BB00 MT1 PK1 2009 26 - MT1 Übungs- und Prüfungsaufgaben aus dem Jahr 2020/ 21. PDF

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MT1-PK1- 200926 – Mantelbogen © 2020 HFH ∙ Hamburger Fern-Hochschule GmbH Seite 1Name, VornameMatrikel-Nr.Studiengang BetriebswirtschaftPrüfungsortPrüfung PrüfungsleistungModul Mathematik 1Klausurkennzeichen BB 00 -MT1-PK1- 200926Datum 26 .09 20Ausgegebene Arbeitsbögen ____ Abgegebene Arbeitsbögen _...

Description

Name, Vorname Matrikel-Nr. Betriebswirtschaft

Studiengang Prüfungsort Prüfung

Prüfungsleistung

Modul

Mathematik 1

Klausurkennzeichen

BB00-MT1-PK1-200926

Datum

26.09.2020

Ausgegebene Arbeitsbögen ____

Abgegebene Arbeitsbögen ____

Ort, Datum

Ort, Datum

Name in Druckbuchstaben und Unterschrift Aufsichtsführende(r)

Prüfungskandidat(in)

1

2

3

4

5

6

7



17

20

10

14

16

13

10

100

Aufgabe

Note

Bewertung

max. Punktezahl Prüfer ggf. Gutachter1

_________________________________________

__________________________________________

Prüfer (Name in Druckbuchstaben)

Datum, Unterschrift

_________________________________________

__________________________________________

ggf. Gutachter (Name in Druckbuchstaben)

Datum, Unterschrift

1

ggf. Gutachten im Rahmen eines Widerspruchsverfahrens

MT1-PK1-200926 – Mantelbogen

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Seite 1

Mantelbogen 09/20, BB, MT1

HFH ∙ Hamburger Fern-Hochschule

Anmerkungen Prüfer:

________________________________ Datum, Unterschrift

Anmerkungen Gutachter:

________________________________ Datum, Unterschrift

Sonstige Anmerkungen:

________________________________ Datum, Unterschrift

MT1-PK1-200926 – Mantelbogen

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Seite 4

Studiengang

Betriebswirtschaft

Modul

Mathematik 1

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur

BB00-MT1-PK1-200926

Datum

26.09.2020

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. • Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. • Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Prüfer zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen (kein Bleistift). Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. • Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. • Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden. Bearbeitungszeit:

100 Minuten

Hilfsmittel:

Anzahl Aufgaben:

–7–

Taschenrechner,

Höchstpunktzahl:

– 100 –

Formelsammlung Mathematik

Aufgabe

1

2

3

4

5

6

7



max. Punktezahl

17

20

10

14

16

13

10

100

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

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Aufgabe 1

17 Punkte

Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen. 1.1 x 4 − 3 x2 + 2 = 0 1.2 1.3

6 7

4 − 6 − x + x = 2x Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch eine Probe.

3x + 4 2x =1 − x x +1

4

Aufgabe 2

20 Punkte

2.1

Gegeben sei eine arithmetische Folge mit a1 = 4, d = −3 und s n = −150 . Wie viel Glieder n hat die Folge und wie groß ist a n ( n  )?

10

2.2

Von einer geometrischen Folge ist bekannt: a3 = 9, a11 = 729 . Bestimmen Sie das Anfangsglied a1 und den Wachstumsfaktor q; geben Sie den positiven Wert von q an! Wie lautet dann das Bildungsgesetz der geometrischen Folge?

10

Aufgabe 3

10 Punkte

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, die bei x = −1 eine Nullstelle besitzt und deren Graph durch die Punkte P1 (3, 2) und P2 (0, − 1) führt. Gehen Sie bei der Aufgabenbearbeitung von der allgemeinen Form y = a2 x 2 + a1x + a 0 einer quadratischen Gleichung aus.

Aufgabe 4

14 Punkte

Die Funktion 1− x f ( x) = 2 ; x0 x hat die einzige Polstelle xp = 0 . 4.1

Bestimmen Sie das Extremum, also Lage, Art und Extremwert.

