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Mantelbogen ,Prüfungsleistung 06 / 20 , MT 1 , BB© 2020 HFH  Hamburger Fern-Hochschule GmbH BB00-MT1-PK1-Name, VornameMatrikel-Nr.StudienzentrumStudiengang BetriebswirtschaftModul Mathematik 1Art der Leistung PrüfungsleistungKlausur-Kennzeichen BB00-MT1-PK1-Datum 27.Ausgegebene Arbeitsbögen _______...

Description

Name, Vorname Matrikel-Nr. Studienzentrum Studiengang

Betriebswirtschaft

Modul

Mathematik 1

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur-Kennzeichen

BB00-MT1-PK1-200627

Datum

27.06.2020

Ausgegebene Arbeitsbögen _______

Abgegebene Arbeitsbögen _______

Ausgegebene Arbeitsblätter _______

Abgegebene Arbeitsblätter _______

_________________________________________

_________________________________________

Ort, Datum

Ort, Datum

_________________________________________

_________________________________________

Name in Druckbuchstaben und Unterschrift Aufsichtführende(r)

Prüfungskandidat(in)

1

2

3

4

5

6



15

10

25

15

10

25

100

Aufgabe

Bewertung

max. Punktezahl

Note

Prüfer ggf. Gutachter 1

_________________________________________

__________________________________________

Prüfer (Name in Druckbuchstaben)

Datum, Unterschrift

_________________________________________

__________________________________________

ggf. Gutachter (Name in Druckbuchstaben)

Datum, Unterschrift

––––––––––– 1

ggf. Gutachten im Rahmen eines Widerspruchsverfahrens

Mantelbogen, Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Mantelbogen, Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Anmerkungen Prüfer:

________________________________ Datum, Unterschrift

Anmerkungen Gutachter:

________________________________ Datum, Unterschrift

Sonstige Anmerkungen:

________________________________ Datum, Unterschrift

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Seite 4

Studiengang

Betriebswirtschaft

Modul

Mathematik 1

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur-Kennzeichen

BB00-MT1-PK1-200627

Datum

27.06.2020

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:  Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.  Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.  Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Prüfer zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen (kein Bleistift). Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.  Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.  Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet. Bearbeitungszeit:

100 Minuten

Hilfsmittel:

Anzahl Aufgaben:

–6–

Höchstpunktzahl:

– 100 –

Taschenrechner, Formelsammlung Mathematik

Aufgabe max. Punktezahl

1

2

3

4

5

6



15

10

25

15

10

25

100

Viel Erfolg!

Klausuraufgaben , Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Aufgabe 1

15 Punkte

Bestimmen Sie die Lösungen für die folgenden Gleichungen: 1.1

2 x  4  3 x 1 ;

D  {x  ℝ | x  1}

1.2

3x  4 2x 1 ;  x x 1

x  ℝ\{0; 1}

1.3

3  5104x 5  252 x ;

x ℝ

5 5

5

Geben Sie die Lösung mit 4 Nachkommastellen an.

Aufgabe 2

10 Punkte

Bestimmen Sie das allgemeine Bildungsgesetz der folgenden Zahlenfolgen:

2.1

1; 6; 11; 16; 21; …

5

2.2

4; 6; 9; 13,5; 20,25; …

5

Aufgabe 3 3.1

25 Punkte

Der Graph eines Polynoms 2. Ordnung schneidet die x-Achse bei x1  –3 und x2  1 . Bei x  0 ist der Funktionswert f (0)  12 .

13

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms in der Form f ( x)  ax2  bx  c .

3.2

Die nachfolgende Wertetabelle enthält die Zuordnung von Funktionswerten y(x) zu x-Werten für die Exponentialfunktion y (x )  a  b x

12

mit a, b  ℝ, b  0, b  1

i

1

2

3

4

xi

0

2

4

6

yi

2

18

162

1458

Bestimmen Sie die zu dieser Zuordnung gehörende Funktionsgleichung.

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Aufgabe 4

15 Punkte

Bestimmen Sie jeweils die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: 2

4.1

f ( x )  x  ln x  e

4.2

f (x ) 

x

10

1 ln x

5

Aufgabe 5

10 Punkte

5.1

1 2x x e  2 e ; x  ℝ. 4 Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f (x).

3

5.2

Ermitteln Sie die Koordinaten des Extrempunktes. Welche Art von Extremum liegt vor?

7

Gegeben ist die Funktion f (x ) 

Aufgabe 6

25 Punkte

Für ein Produkt P sind bekannt: 

die Preis-Absatzfunktion (Nachfragefunktion) x  120 



die Gesamtkostenfunktion K ( x) 

4 p und 3

1 2 x  10x  900 4

( p  0 Preis; x  0 abgesetzte Menge).

