Bahan AJAR Sruktur M7 - aljb PDF

Preview

Summary

BAHAN AJARBahan Kajian :HOMOMORFISMA, SKS : 3ISOMORFISMA DAN Kode: MAT 008AUTOMORFISMA GRUP Minggu ke: 7Program Studi : Pendidikan MatematikaFakultas : MIPALearning Outcomes (Capaian Pembelajaran ) Mata Kuliah terkaitKKNIMenguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuanMatematika tentang o...

Description

BAHAN AJAR

Bahan Kaj i an

: HOMOMORFISMA, ISOMORFISMA DAN AUTOMORFISMA GRUP Pr ogr am St udi :Pendi di kan Mat emat i ka Fakul t as :MI PA

SKS : 3 Kode: MAT 008 Minggu ke: 7

Learni ngOut comes( Capai anPembel aj ar an)Mat a Kul i ah t er kai tKKNI Menguasaimat er i ,s t r ukt ur ,konsep,danpol api ki rkei l muan Mat emat i kat ent angoper asibei ner ,gr updansi f at si f at nya,subgr up dansi f at si f at nya,Gr upsi kl i k,Gener at ordanSi f at si f at nya,Gr up Per mut asi ,si f at si f at nyadansubgr up,KosetdanTeor emaLagr ange, Homomor fisma,I somor fisma,danAut omor fismaGr up,Subgr up Nor maldanGr upFakt or ,Ri ngdansi f at si f at nya,subr i ngdansi f at si f at nya,daer ahi nt egr al ,daer ahi delut ama,Fi el ddanpol i nomi alr i ng, dansi f at si f at nya,homomor fismar i ng,ser t aI somor fismar i ng.

Sof t ski l l s/Kar akt er : Memi l i ki et os ker j a, empat i ,t anggung j awab, per caya di r i ,dan r asa bangga sebagaic al on gur u mat emat i ka Materi: 1. Homomorfis Grup 2. Isomorfis dari dua grup 3. Auromorfisma Grup

Definisi 1 Misal G dan G’ masing-maisng merupakan grup. Suatu homomorfisma

ϕ dari G ke G’

adalah sebuah pemetaan dari G ke G’ yang mengawetkan operasi; yaitu

ϕ (a.b) = ϕ (a).

ϕ (b) untuk semua a, b pada G.

Karena ada dua grup yang di kaitkan, maka terdapat juga dua model operasi biner. Untuk menjelaskan bagaimana operasi biner itu diawetkan, digunakan tabel operasi biner di G dan di G’. Tabel berikut menjelaskan bagaimana operasi pada grup diawetkan oleh sebuah homomorfisma.

Tabel 1 Operasi pada G ● ● + +

Operasi pada G’ ● + ● +

Operasi yang diawetkan ϕ (a●b) = ϕ (a)● ϕ (b) ϕ (a●b) = ϕ (a)+ ϕ (b) ϕ (a+b) = ϕ (a) ● ϕ (b) ϕ (a+b) = ϕ (a)+ ϕ (b)

Gambar berikut menjelaskan bagaimana pengaitan itu terjadi serta bagaimana bentuk pengawetan operasi grup.

Pembahasan selanjutnya adalah kernel atau inti dari homomorfisma.

Definisi 2 Inti (kernel) dari sebuah homomorfisma elemen identitas e’ adalah himpunan

ϕ dari grup G ke grup G’ yang mempunyai

{ g ∈G|ϕ( g )=e ' } . Inti dari homomorfisma ini

dilambangkan dengan ker ϕ .

Contoh 1 Misal R* menyatakan himpunan bilangan real yang tidak memuat elemen nol merupakan grup terhadap operasi perkalian. Suatu pemetaan

ϕ dari R* ke R* yang didefinisikan

dengan ϕ( x )=|x| . Apakah ϕ suatu homomorfisma grup? Jawab: Pertama tunjukkan bahwa ϕ sebuah pemetaan. Pengaitan

ϕ jelas menunjukkan sebuah pemetaan, sebab untuk x1 , x2

x1 = x2, maka

ϕ( x 1 )=|x 1|=| x 2|=ϕ(x 2 ) .