9

4.2

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten für

2

x2

4.3

Bestimmen Sie die erste Ableitung für die Funktion

3

f ( x) =(1 +cos x)sin x

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

HFH ∙ Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 5 5.1

16 Punkte

Bestimmen Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktion mit Hilfe der Produktregel. Fassen Sie das Ergebnis so weit wie möglich zusammen.

(

8

)

1 f ( x ) = x3 − x  x

5.2

Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion

k(u) = ln

8

u+1 u

Aufgabe 6

13 Punkte 1 + 3,5 x  x 3 . x

6.1

Bestimmen Sie die Menge der Stammfunktionen von f ( x) =

6.2

Für die Herstellung eines Produktes sind die Grenzkostenfunktion K ( x) = 0,3x 2 − 4x + 50 und die Fixkosten in Höhe von Kf = 5.000 GE bekannt.

6 7

Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion K (x) .

Aufgabe 7

10 Punkte

Gegeben sind die beiden Funktionen: Definitionsbereich: f ( x) = ( x − 2) 2

D ( f ) = x 

.

g ( x) = − ( x − 2)2 + 8 Definitionsbereich: D (g ) = x  Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen den Schnittpunkten der beiden Graphen der Funktionen f (x) und g(x).

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Modul

Mathematik 1

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur

BB00-MT1-PK1-200926

Datum

26.09.2020

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren roten Schrift vor. • Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Bewertungsschema ergebende Bewertung tragen Sie bitte in den Klausur-Mantelbogen ein. Unterzeichnen Sie bitte Ihre Bewertung auf dem Mantelbogen.

• Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zugrunde zu legen: Punktzahl

Note

von 95

bis einschl. 100

1,0

sehr gut

90 85 80 75 70 65 60 55 50 0

94,5 89,5 84,5 79,5 74,5 69,5 64,5 59,5 54,5 49,5

1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

sehr gut gut gut gut befriedigend befriedigend befriedigend ausreichend ausreichend nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

17. Oktober 2020 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / 35094-318 bzw. [email protected]).

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

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Bitte beachten Sie: Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Aufgabe zu vergeben sind.

Lösung 1 1.1

vgl. SB 1, Kap. 1

x 4 − 3x 2 + 2 = 0

Substitution x 2 = z (1) Anwendung der p-q-Formel

z 2 − 3z + 2 = 0 3 9 8 3 1 z1,2 =  − =  2 4 4 2 2 z1 = 2 ; z2 = 1



1.2

1 1 1

Rücksubstitution

aus z1 : x1 = 2 , x 2 = − 2 aus z 2 : x 3 = 1, x 4 = −1

L = − 2; − 1; 1; 2

17 Punkte

1 2



4 − 6 − x + x = 2x 4− x= 6− x

(4 − x)2 = 6 − x

1

x 2 − 8 x + 16 = 6 − x

1 Anwendung der p-q-Formel

x 2 − 7x + 10 = 0 7 49 40 x1,2 =  − 2 4 4 7 9 7 3 =  =  2 4 2 2 x1 = 5 ; x2 = 2

1 1 1 1

Probe: Einsetzen von x1 ; x2 in die ursprüngliche Wurzelgleichung: x1 = 5 (keine Lösung! Einsetzen in Gleichung liefert 4 − 6 − 5 + 5  10 )

x2 = 2 (Lösung! Einsetzen in Gleichung liefert 4 − 6 − 2 + 2 = 4 )

1.3

3 x +4 2x = 1; − x x +1

1

x

3x + 4 2x − −1 = 0 x x +1

Hauptnenner

(3x + 4)(x + 1) − 2x 2 − x( x + 1) =0 x( x +1)

 x( x + 1)

3x 2 + 3 x + 4 x + 4 − 2 x 2 − x 2 − x = 0

6x + 4 = 0 2 x=− 3

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1 2

1

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

Lösung 2 2.1

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vgl. SB 1: Kap. 2

Arithmetische Folge: a1 = 4 , d = −3 , Partialsumme s n = −150 sn =

n 2  a1 + (n − 1)  d  2

− 150 =

arithmetische Reihe

n 8 + (n − 1) (− 3 ) 2

2

2 − 300 = n(8 − 3  n + 3) = 11  n − 3  n

1

3  n 2 − 11n − 300 = 0

1

n2 −

11 n − 100 = 0 3

n1,2 =

p-q-Formel

11  121 3600  11 61   + =  6 36  6 6  36

n1 =12

n1 

50 n2  6 Bestimmung von a 12 :

1

ist keine Lösung!

