judul seperti: Perspekctif (1636), pemotongan batu untuk membangun gedung (1640) dan penunjuk waktu terbuatdari batu/sundial (1640). Beberapa salinan karya Desargues dicetak di Paris pada tahun1639, namun hanya satu yang dapat diselamatkan, dan ditemukan kembali pada tahun 1951. Penyebab semua itu adalah karyanya tidak diterima oleh kalangan matematikawan. Cara yang dipakai Desargues untuk memasyarakatkan karya-karyanya adalah lewat surat yang dikirim kepada teman-teman. Karya-karya itu hampir semua hilang sampai tahun 1847, namun salah satu salinan dibuat oleh Phillipe de Lahire, salah seoarng pengagum Desargues ditemukan di perpustakaan Paris. Karya-karyanya tidak untuk konsumsi ilmuwan, yang mengikuti penjelajahan imajinasi, tapi matematikawan “lapangan” dan ahliahli mesin, yang sulit memahami makna dari karyakaryanya. Istilah-istilah yang digunakan, karena ilmu baru, banyak diambil dari bidang ilmu-ilmu lain yang sudah mapan. Sekali lagi, metode proyektif tidak sejalan dengan jaman, yang bertumpukan hanya pada kemajuan aljabar dan analisis. Namun pada saat itu dia tidak tertarik pada proyeksi matematika dasar. Geometri proyektif

Page 125

Sebaliknya dia sangat berminat pada pendidikan seniman dan insinyur karena hal ini merupakan pekerjaannya yang paling menonjol. Desargues bukan matematikawan tunggal yang mempelajari geometri proyektif di abad ke-17 itu. Ada dua matematikawan lainnya yang mengabdikan hidup mereka untuk mempelajari geometri tersebut. Blaise Pascal dan Phillippe de Lahire merupakan dua orang yang sangat berminat pada geometri ini. Pascal lebih cendrung dipengaruhi oleh Desargues dan dia lebih berminat pada menyederhanakan sifat-sifat bagian kerucut. Pada saat itu Pascal membuat suatu esai mengenai geometri proyektif tapi sayangnya esai tersebut hilang sehingga kebenarannya sempat diragukan tapi sebelum esai tersebut hilang Leibniz sempat membacanya. Pikiran yang brilian diberikan oleh Pascal dan ahirnya lahir sebuah Teorema Pascal. Philippe de La Hire juga sangat dipengaruhi oleh Desargues dan sangat tertarik pada geometri proyektif. Ia sangat dikenal karena karyanya yang berjudul Sectiones Conicae (bagian kerucut). Konsep ini semua ditangani dengan menggunakan geometri proyektif. La Hire percaya bahwa metode proyektif jauh lebih kuat dari metode Appolonios. Dengan menggunakan geometri ini dia berusaha membuktikan 364 dari teorema Appolonios. Dan dia berhasil membuktikan 300 teorema. Jika diamati secara seksama maka sejarah geometri ini sangat menarik, sejak abad 17 dimana Desargues, Pascal dan La Hire berusaha menemukan teorema untuk geometri ini dan selama lebih dari 100 tahun teorema itu tidak tersentuh oleh siapapun. Berdasarkan sejarah yang ada sebenarnya 126

hasil karya Desargues sebenarnya memang tidak begitu dihargai oleh teman-temannya dan lingkungannya pada waktu itu. Hal ini menyebabkan Geometri Proyeksi menjadi tidak menarik atau tidak popular pada masanya. Berbeda sekali dengan geometri analitik pada awal 18. Banyak sekali matematikawan yang berminat untuk mempelajari geometri ini secara mendalam. Satu hal yang menjadi alasan utama mengapa hasil pikiran Desargues tidak diminati adalah karena geometri ini tidak ada kejelasannya. Bagaimana seseorang dapat menghargai suatu karya kalau karya tersebut susah untuk dimengerti. Sejarah mengaitkan ide-ide Desargues tidak popular dikalangan matematikawan karena pada waktu itu Desargues memfokuskan teorema proyeksi hanya untuk seniman dan pengrajin, dengan kata lain tidak ada kejelasan dalam hal matematika dan itu membuat para matematikawan menjadi tidak antusias pada idenya. Selain itu dalam ide-idenya, Desargues memakai istilah-istilah yang rumit untuk dimengerti oleh orang lain hal ini dapat dilihat pada Project Brouillon, salah satu hasil pekeraan Desargues. Walaupun diakui juga bahwa ide Desargues sangat brilliant tapi hal ini menunda kemajuan geomteri selama beberapa abad. Barulah pada abad ke 19 geometri proyeksi terlahir kembali sebagai hasil perkembangan dari cabang geometri non-Euclid. Dan ini mungkin ilmu yang lahir karena adanya suatu kebutuhan dimana pemikiran manusia sudah mulai maju. B.