6.1

Berechnen Sie diejenige Stückzahl, bei der minimale Stückkosten k (x) entstehen.

10

6.2

Bestimmen Sie für das Produkt P die Gewinnschwellen der Gewinnfunktion G(x) .

15

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Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Mathematik 1 am 27.06.2020 Betriebswirtschaft BB00-MT1-PK1-200627 Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

 Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

 Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

 Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

 Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

 Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren roten Schrift vor.  Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie bitte in den Klausur-Mantelbogen ein. Unterzeichnen Sie bitte Ihre Notenfestlegung auf dem Mantelbogen.

 Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung das folgende Notenschema zu Grunde zu legen: Punktzahl

Note

von 95

bis einschl. 100

1,0

sehr gut

90 85 80 75 70 65 60 55 50 0

94,5 89,5 84,5 79,5 74,5 69,5 64,5 59,5 54,5 49,5

1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

sehr gut gut gut gut befriedigend befriedigend befriedigend ausreichend ausreichend nicht ausreichend

 Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

15. Juli 2020 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / 35094-318 bzw. [email protected]).

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/20, MT1, BB

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Bitte beachten Sie: Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Aufgabe zu vergeben sind.

Lösung 1 1.1

vgl. SB 1: Kap. 1; FS 4 und 7 ( )2

2 x  4  3 x 1 ; 4 ( x  4)  9 ( x  1)

15 Punkte

D  { x  R | x  1}

(2)

4 x  16  9 x  9  5x   25 x  5 (3)

1.2

5

3 x  4 2x  1 ; x  R \ {0; 1}  x x 1 3 x  4 2x 1  0  x x 1 (3x  4)(x  1)  2x 2  x (x  1)  0 (2) x (x  1)

Hauptnenner

 x( x  1)

2 2 2 3x  3x  4x  4  2x  x  x  0 (2)

6x  4  0

x 1.3

2 3

(1)

5

3  5104 x 5  25 2 x ; x  R

5104 x 5 25 2 x



5104 x 5 54 x



1 (1) 3

1 x  x x 5 104 5 4  5100 5  3

log 5 (1)

100x  5   log5 3 (1)

 x

log10 3 5 log10 5 (1) 100

x  0, 0432 (1) (vier Nachkommastellen, gerundet)

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Lösung 2 2.1

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vgl. SB 1: Kap. 2.2; FS 6

10 Punkte

Differenzbildung zweier aufeinander folgender Glieder: a n1  a n  d  konstant, ist eine arithmetischer Folge (FS 6.2): a2  a1  6  1  5; a3  a2  11  6  5; a4  a3  16  11  5; a5  a4  21  16  5

d = 5 (3) Also: Arithmetische Folge mit a 1  1 und d  5 Bildungsgesetz: an  a1  ( n  1)  d an  1  ( n  1)  5

2.2

(2)

5

Zahlenfolge mit dem Quotienten

a q  n 1  konstant (für n  N ), ist eine geometrische Folge (FS 6.3). an n  1:

q

3 2

a a a a2 6 3 20,25 3 13,5 3 9 3   ; n  2 : 3   ; n  3: 4   ; n4: 5   a 4 13,5 2 9 2 a3 a2 6 2 a1 4 2 (3)

 3 Also: geometrische Folge mit a 1  4 und q =    2 Bildungsgesetz: a n  a1 q n1 3  an  4    2 

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n 1

(2)

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Lösung 3 3.1

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vgl. SB 4: Kap. 3.1, 3.2, 3.5; FS 16.8

25 Punkte

Funktionsgleichung des Polynoms 2. Ordnung Gegeben sind die Punkte P1  ( –3 ; 0) , P2  (1 , 0) , P3  (0 ; – 12) (3). Einsetzen in f ( x)  ax2  bx  c liefert: I 9a - 3 b + c II a + b + c c

= 0 = 0 = - 12 (2) | Einsetzen von c = - 12 in I und II

9 a - 3b = a + b =

I II

12 12

| (-9)  II

9 a - 3 b = 12 - 9a - 9b = - 108 | I + II

I II

-12 b = -96 b = 8 (5) | Einsetzen von b = 8 in II a + 8 = 12 a = 4

(2)

Damit ist die Funktionsgleichung: f ( x)  4 x 2  8 x – 12 (1) 3.2

Exponentialfunktion y  ab x ;

13

( a , b  ℝ, b  0, b  1 )