Mit a k = a1 + (k − 1)  d folgt

1 1

Lösung

n2 = −

1

allg. Glied der arithmetischen Folge

a12 = 4 + 11  (− 3) = − 29 2.2

20 Punkte

2

Geometrische Folge: a3 = 9, a11 = 729 Bestimmung von q und a1 Allgemein: ak = a1  q k− 1 k = 3: 9 = a1  q 2 (I)

1

729 = a1  q10 (II)

1

k = 11:

Zur Berechnung von q, bilde

(II) : (I)

a11 a1  q10 = a3 a1  q 2 q8 =

2

729 = 81 9 8

1 8

q =8 81 = 92 = 34 = 2 3

2

q = 3 ≈ 1,732

1

(nur die positive Lösung ist gefordert)

q einsetzen in (I):

( )2 = a1 3

9 = a1  3



a1 = 3

1

Damit lautet das Bildungsgesetz der geometrischen Folge:

a k = 3

( 3 ) k −1

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

Lösung 3

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vgl. SB 2: Kap. 3

10 Punkte

Die allgemeine Form der Parabel lautet y = a2 x2 + a1 x + a0 . Im Folgenden sind die Parameter a2 , a1 und a0 zu bestimmen. Die Funktion geht durch den Punkt P1 (3, 2) , daraus erhält man die Gleichung: 9 a2 + 3 a1 + a0 = 2 (I) Die Funktion geht durch den Punkt P2 (0, − 1) , daraus erhält man die Gleichung: (II) a0 = −1 Die Funktion hat eine Nullstelle bei P(−1, 0) , daraus erhält man die Gleichung: (III) a2 − a1 + a0 = 0 Einsetzen von a0 = −1 in die Gleichungen (I) und (III) liefert 9a 2 + 3a 1 − 1 = 2 9a 2 + 3a 1 = 3 bzw. . a 2 − a1 − 1 = 0 a 2 − a1 = 1

1 1 1

2

Aus der zweiten Gleichung erhält man a2 = a1 + 1 (1). Setzt man dieses in die erste Gleichung ein, so erhält man: 1 9( a1 + 1) + 3a1 = 3  9 a1 + 9 + 3 a1 = 3  12 a1 = −6  a1 = − 2 Dann ist 1 1 a 2 = a1 + 1 = − + 1 = 2 2 Die Gleichung der Parabel lautet damit 1 1 y = x2 − x −1 2 2

Lösung 4 4.1

f ( x) =

vgl. SB 3: Kap. 3

1 2

1

1

14 Punkte

1− x

x2 Ableitungen: f (x ) = = f (x ) = f  (x ) = f  (x ) =

x 2( −1) − (1 − x)2 x 4

x −x − 2 + 2 x x3 x −2 x

3

=

(2)

x3 1 − ( x − 2)3 x2 6

x −2 x + 6 (2)

=

x −3 x +6 x

4

4

x4

Notwendige Bedingung für Extremum: x− 2 f ( x) = 0 =0 x3 x−2=0 xΕ = 2 MT1-PK1-200926 – Korrekturrichtlinie

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2

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

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Zusätzliche hinreichende Bedingung: f  ( xΕ )  0

f  ( xΕ ) = f  (2) =

−4 + 6 2

4

2 = 4 0 2

2

Bei xΕ = 2 liegt ein Minimum vor.

