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Biomeccanica: analisi cinematica e dinamica del movimento

Renato Scrimaglio, Riccardo Di Giminiani

Libreria Benedetti - L’Aquila

Indice

Capitolo 1 Cinematica 1.1 Posizione, velocità e accelerazione…………………………………………..6 1.2 Equazioni del moto……………………………………………………………..10 1.3 Relazioni grafiche……………………………………………………………….21 1.4 Moto angolare e lineare………………………………………………………..24 1.5 Accelerazione e attività muscolare……………………………………………29 1.6 Cinematica del passo…………………………………………………………..33 1.7 Cinematica del tiro e del lancio………………………………………………..46

Capitolo 2 La forza 2.1 Definizione del concetto di forza……………………………………………..53 2.2 Composizione e risoluzione delle forze: grafica e trigonometrica………..53 2.3 Leggi di Newton………………………………………………………………..58 2.4 Le forze nel movimento umano………………………………………………64 2.5 Forza di reazione del suolo……………………………………………………69 2.6 L’attrito…………………………………………………………………………..77 2.7 Forze di reazione articolare……………………………………………………80 2.8 Forza muscolare………………………………………………………………..83 2.9 Forza elastica……………………………………………………………………92

2.10

Momento di forza…………………………………………………………103

Capitolo 3 Lavoro, energia, potenza 3.1 Momento cinematico……………………………………………………………107 3.2 Impulso…………………………………………………………………………..107 3.3 Lavoro……………………………………………………………………………115 3.4 Energia cinetica…………………………………………………………………116 3.5 Energia potenziale……………………………………………………………..118 2

Capitolo 4 Meccanica muscolare…………………………………………………………………..126 4.1 Relazione tensione-lunghezza a livello della singola fibra……………………..126 4.2 Relazione tensione-lunghezza a livello del muscolo……………………………128 4.3 Relazione tensione-lunghezza a livello del sistema articolare…………………131 4.4 Relazione momento di forza-momento del carico e tipo di contrazione muscolare……………………………………………………..132 4.5 Relazione momento di forza-angolo e momento di forza-velocità…………….132 4.6 Meccanica muscolare durante l’attività sportiva…………………………………133

Bibliografia………………………………………………………………….148

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Capitolo 1 Cinematica La descrizione del movimento è accompagnata dall’uso dei termini: posizione, velocità e accelerazione La descrizione del movimento che ignora le cause è conosciuta come la descrizione cinematica

1.1 Posizione La posizione di un oggetto si riferisce alla sua ubicazione nello spazio, relativa a qualche linea di riferimento, valore o asse (p.e. l’asta del salto in alto è specificata rispetto al suolo, la linea di arrivo in una competizione è riferita alla linea di partenza). Movimento Quando un corpo o un oggetto subisce un cambiamento nella sua posizione, esso si sposta e quindi si determina il movimento. Il movimento non può essere ottenuto immediatamente; piuttosto viene comparata la posizione dell’oggetto nell’istante di tempo considerato con la sua nuova posizione in un altro istante. Il movimento è un evento che avviene nello spazio e nel tempo.

Velocità È definita come il rapporto tra la variazione della posizione e la variazione del tempo Equazione 1.1: v = Δs/ Δt = m/s, 0 m·s-1 Graficamente la velocità si riferisce alla pendenza nella relazione spazio-tempo (fig.1) Lo spostamento verticale può variare non solo in intensità ma anche in direzione (fig.2)

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Fig.1. Grafico posizione-tempo.

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Fig.2. Grafico posizione-tempo, variazione della velocità in intensità e direzione.

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Accelerazione Se ad esempio, una palla mantenuta ad un’altezza dal suolo di 1,23 m è lasciata cadere, raggiunge il suolo dopo 0,5 s e la sua velocità media è di 2,46 m/s (1,23 m/0,5 s). Comunque la palla non viaggia a velocità costante; cambia in funzione del tempo. Inizialmente la velocità è zero, successivamente incrementerà. Quindi il rapporto tra la variazione della velocità e la variazione del tempo è definito con l’accelerazione. Equazione 1.2: a = Δv/Δt

= m/s/s 0 m/s2 0 m·s-2

Graficamente l’accelerazione può essere rappresentata come la pendenza della relazione velocità-tempo. Accelerazione di gravità E’ dovuta all’attrazione gravitazionale tra due masse. La forza di gravità produce una accelerazione costante di 9,81 m·s2 a livello del mare.

