Bases Ortonormales PDF

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Unidad 2 bases ortonormales...

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BASES ORTONORMALES Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.

Recuérdese que dos vectores u y v en

son ortogonales si y sólo si u · v = 0.

Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto: u·v , u·w , v·w Ejemplo 1. Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal? Al realizar los productos punto u·v=0 , u·w=0 , v·w=0 nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.

Un conjunto de n vectores en es una base ortogonal si:  El conjunto es base de y  Es un conjunto ortogonal. Ejemplo 2. Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar si son una base ortogonal de . Son 3 vectores en

, se forma la matriz

cuyo determinante detA = –24 (diferente de cero) , lo que implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de . Realizamos los productos punto y obtenemos que u · v = 0,

u·w=0

y

v·w=0

por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.

Un conjunto de n vectores en es una base ortonormal si:  El conjunto es base de  Es un conjunto ortogonal y  Sus vectores son unitarios

Ejemplo 3. En el ejemplo 2 se determinó que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal, esto es, hay que calcular sus magnitudes.

Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base ortonormal. Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma dirección de un vector dado, dividiéndolo entre su magnitud: Vector unitario = Se dice que el nuevo vector está normalizado. Ejemplo 4. Al normalizar los vectores de la base ortogonal de los ejemplos 2 y 3 ,

u’ =

v’ =

w‘= se obtiene una nueva base ortonormal. Ejemplo 5. Sean los vectores ortonormal en

. ¿ Forman estos vectores una base ?

Son tres vectores en , y la matriz que obtenemos al poner los vectores como columnas es la matriz identidad, cuyo determinante vale 1. Esto implica que los vectores forman una base en

.

Los productos punto son todos cero. unitarios, por lo que la base es ortonormal. A esta base de se le conoce como la base canónica.

Y los tres son vectores

Proceso de ortonormalización de Gram - Schmidt Es posible transformar cualquier base en (no ortogonal y, por lo tanto, no ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt. Este método fue desarrollado por Jorgen Gram (1850-1916), actuario danés, y Erhardt Schmidt (1876-1959), matemático alemán. Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones ( vectores unitarios), así como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales. Consideremos el proceso para n = 3. Sean los vectores , partir de estos vectores. Primer paso.

y

una base de

. Obtendremos una base ortonormal a

Obtener un primer vector unitario

:

Segundo paso. Obtener un vector

ortogonal a

:

Tercer paso. Normalizar

:

Cuarto paso. Obtener un vector

ortogonal a

y a

:

Quinto paso. Normalizar

:

Ejemplo 5. Considere los vectores = (1, 0, 1), = (0, 1, 1) y = (1, 0, 0) base de . Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt.

Primer paso. Obtener un primer vector unitario

:

Segundo paso. Obtener un vector

ortogonal a

:

Tercer paso. Normalizar

:

Cuarto paso. Obtener un vector

ortogonal a

y a

:

Quinto paso. Normalizar

:

Finalmente, el conjunto de vectores

,

, y

es una base ortonormal de

....