Die Berechnung der Parameter a und b kann durch Verhältnisbildung erfolgen, z. B.: y ( x1) y , kurz 1 , mit y1  ab x1 und y 2  ab x2 y ( x 2) y2 x

x

y1 ab 1 b 1   (2) y2 ab x2 b x 2 y1  b ( x1 x 2) y2

(2)

2 1 0 2 b  2 18 b

(2)

b2  9 unter Berücksichtigung, dass b > 0 folgt (1) b  3 (1) Durch Einsetzen von b  3 in die Funktionsgleichung lässt sich a berechnen: y1  ab x1 0

2  a3 a2

(2) (1)

Somit lautet die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion: y x  2  3x ; x  R

(1)

12

Der Berechnung kann auch mit anderen Wertepaaren xi , yi durchgeführt werden.

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Lösung 4 4.1

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vgl. SB 5: Kap. 2

15 Punkte

siehe Beispiel 2.4) 2 x f (x )  x  ln x  e , zweifache Anwendung der Produktregel

f ( x)  g( x)  h( x)  g( x)  h( x) 2

1 2

g ( x)  x ; g  ( x )  2 x h x   ln x  e x ; Anwendung der Produktregel auf h(x)

g1 ( x)  ln x ; g1 ( x)  x

h1 ( x )  e ; h1 ( x )  e h x 

1 x

2

x

1

1 x 1  e  ln x ex  ex (  ln x ) x x

x 2 x 1 x f  (x )  2x  ln x  e  x  e (  ln x )  x e (2 ln x  1  x ln x ) x

4.2

2 2

siehe Beispiel 2.5 b)

f ( x)  f  (x ) 

1 , Anwendung der Quotientenregel ln x g ( x)  h( x)  g ( x)  h ( x) 1

h( x) 2

g( x)  1 ; g (x )  0 h ( x )  ln x ; h ( x) 

1 1

1 x

1 1 x f (x )   2 ln x x ln 2 x 0  1

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2

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Lösung 5

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vgl. SB 5: Kap. 3.3

10 Punkte

Nullstelle und Extremum der Funktion: f (x )  5.1

1 2x x e  2e ; x  ℝ 4

Nullstelle: 1 2x x e  2e  0 4

4 und Ausklammern von e

e x (e x  8)  0

Nullprodukt, e x  0

x

x

5.2

1

e 8  0

1

x  ln 8  3 ln 2

1

Extremum: notwendige Bedingung : hinreichende Bedingung :

f ( x) 

f (xE )  0 f ( x E )  0 Maximum f ( x E)  0 Minimum

1 2x e  2e x Kettenregel, Summenregel 2

f ( x )  e 2x  2ex _________________________________________ 1 2x x x f ( xE )  e  2e  0  2; e ausklammern 2 e x ( e x  4)  0

2 ln 4



1

1

Nullprodukt , e x  0

xE  ln 4  2 ln 2 f ( xE )  e

1

1

 2eln 4  16  8  8  0

Bei x E = 2 ln 2 ist ein Tiefpunkt.

1

Koordinaten des Extrempunkts: 1 2 ln 4 e  2eln 4  4  8  4 4 PTief  (ln 4;  4) ; bzw. PTief  (2 ln 2;  4) f ( xE )  f (ln 4) 

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1 1

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Lösung 6 6.1

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SB 5: Kap. 3.3; FS 16.13

25 Punkte

Stückkostenfunktion:

k( x) 

K ( x) x 1

k( x) 

4

x2  10 x 900 

x

1 4

x  10 

900 x

3

Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind k  ( x)  0 und k  (x )  0 . k ( x)  0

1 900  4 x2

1 900  4 x2

2 1 2 x  900  4



x 2  3600

x   3600  60 Stück.

k (x ) 

1800

1

x3

k (60)  0

6.2

3



Minimum

1

Die Gewinnfunktion G(x) bestimmt sich zu: G( x)  E( x)  K ( x) , mit der Erlösfunktion E ( x)  x  p( x) .

1

p(x ) ist die Umkehrfunktion von x ( p) :

4 x  120  p 3 4 p  120  x 3 p  90 

3 x 4

5

Damit ist 3  3 2  E (x )  x   90  x   90 x  x 4  4  G ( x )  E ( x )  K ( x )  90x 

3 2 1 2  x   x  10x  900    x 2  100x  900 4  4

2

3

Gewinnschwellen sind die (positiven) Nullstellen von G(x) : x2  100 x  900  0

1

x1, 2  50  502  900 x1  90 Stück; x2  10 Stück.

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