A. Accelerazione costante v

a=pendenza

t B. Accelerazione zero v=costante pendenza=a=0

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1.2 Equazioni del moto Dalle equazioni 1.1 e 1.2; 1.1: v = Δs/Δt = m/s, 0 m·s-1 1.2: a = Δv/Δt = m/s/s 0 m/s2 0 m·s -2 derivano espressioni algebriche che coinvolgono: tempo, spazio, velocità e accelerazione. Possiamo derivare tre equazioni del moto che sono valide quando l’accelerazione è costante (moto uniformemente accelerato).

1. velocità finale espressa in funzione della velocità iniziale, accelerazione e tempo. accelerazione media = Δ velocità Δ tempo

am = v f - v i t at = v f - v i vi + at = v f equazione 1.3: v f = v i + at esempio: una palla lasciata cadere da 1,23 m da terra raggiunge il suolo dopo 0,5 s. Quale sarà la sua velocità finale? Secondo l’equazione 1.3 le variabili che incidono sulla velocità finale sono la velocità iniziale (v i = 0) della palla, l’accelerazione (a = 9,81 m/s2) e il tempo (t = 0,5 s), pertanto: v f = v i + at v f = 0 + 9,81· 0,5 = 4,91 m/s Conclusioni: le difficoltà maggiori nell’applicare l’equazione sono dovute nel determinare l’accelerazione, poiché altre forze oltre a quella di gravità possono aggiungersi. L’accelerazione può essere determinata numericamente da film o immagini del 8

movimento, alternativamente può essere misurata direttamente con strumenti tipo l’accelerometro. 2. Derivare una espressione per lo spazio in termini di velocità iniziale e finale, accelerazione e tempo. Velocità media ═ Δ spazio Δ tempo

v m∙ t = s f – s i v f + vi . t = s f – s i 2 sf – si = vf + v i . t 2 sostituendo l’equazione 1.3 per v f : sf – s i = v i + at + v i . t 2 s f – s i = 2v i + at . t 2 s f – s i = 2v i + at 2 2

a+b

a+b

2

2

2

s f – s i = 2v i + at2 2

2

equazione 1.4: 2

s f – s i = v i t + 1 at 2 se la velocità iniziale = 0 equazione 1.4: s f – s i = 1at2 2

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(legge oraria del moto uniformemente accelerato in cui il corpo parte dall’origine con velocità nulla) Conclusioni: l’equazione 1.4 indica che il cambiamento della posizione di un corpo dipende da tre variabili: velocità iniziale, accelerazione e tempo. In altre parole la posizione del corpo sarà diversa se una di queste variabili varia. La relazione può essere usata per determinare come cambia la posizione di un corpo al variare del tempo. Un tuffatore esegue un tuffo dalla posizione verticale rovesciata da un

Esempio:

trampolino posto a 10 m. A.

Usando l’equazione 1.4 calcolare il tempo che occorre al tuffatore per raggiungere l’acqua.

B.

Determinare la posizione (equazione 1.4) del tuffatore a intervalli di 0,1 s e riportare i risultati su un grafico posizione-tempo.

C.

Determinare la velocità del tuffatore nel momento di contatto con l’acqua.

D.

Determinare l’accelerazione del tuffatore nel punto di riferimento posto a 5 m. A.

Usando l’equazione 1.4 calcolare il tempo che occorre al tuffatore per

raggiungere l’acqua. s f – s i = 1 at2 2 2(s f – s i ) = at

2

2 at = 2s f

at2 = 2s f a

a

t2 = 2sf a t = √2∙ 10 a t = 1,42 s B. Determinare la posizione del tuffatore (equazione 1.4) ad intervalli di 0,1 s e riportare i risultati su di un grafico posizione-tempo. s f – s i = 1 . at2 10

2 t

s

0

0

0,1 0,0049 0,2 0,196 0,3 0,0441 0,4 0,79 0,5 1,23

Grafico posizione-tempo posizione (m)