∈

R* dimana

Kedua tunjukkan ϕ sebuah homomorfisma grup. ∈ R* sebarang.

Untuk itu, ambil x1 , x2

Maka ϕ( x 1 . x 2) =|x 1 . x 2| =

|x 1|| x2|

= ϕ( x 1 ) .ϕ( x 2 )

∈ R* sebarang mengakibatkan

Karena xi , x2

ϕ( x 1 . x 2 )

=

ϕ( x 1 ) .ϕ( x 2 ) , maka dapat

dikatakan bahwa ϕ suatu homomorfisma dari R* ke R*.

Contoh 2. Misal GL(2, R) merupakan grup matriks 2x2 dengan entri-entri bilangan riil dan determinan ≠ 0 terhadap operasiperkalian matriks. R* merupakan grup bilangan riil yang tidak memuat elemen nol terhadap operasi perkalian. Suatu pengaitan didefinisikan dengan

ϕ dari GL(2, R) ke R* yang

ϕ (A) = det (A).

Apakah ϕ sebuah homomorfisma grup? Pertama tunjukkan bahwa ϕ sebuah pemetaan. Pengaitan

ϕ jelas menunjukkan sebuah pemetaan, sebab untuk A1 , A2

∈

GL(2, R)

ϕ( A1 ) =det ( A 1 )=det ( A 2)=ϕ( A 2 ) .

dimana A1 = A2, maka

Kedua tunjukkan ϕ sebuah homomorfisma grup. ∈

Untuk itu, ambil A1 , A2

GL(2, R) sebarang.

Maka ϕ( A1 A 2 )= det ( A1 A 2 ) =

Karena A1 , A2

∈

A1 ¿ A2 det ¿

= ϕ( A1 ) . ϕ( A2 ) ϕ( A1 A 2 ) =

GL(2, R) sebarang mengakibatkan

maka dapat dikatakan bahwa

ϕ suatu homomorfisma dari ∈

ϕ( A1 ) . ϕ( A2 ) ,

GL(2, R) ke R*.

Contoh 3 Misal R merupakan grup bilangan riil terhadap operasi penjumlahan. Suatu pengaitan dari R ke R yang didefinisikan dengan

2 ϕ( x )=x . Apakah

ϕ sebuah homomorfisma

grup? Jawab: ϕ bukan sebuah homomorfisma grup, sebab untuk x1 , x2 2

2 1

ϕ( x 1+ x2 ) =( x 1+ x 2 ) =x +2 x1 x 2+ x Sementara itu

2 2

.

ϕ( x 1 )+ϕ( x 2 )=x 1 2+ x22 .

Secara umum jelas bahwa ϕ( x 1+ x2 ) ≠ ϕ( x 1 )+ϕ( x 2) .

∈

ϕ

R, diperoleh

ϕ tidak mengawetkan operasi pada R.

Artinya

Contoh 4 Misal R* menyatakan himpunan bilangan real yang tidak memuat elemen nol merupakan grup terhadap operasi perkalian. Suatu pemetaan

ϕ dari R* ke R* yang didefinisikan

dengan ϕ( x )=x 3 . Apakah ϕ suatu homomorfisma grup?

Jawab: Pertama tunjukkan bahwa ϕ sebuah pemetaan. Pengaitan

ϕ jelas menunjukkan sebuah pemetaan, sebab untuk x1 , x2

x1 = x2, maka

∈

R* dimana

ϕ( x 1 )=x 1 3=x 23=ϕ( x 2 ) .

Kedua tunjukkan ϕ sebuah homomorfisma grup. ∈ R* sebarang.