4.2

Der Minimalwert ist 1− 2 1 =− f ( xΕ ) = f (2) = 4 4 Somit ist das (einzige) Minimum der Funktion 1 xΕ = 2 f (xΕ ) = − 4 Monotonieverhalten für x  2

1

Im Bereich x  2 gibt es keine weiteren Extremwerte oder Polstellen. Somit liegt dort ein einheitliches Monotonieverhalten vor. Am exemplarischen Wert x = 3 ist 1 f  (3) = 3  0 3 Dort ist f ( x) monoton wachsend. Somit ist die Funktion im gesamten Bereich x  2 monoton wachsend. Alternative Begründung (ebenfalls 2 Punkte)

2

Im Bereich x  2 gibt es keine weiteren Extremwerte oder Polstellen. Da bei xΕ = 2 ein Minimum vorliegt, muss die Funktion für x  2 monoton wachsen. Bemerkung ohne Bewertung: Die Funktion ist hier streng monoton wachsend. 4.3

Produktregel für f ( x) = g( x)  h( x)

f ( x) = g( x)  h( x) + g( x)  h( x) liefert für f ( x) = (1 +cos x)sin x

f (x ) = (− sin x )sin x + (1+ cos x )cos x 2

3

2

= − sin x + cos x + cos x

Lösung 5 5.1

16 Punkte

vgl. SB 3: Kap. 2

(

)

1 f (x ) = x 3 − x  x

Anwendung der Produktregel: f ( x) = g( x)  h( x) ; f ( x) = g ( x) h ( x ) + g ( x ) h (x ) (1) Umformen der Funktion führt zu 1    f ( x) =  x 3 − x 2   x −1 (1)    

g ( x) = x

3

1 − x2 ;

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1

Ableitung: g ( x) = 3 x 2 −

1 −2 (1) x 2

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1 1 h( x) = x − ;

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Ableitung: h( x) = − x −2 (1)

1 1    2 1 − 2  −1  3  f ( x) = 3 x − x   x +  x − x 2   − x− 2 (1) 2        

(

)

3  3  −   1 −2   2 f ( x) = 3 x − x  (1)  + - x + x 2         3

1 1 − f  (x ) = 2x + x 2 (2) = 2 x + 2 2 x3

5.2

k( u) = ln

8

u +1 u +1 = g h (u ) . ; Anwendung der Kettenregel auf k( u) = ln u u

k ( u) = g ( h) h (u) (1) Innere Funktion: h( u ) =

(

)

 1 u +1 (1); h(u ) = 1 + u −1 = − 2 (2) u u

Äußere Funktion: g( h) = ln h (1); g1 (h ) =

u 1 (2) = h u+ 1

Damit wird die Ableitung: k (u ) = −

1



u

u 2 u +1

=−

1 (1) u( u +1)

Lösung 6

8

3

6.1

13 Punkte

vgl. SB 4: Kap. 4 5

1 1 7 1 7 f ( x) = + 3 12 x  x 3 = + x  x 2 = + x 2 x x 2 x 2



2

5 5  1 7 2 1 7 2  x + 2 x  d x = x dx + 2 x d x    





1 7

7

2 7 = ln x + C1 +  x 2 + C 2 = ln x + C1 + x 2 + C 2 7 2

2

Mit der Zusammenfassung C1 + C 2 = C erhält man als Menge der Stammfunktionen: 7



1 3  + 3 12 x  x  d x = ln x + x 2 + C.  x

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1

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 09/20, BB, MT1

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Grenzkostenfunktion K ( x) = 0,3x 2 − 4x + 50 , Fixkosten 5.000 GE

6.2

Die Gesamtkostenfunktion ist Stammfunktion der Grenzkostenfunktion.

1

Bestimmung der Stammfunktion durch Integration: 2 K (x ) = (0,3x − 4x + 50)dx =



K ( x) =

3

2

0,3 x 4 x − + 50 x + C 3 2

1 3 x − 2 x2 + 50x + C . 10

2 1

Die Fixkosten entsprechen den Kosten beim Output x = 0 , d. h. es gilt:

Kf = K (0) = 5.000 GE

1

Einsetzen in K (x) ergibt: 5.000 =

1 3 0 − 2  0 2 + 50  0 + C  C = 5.000 10<...