2 1,5 1 0,5 0 0

0,1

0,2

0,3 tempo (s)

0,4

0,5

0,6

C. Determinare la velocità del tuffatore nel momento di contatto con l’acqua. v f = v i + at vf = 0 + 9,81∙ 1,42 = 14 m ∙ s

-1

D. Determinare l’accelerazione del tuffatore nel punto di riferimento posto a 5 m. L’accelerazione è di 9,81 m/s2 (costante)

3. Mettere in relazione la velocità finale con la velocità iniziale, l’accelerazione e lo spazio. 11

Velocità media = Δ spazio Δ tempo vf + v i = s f - si 2

t

il tempo non è conosciuto, quindi utilizzando l’equazione 1.3: t = vf - v i a vf + vi = s f - s i (v f – v i )/a

2

v f + v i = (s f – s i) 2

a

v f –v i

v f + v i = (s f – s i ) 2a v f - vi (vf - vi ) (v f + v i ) = (s f – s i)2a 2a(s f – s i ) = (v f + vi ) (v f – v i) 2 2 2a(s f – s i ) = (v f – v i )

(vf 2 – v i 2) = 2a(s f – s i) equazione 1.5: v f 2 = v i 2 + 2a(s f – s i ) Conclusioni: analogamente alle equazioni 1.3 e 1.4, l’equazione 1.5 illustra come una variabile cinematica (velocità finale in questo caso) possa essere determinata da altri tre parametri. Quando la velocità iniziale è zero le equazioni sono ulteriormente semplificate: v f = at sf – s i = 1 at2 2 2

v f = 2a(s f – s i )

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Esempio: un giocoliere si esibisce in una stanza, la cui altezza è di 2 m, lanciando verticalmente una palla.

A.

Con quale velocità iniziale il giocoliere lancia la palla verticalmente ( vf = 0)?

vf 2 = v i 2 + 2a(s f – s i) vi 2 = 0 - [2 x (-9.81) x 2] vi = √39,2 vi = 6,3 m/s B.

In quanto tempo la palla raggiungerà il tetto?

v f = v i + at t = v f - vi a t = - 6,3

= 0,64 s

-9,81 C.

Il giocoliere lancia una seconda palla con la stessa velocità iniziale della prima nello stesso istante in cui la prima

tocca il tetto. Dopo quanto tempo la

seconda palla lanciata si incrocerà con la prima? Le traiettorie delle due palle sono essenzialmente identiche. La prima palla all’apice della traiettoria ha una velocità di 0 m/s e una velocità finale (nel momento in cui è afferrata) di 13

–6,3 m/s; la seconda palla invece ha una velocità iniziale (al momento del rilascio) di 6,3 m/s e 0 m/s nel picco della traiettoria. Poiché la traiettoria è parabolica, e quindi simmetrica, le palle si incroceranno a metà strada, ovvero dopo 0,32 s, che rappresenta la metà del tempo per coprire l’intera traiettoria. La velocità relativa

al momento

dell’incrocio è di circa 3,1 m/s. D.

Quando le palle si incroceranno a che distanza dalle braccia del giocoliere saranno?

s f – s i = v i t + 1 at2 2 Δs = (6,3 x 0,32) + 0,5 x [(-9,81) x (0,32)2] Δs = 2,02 x 0,50 Δs = 1,5 m sopra le braccia del giocoliere.

Analisi cinematica L’analisi cinematica è basata generalmente su una serie di dati posizione-tempo ottenuti con un sistema di registrazione (video camera). Il filmato di un movimento è una sequenza di fotogrammi (frames). Successivamente i fotogrammi sono proiettati su un sistema di misurazione dove i punti di repere selezionati sono determinati rispetto a