Untuk itu, ambil x1 , x2

3 3 3 Maka ϕ( x 1 . x 2) = ( x 1 . x 2 ) = ( x 1 ) ( x 2 )

Karena xi , x2

= ϕ( x 1 ) .ϕ( x 2 )

∈ R* sebarang mengakibatkan

ϕ( x 1 . x 2 ) =

ϕ( x 1 ) .ϕ( x 2 ) , maka dapat

dikatakan bahwa ϕ suatu homomorfisma dari R* ke R*.

Teorema 1 Misal ϕ sebuah homomorfisma dari grup G ke G’, dan 1.

g ∈G

ϕ memetakan elemen identitas pada G ke elemen identitas pada G’. Artinya jika e

dan e’ masing-masing elemen identitas pada G dan G’, maka 2.

sebarang. Maka ϕ( e )=e ' .

ϕ( gn )= (ϕ(g) ) untuk setiap n ∈ Z n

3. Jika |g| berhingga, maka

ϕ | merupakan faktor dari |g| . |(g)

4. Ker ϕ merupakan subgrup dari G. 5.

ϕ( g1 )=ϕ(g2 )

6. Jika (g) ϕ

=

jika dan hanya jika g ' , maka

g1 .ker ϕ = g2 .ker ϕ .

−1 ϕ ( g' )= { x ∈ G|ϕ( x )= g ' } = g . ker ϕ .

Bukti: 1. Misal e ∈ G , maka e = e.e Karena

ϕ sebuah homomorfisma, maka

Jelas bahwa ϕ( e )

( e ) (e) .ϕ ϕ( e )=ϕ( e . e ) =ϕ

.

∈G ' .

Karena G’ sebuah grup, maka ada e’ ∈G ' sedemikian sehingga

ϕ( e ) =e ' . ϕ( e) .

= e ' . ϕ( e ) .

Akibatnya diperoleh ( ϕ e ) (e) .ϕ

Dengan hukum penghapusan pada G’, diperoleh ϕ( e )=e '

2. Pembuktiannya kita pilah menjadi dua bagian, yaitu untuk n bilangan positif dan n bilangan negatif. 

Untuk n bilangan positif kita tunjukkan dengan induksi matematika. 1 Untuk n = 1 jelas bahwa ϕ( g1 ) . ϕ( g )=((g) ϕ ) .

Misalkan berlaku untuk n = k. Artinya ϕ( gk )= (ϕ(g) ) . k

Akan dibuktikan berlaku untuk n = k + 1. n k k k +1 ( ϕ )k . ϕ( g ) ϕ( g )=ϕ( g )=ϕ( g . g )=ϕ( g ) . ϕ( g )=(g)

= (g) (ϕ ) ¿(g) (ϕ 

k+1

n

)

Untuk n bilangan negatif, maka –n merupakanbilangan positif. Perhatikan bahwa e = gn g−n Oleh sebab itu dari sifat 1, diperoleh n

g ¿ g ¿

e’ =

( gn ) .(g) (ϕ ) .(¿−n¿)=ϕ ϕ n −n ϕ(e )=ϕ( g . g )=ϕ ¿

−n

( ϕ ) n , didapatkan Dengan mengalikan kedua ruas dengan (g) n

(g) ( ϕ ) =e ' (g) (ϕ

−n n n n ) e' =ϕ( g ). (g) ( ϕ ) .(g) ( ϕ ) =ϕ( g ) . n

Berdasarkan kedua hal di atas, dapat disimpulkan bahwa ϕ( gn )= (ϕ(g) ) untuk setiap n ∈ Z n

3. Karena

|g|

berhingga, maka ada suatu bilangan bulat n sedemikian sehingga

gn= e . n Akibatnya e’ = ϕ( e )=ϕ( g n ) =( ϕ(g) ) .

Karena e’ merupakan elemen identitas pada G’, maka berdasarkan sifat sebelumnya diperoleh bahwa |(g) ϕ

| merupakan faktor dari n = |g| .