Tokoh-tokoh dalam Geometri Proyektif Geometri proyektif

Page 127

1. Girard Desargues

Lahir pada tanggal 21 Februari 1591 di Lyon, Perancis dan meninggal pada bulan September 1661 di Lyon, Perancis. Desargues merupakan seorang matematikawan Perancis yang dianggap sebagai salah seorang pendiri geometri Proyektif. Pada saat di Paris, Desargues menjadi bagian dari kumpulan matematika Marin Mersenne (1588-1648). Dalam kumpulan ini juga termasuk Descartes (1597– 1650), Etienne Pascal (1588 – 1651) dan anaknya Blaise Pascal (1623 – 1662). Pada dasarnya kumpulin ini hanya dibaca oleh sahabat-sahabat mereka, namun Desargues telah mempersiapkan untuk mempublikasikan hasil kerjanya yang diterbitkan oleh Abraham Bosse (1602– 1676) yang kini dikenang sebagai pemahat terbaik tetapi juga sebagai seorang guru perspektif. Desargues menulis subjek “practical” seperti perspektif (1636), pemotongan kayu untuk digunakan dalam bangunan (1640) dan sundial (1640). Tulisannya memiliki isi dan teori yang padat dalam pendekatan mereka terhadap subjek yang bersangkutan. Desargues terkenal dengan 128

teorema Desarguesnya pada tahun 1636. Jelas bahwa, meskipun tekadnya untuk menjelaskan hal-hal ini dalam bahasa, dan tanpa referensi langsung ke teorema atau kosakata matematika Kuno, Desargues sangat menyadari pekerjaan geometers kuno, misalnya Apollonius dan Pappus. Dia memilih untuk menjelaskan dirinya sendiri berbeda, mungkin karena pengakuan bahwa karyanya sendiri juga sangat berhutang kepada tradisi praktis, khusus untuk studi perspektif (yang merupakan bentuk proyeksi kerucut). Tampaknya sangat mungkin bahwa itu sebenarnya dari karyanya pada perspektif dan hal-hal terkait bahwa ide-ide baru Desargues muncul. Ketika Error! Hyperlink reference not valid.Error! Hyperlink reference not valid.yang diciptakan kembali oleh murid Gaspard Monge (1746 -1818), penciptaan kembali berasal dari geometri deskriptif, suatu teknik yang memiliki banyak kesamaan dengan perspektif. 2.

Pappus of Alexandria

Pappus of Alexandria (Yunani c.290 – c.350) adalah salah seorang ahli matematika Yunani yang Geometri proyektif