dei sistemi di riferimento. Lo strumento

(digitalizzatore) è capace di determinare le coordinate (x, y) del punto di repere selezionato. Una volta acquisiti i dati posizione-tempo si possono usare tecniche standard di analisi numerica per determinare le velocità e le accelerazioni relative (tab.1). La maggior parte dei movimenti può essere misurata adeguatamente con frequenze da 50 a 100 frames al secondo, che corrispondono ad intervalli di 0,1 e 0,2 s tra due punti consecutivi. Le velocità è determinata per ogni intervallo di posizione mentre l’accelerazione per ogni intervallo di velocità. Le relazione grafica tra i descrittori del moto, (posizione, velocità e accelerazione) derivata dalla tab.1, viene evidenziata nel grafico 3. L’analisi del movimento è possibile anche con sistemi optoelettronici (Elite, Costel ecc.). Questi sistemi di misura del movimento, di recente progettazione, non utilizzano la fotografia, bensì principi e dispositivi optoelettronici. I gruppi ottici delle camere optoelettroniche svolgono la funzione di proiettare sul piano immagine i 14

contrassegni; il piano immagine è costituito da un trasduttore in grado di codificare direttamente le coordinate immagini (fig.4). Tab.1. Serie di dati posizione-tempo.

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Fig.3. Grafico derivato dai dati della tabella 1.

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Fig.4. Analisi cinematica del movimento con sistema optoelettronico Elite.

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1.3 Relazioni grafiche L’utilizzo delle relazioni grafiche consente di

stimare il tasso di cambiamento di una

variabile cinematica rispetto al tempo analizzando semplicemente la forma del grafico. La figura 5 evidenzia le variazioni dell’angolo alla coscia di un podista durante un passo completo (definito in questo esempio come un ciclo completo di due successive fasi di spinta del piede sinistro; TO-TO). L’angolo alla coscia è misurato rispetto

all’asse

orizzontale. Nel grafico posizione-tempo bisogna innanzitutto individuare il valore massimo e il minimo, poiché questi punti denotano l’istante in cui la variabile velocità ha valore zero. Da questi punti di pendenza zero , e quindi zero velocità, una linea perpendicolare è estesa al grafico velocità-tempo per rimarcare i valori di velocità zero rispetto al tempo (0,03–0,3 s). Successivamente è possibile determinare la pendenza tra i due punti considerati. In ogni intervallo la pendenza può essere più o meno ripida ma il segno rimane lo stesso (positivo o negativo). Nel grafico si notano tre intervalli (dall’inizio del movimento al minimo, dal minimo al massimo, dal massimo alla fine del movimento. Le pendenze di questi intervalli associate al grafico posizione-tempo sono negative, positive e negative. Il grafico velocità-tempo evidenzia

valori simili (positivo o negativo) in ogni intervallo

considerato nel grafico posizione-tempo. Per esempio nel primo intervallo, dall’inizio del movimento al minimo, sia la pendenza nel grafico posizione-tempo che i valori di velocità sono negativi. Poiché un valore negativo di velocità è associato ad una pendenza rivolta verso il basso nel grafico posizione-tempo, le velocità negative indicano una rotazione all’indietro della coscia. In sintesi il grafico velocità-tempo indica due intervalli di rotazione all’indietro della coscia separati da una rotazione in avanti. L’ampiezza della velocità sul tempo indica come varia la velocità di rotazione, mentre il segno indica la direzione di rotazione. Nella relazione accelerazione-tempo derivata dal grafico posizione-tempo adottiamo la stessa procedura: (a) identificare i valori massimi e minimi e, (b) determinare le pendenze associate. Il grafico velocità-tempo mostra quattro massimi e quattro minimi (quattro pendenze zero), e quindi quattro istanti di tempo in cui il grafico accelerazione-tempo attraversa lo zero. Di conseguenza nel grafico accelerazione-tempo sono identificati cinque intervalli a partire da positivo per finire positivo. Nel primo intervallo l’accelerazione risulta positiva anche se noi sappiamo (fig. velocità-tempo) che la coscia ruota prima indietro e poi in avanti. Come risultato non è possibile definire l’accelerazione dalla 18

direzione del movimento, poiché un segmento corporeo può muoversi in una direzione subendo una accelerazione nella direzione opposta. La procedura sottolineata in questo esempio è di natura qualitativa,

mentre l’analisi in

tab.1 è di natura quantitativa .

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Fig.5. Relazione velocità-tempo derivata dal grafico posizione-tempo e relazione accelerazione-tempo derivata dal grafico velocità-tempo.