4. Akan kita buktikan dengan menggunakan teorema subgrup 

Jelas bahwa dari sifat 1 diperoleh Ker



Misal

g1 ,

g2

∈ ker ϕ

ϕ bukan himpunan kosong. sebarang. Akan ditunjukkan

−1

g1 . g2

∈ ker ϕ . g1

∈ ker ϕ , maka g1

∈G

sedemikian sehingga

ϕ( g1 )=e ' .

g2

∈ ker ϕ , maka g2

∈G

sedemikian sehingga

ϕ( g2 )=e ' .

g1 ¿ −1 g2 g1 ¿ Selanjutnya (g ϕ2) .(¿) ¿ −1 ϕ( g1 . g 2 ) =ϕ ¿

= e’.e’-1 = e’

Karena ϕ( g1 . g−1 2 ) =e ' , maka

−1

g1 . g2

∈ ker ϕ .

Oleh sebab itu Ker ϕ merupakan subgrup dari G

5. Untuk membuktikan sifat 5 ini, pertama asumsikan bahwa (g ϕ2) ¿ Jika kedua ruas dikalikan dengan ¿ ¿

ϕ( g1 )=ϕ(g2 ) .

, maka

(g ϕ2) ¿ ¿ (g ϕ2) . ¿ ¿ −1 ϕ( g2 . g 1 )=¿ Oleh sebab itu

( g2−1 . g 1)

∈ ker ϕ .

Berdasarkan lemma pada koset, .ker ϕ =

(g2 −1 . g 1)

∈ ker ϕ jika dan hanya jika

g1

g2 .ker ϕ .

6. Akan dibuktikan dua arah 

Misal

−1

x ∈ ϕ (g ' )

sebarang. Artinya x

ϕ( x )=g ' . Pada hal diketahui (g) ϕ

=

g' .

∈

G sedemikian sehingga

Maka ϕ( x ) =ϕ( g ) . Dari sifat 5, diperoleh g .ker ϕ = x . ker Oleh sebab itu x ∈ Karena



Misal k ∈

Pada hal

g .ker ϕ .

−1 x ∈ ϕ (g ' )

' −1 ϕ ( g ) ⊆ g .ker

ϕ.

mengakibatkan

x

∈

g .ker

ϕ , maka

ϕ.

ker ϕ sebarang. Maka

ϕ( k )=e ' .

g ¿ k ϕ( g . k )=ϕ ¿

Akibatnya gk ∈ ϕ−1 ( g' ) . Pada hal sebelumnya g . k ∈ g .ker Jadi g .ker ϕ

⊆

ϕ , karena k ∈

ker ϕ .

' −1 ϕ ( g) .

Dari kedua hal di atas, dapat disimpulkan bahwa

−1 ϕ ( g' ) =g .ker

ϕ.

Teorema 2 Misal

ϕ sebuah homomorfisma dari grup G ke G’, dan H merupakan subgrup dari G

sebarang. Maka: 1.

(H ϕ)

{ϕ = (h)

|h∈ H } merupakan subgrup dari G’.

2. Jika H subgrup siklis, maka demikian juga halnya dengan (H ϕ)

.

3. Jika H subgrup komutatif, maka demikian juga halnya dengan (H ϕ)

.

4. Jika |ker ϕ ϕ | = n, maka ϕ merupakan pemetaan n ke 1 dari G pada (G) 5. Jika |H | = n, maka

.

|ϕ(H )| merupakan faktor dari n.

−1 6. Jika K’ merupakan subgrup dari G’, maka ϕ ( K ' )= { k ∈G|ϕ(k ) ∈ K ' }

merupakan

subgrup dari G.

Definisi 3 Isomorfisma merupakan homomorfisma

ϕ dari suatu grup G ke grup G’ yang bersifat

satu-satu dan pada. Jika ada sebuah isomorfisma dari G pada G’, maka dikatakan bahwa grup G dan G’ isomorfik dan ditulis dengan G ≈ G’.