Page 129

terkenal. Pappus lahir di Alexandria, Mesir sekitar 290 AD. Pappus terkenal denganbuku yang berjudul Synagoge atau Collection (c.340), dan teorema Pappus dalam geometri proyektif. Tidak banyak yang diketahui dari hidupnya kecuali dia mempunyai seorang anak laki-laki yang bernama Hermodorus sebagai guru di Alexandria (dari tulisan Pappus sendiri). Collection merupakan hasil karya Pappus yang sangat terkenal yang berisi ringkasan/ikhtisar matematika. The Collection diperkirakan ditulis pada sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325) yang terdiri dari 8 buku. Karakteristik dari Collection Pappus adalah mengandung cerita, susunan yang sistematis, dari hasil yang paling penting yang diperoleh dari pendahulunya, yang kedua, menjelaskan dan mengembagkan penemuan sebelumnya, excellent dan elegan. Buku I: berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak ditemukan. Buku II: sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan tentang metode menangani bilangan-bilangan besar. Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat, diketahui sampai pangkat 10000. Buku III: berisi masalah geometri, bidang dan ruang. Buku III dapat dibagi menjadi 5 bagian yaitu: (1) Masalah yang paling terkenal adalah menemukan perbandingan proposional antara dua garis lurus tertentu. Pappus memberikan beberapa solusi dari masalah ini, termasuk metode pembuatan aproksimasi untuk solusi tersebut, dia memberikan solusi sendiri dalam menemukan sisi kubus yang diberikan perbandingan tertentu telah diketahui. (2) Membahas konstruksi aritmatika, geometrik dan perbandingan 130

harmonik antara dua garis lurus, dan masalah mempresentasikan ketiganya ke dalam gambar yang sama secara geometri. (3) Berisikan kumpulan paradoks-paradoks geometrikal yang dikatakan oleh Pappus diambil dari karya Erycinus. (4) Berisikan lima bentuk polyhedra yang digambarkan dalam bentuk ruang. (5) Tambahan oleh penulis di kemudian hari menjadi solusi lain dari masalah pertama dari buku ini. Buku IV: judul dan kata pengantar telah hilang, sehingga program itu harus dikumpulkan dari buku itu sendiri. Pada awalnya adalah generalisasi yang terkenal dari Euclid, kemudian diikuti berbagai teorema lingkaran, yang mengarah pada masalah pembangunan sebuah lingkaran yang akan membatasi tiga lingkaran yang diberikan, menyentuh masing-masing dua lainnya. Hal Ini dan beberapa proposisi lainnya pada kontak, misalnya kasus lingkaran menyentuh satu sama lain dan tertulis dalam sosok yang terbuat dari tiga setengah lingkaran dan dikenal sebagai arbelos ("shoemakers knife") membentuk bagian pertama dari buku tersebut. Pappus ternyata kemudian mempertimbangkan sifat spiral Archimedes, para conchoid dari Nicomedes (sudah disebutkan dalam Buku I seperti penyediaan metode penggandaan kubus), dan kurva paling mungkin ditemukan oleh Hippias dari Elis sekitar 420 SM, dan dikenal dengan nama quadratrix. Proposisi 30 menjelaskan pembangunan kurva kelengkungan ganda disebut oleh Pappus helix pada bola, melainkan digambarkan oleh sebuah titik yang bergerak seragam di sepanjang busur lingkaran besar, yang itu sendiri ternyata sekitar diameter seragam, titik menggambarkan kuadran dan Geometri proyektif

Page 131

lingkaran besar sebuah revolusi lengkap dalam waktu yang sama. Luas permukaan termasuk antara kurva dan basis adalah ditemukan contoh pertama yang diketahui dari quadrature dari permukaan melengkung. Sisa buku ini memperlakukan dari tiga bagian dari sebuah sudut, dan solusi dari masalah yang lebih umum dari jenis yang sama dengan menggunakan quadratrix dan spiral. Dalam satu solusi dari masalah pertama adalah penggunaan tercatat pertama dari properti sebuah kerucut (hiperbola) dengan mengacu pada fokus dan direktriks. Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes dan kuadratrik dari Hippias. Terdapat tiga kategori problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”, “solid” dan “linear.” Setiap problem mempunyai penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang. Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang. Buku V: diawali dengan bagaimana lebah membangun sarangnya (bentuk segienam). Bahasan Pappus tentang hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti yang dinyatakan: lebah ternyata mengetahui bahwa bentuk segienam (heksagon) lebih besar daripada persegipanjang atau segitiga. Sarang lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu yang dibuat oleh lebah dengan menggunakan bahan yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin banyak sudut maka makin banyak mempunyai isi (makin besar) dan yang paling besar adalah lingkaran. Buku ini juga berisikan problem tentang isoperimeter, termasuk peragaan bahwa lingkaran mempunyai luas 132

lebih ...