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1.4 Moto lineare e angolare Il moto lineare si riferisce allo spostamento nello spazio di tutte le parti di un corpo. Inversamente, quando tutte le parti di un corpo non subiscono il medesimo spostamento, parti o segmenti di esso sono ruotati il moto è descritto come angolare. La combinazione tra moto lineare (traslazione) e angolare (rotazione) su un singolo piano è chiamato moto planare. Quando il movimento avviene su più piani noi parliamo di movimento tridimensionale. Nella maggior parte dei movimenti umani, i segmenti corporei sono soggetti sia a movimenti lineari che angolari. Diagrammi angolo-angolo La descrizione dei movimenti umani spesso è accompagnata da relazioni grafiche tra qualche variabile (angolo, altezza della palla) e il

tempo. Comunque,

essendo il

movimento compiuto dalla rotazione reciproca di segmenti corporei, è più rivelante la relazione tra angoli (diagramma angolo-angolo, Cavanagh e Grieve, 1973). Il grafico 6 mostra due diagrammi angolo-angolo durante il movimento di un sollevatore di pesi in cui il bilanciere è sollevato dalla posizione 1 alla 10. Il diagramma ginocchio-tronco include tre fasi distinte: (a)

Posizioni 1-5, estensione del ginocchio e leggera rotazione in avanti del tronco;

(b)

Posizioni 5-8, rotazione all’indietro del tronco e flessione delle ginocchia;

(c)

Posizioni 8-10, estensione dell’articolazione del ginocchio e leggera rotazione in avanti del tronco.

Similmente, il diagramma caviglia-coscia include tre fasi: (a)

rotazione in avanti del sistema coscia-caviglia;

(b)

angolo coscia-caviglia costante;

(c) rotazione in avanti del sistema coscia-caviglia. Nel grafico c’è un intervallo costante tra i punti (10 ms), pertanto all’aumentare della distanza tra i punti aumenta la velocità di movimento.

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Fig.6. Diagramma angolo-angolo durante il sollevamento del bilanciere dalla posizione 1 alla 10.

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Cinematica angolare Poiché il movimento umano coinvolge sia la traslazione che la rotazione, è necessario conoscere le relazione tra le misure angolari e lineari di posizione, velocità e accelerazione. Quando un segmento corporeo rigido di lunghezza fissa (r) ruota intorno ad un asse dalla posizione 1 alla 2 (fig.7), lo spostamento (s) subito alla fine dal segmento è dato dall’equazione 1.6: s = r∙θ La velocità lineare (v) del segmento corporeo è determinata da: Δs = Δ(r∙θ) Δt

Δt

Poichè r ha una dimensione fissa e non cambia in relazione al tempo, l’espressione si riduce a: Δs = rΔθ Δt

Δt Equazione 1.7:

v = r∙ω

L’equazione 1.7 indica che la velocità lineare (v) di un segmento corporeo è uguale al prodotto della distanza dall’asse di rotazione (r) e della velocità angolare (ω). Per differenti punti lungo un segmento rigido sia r che v variano. La direzione del vettore della velocità lineare (v) è sempre tangente alla traiettoria del segmento corporeo.

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Le variabili r, v, e ω sono vettori, quindi hanno intensità, direzione e verso (fig.7). Quando un vettore è mostrato come una freccia curvata (fig.7b), la sua direzione è perpendicolare al foglio ed è diretto verso di voi. L’equazione 1.7 è la forma scalare della relazione tra la velocità lineare e quella angolare. La relazione vettoriale è indicata con l’equazione 1.8: v=ω×r L’equazione 1.8 stabilisce che la velocità lineare è uguale al prodotto vettoriale della velocità angolare e della posizione rispetto al centro di rotazione. Il prodotto che è un vettore, è perpendicolare al piano dei vettori iniziali. Per determinare la relazione tra l’accelerazione lineare e quella angolare usiamo l’equazione 1.8: Δv = Δ(ω ×r) Δt

Δt

equazione 1.9: a = r∙ω2 + r∙α Il termine r∙ω2 indica il cambiamento di direzione di v, mentre il termine r∙α rappresenta il cambiamento in intensità di v. Poiché la direzione di v cambia durante il movimento angolare, r∙ω2 non è mai zero, ma r∙α può essere ze...