Untuk menunjukkan dua grup G dan G’ isomorfik, ada empat langkah yang harus kita lakukan. Keempat langkah tersebut adalah: ϕ dari G ke G’ merupakan sebuah pemetaan (fungsi).

1. Tunjukkan bahwa pengaitan 2. Tunjukkan bahwa fungsi (g2 ) bahwa ϕ( g1 )=ϕ

'

terdapat

= g2 .

ϕ merupakan fungsi pada (onto), yaitu untuk sebarang

g ∈G sedemikian sehingga

4. Tunjukkan bahwa fungsi ϕ( g1 . g 2) =

tersebut adalah fungsi satu – satu, yaitu asumsikan

dan buktikan bahwa g1

3. Tunjukkan bahwa fungsi g ∈ G'

ϕ

ϕ( g1 ) . ϕ( g2 )

ϕ

ϕ( g )=g ' .

mengawetkan operasi, yaitu tunjukkan bahwa

untuk sebarang g1 . g2

∈G .

Jika kita perhatikan, isomorfisma merupakan homomorfisma yang bersifat satu-satu dan pada.

Contoh 4 Misal G grup bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan G’ merupakan grup bilangan riil positif terhadap operasi perkalian. Suatu pengaitan

ϕ dari G ke G’ yang didefinisikan

dengan ϕ( x )=2 x . Apakah ϕ suatu isimorfisma? Jawab:  Misal x1, x2

∈G sedemikian sehingga x1 = x2.

x x Maka ϕ( x 1 )=2 =2 =ϕ( x2 ) . Di lian pihak 2x >0 dan 2 x >0 1

2

1

2

x Jadi ϕ( x 1 ) =2 sebuah pemetaan dari G ke G’.

∈G sedemikian sehingga ϕ( x 1 )

 Misal x1, x2

= ϕ( x 2 ) .

Akan ditunjukkan x1 = x2 Karena ϕ( x 1 ) = ϕ( x 2 ) , maka

2x =2 x . 1

2

Jika kedua ruas di log kan dengan bilangan dasar 2, akan diperoleh: x x x 1=log2 ( 2 )=log2 ( 2 )= x 2 . 1

2

x Jadi ϕ( x 1 ) =2 merupakan sebuah pemetaan satu-satu.

 Misal y ∈G '

sebarang. Pilih x =

log2 y .

Maka ϕ( x )=2 x =2log y = y 2

Jadi untuk setiap y Jadi ϕ( x 1 ) =2

x

∈G ' , ada x = log2 y sedemikian sehingga ϕ( x )= y ,

merupakan pemetaan pada.

 Selanjutnya misal x1, x2

∈G .

x 1. x 2 =2 x1 . 2x 2=ϕ( x 1 ). ϕ(x2 ) ϕ( x 1 . x 2 )=2

Jelas bahwa ϕ mengawetkan operasi pada grup. Dari ke empat hal di atas, dapat disimpulkan bahwa

ϕ adalahh sebuah isomorfisma.

Teorema 3 Setiap grup isomorfik dengan sebuah grup permutasi

Teorema 4 Perhatikan bahwa ϕ sebuah isomorfisma dari grup G pada G’. Maka:

⟨ ϕ(g)⟩ . |ϕ | . 2. Untuk setiap elemen pada G berlaku |g|=(g)

1. Grup G = ⟨ g ⟩ jika dan hanya jika G’ =

Definsi 4 Sebuah isomorfisma dari suatu grup ke dirinya sendiri dinamakan dengan automorfisma.

Contoh 5 Fungsi

ϕ dari grup bilangan kompleks C ke C yang didefinisikan dengan (a+bi ϕ )

=

(a – bi) merupakan sebuah automorfisma terhadap operasi penjumlahan .

Definisi 5 Misal G merupakan sebuah grup dan misal x ∈G

g ∈G . Fungsi

ϕg ( x )=gx g

dinamakan dengan inner automorfisma yang diinduksi oleh

−1

untuk semua

g ∈G .

Teorema 5 Himpunan semua automorfisma dari sebuah grup membentuk sebuah grup terhadap operasi komposisi fungsi dan himpunan semua innerautomorfisma dari sebuah grup.

Latihan 1.

Misal G merupakan grup semua suku banyak dengan koefisen bilangan riil terhadap operasi penjumlahan. G’ merupakan grup anti turunan yang melalui titik asal (0,0). Tunjukkan bahwa pengaitan

ϕ( f ( x )) ⟹∫ f ( x )dx

sebuah homomorfisma.

2.

Jika

ϕ sebuah homomorfisma dari G ke H dan σ homomorfisma dari H ke K.

Tunjukkan bahwa σ ϕ sebuah homomorfisma dari G ke K. 3.

ϕ sebuah homomorfisma dari U(30) ke U(30) dan diketahui ker

Perhatikan bahwa

ϕ( 7 )=7 , tentukan elemen-elemen yang lain dari U(30) yang

ϕ = {1, 11}. Jika dipetakan ke 7. 4.

Tentukanlah sebuah homomorfisma dari U(40) ke U(40) dengan ker ϕ = {1, 9, 17, 33} serta ϕ( 11) =11 .

5.

Ada berapa banyak homomorfisma dari Z20 ke Z10?

6.

Periksa apakah U(20) ke U(24) isomorfik?

7.

Misal G= { a+b √ 2|a , b bilangan raisonal} dan

{[

]|

}

G ' = a −b a , b bilanganraisonal b a

.

Tunjukkan bahwa G dan G’ isomorfik dibawah operasi penjumlahan.

Kriteria/Teknik Penilaiaan 1. Pemahaman Materi 2. Kreativitas 3. Kedisiplinan dalam menyerahkan tugas

RUBRI K PENI LAI AN Kr i t er i a/Tekni kPeni l ai an:1.Peni l ai anTugas Sangat Memuaskan Pemahaman Dapat menyelesaikan Materi semua soal Bahan dengan benar Kajian Dimensi

Memuaskan

Batas

Dapat menyelesaikan semua soal dengan benar, tetapi masih terdapat kekeliruan

Hanya dapat menyelesaikan sebagain besar dari soal yang diberikan dengan benar

Kurang Memuaskan Hanya dapat menyelesaikan 50% dari tugas yang diberikan

Di bawah Standar Hanyak dapat menyelesaika n sebagain kecil dari tugas yang diberikan

Kurang Memuaskan Tidak lengkap dalam membuat

Di bawah Standar Hanya mengerjakan tugas beberapa

Skor 0 – 100

Kr i t er i a/Tekni kPeni l ai an:2.Kr eat i vi t as Dimensi Kreativitas mahasiswa dalam

Sangat Memuaskan Menunjukkan indikator krativitas seperti, kebaruan,

Memuas kan Tidak menunju kkan

Batas Dapat menyelesaikan semua soal

Skor 5-1

menjawab soal latihan

kelancaran, keterincian,

indikator kreativita s secara lengkap

dengan cara yang biasa seperti yang dicontohkan

tugas

soal saja, bahkan tidak mengumpulka nnya

Kr i t er i a/Tekni kPeni l ai an:3.Kedisiplinan dalam menyerahkan tugas Dimensi Kedisiplina n

Sangat Memuaskan Mahasiswa menyerahkan tugas dengan lengkap tepat pada waktunya

Memuask an Mahasiswa menyerahk an tugas tepat pada waktunya tetapi kurang lengkap

Batas Mahasiswa menyerahka n tugas dengan lengkap tetapi tidak pada waktunya

Kurang Memuaskan Mahasiswa menyerahkan tugas tidak lengkap tetapi juga tidak tepat pada waktunya

Di bawah Standar Mahasiswa tidak menyerahkan tugas

Skor 5-1...