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Trabajo sobre una superficie en este caso una esfera....

Description

Biosfera de Montreal

1

UBICACIÓN DE LA OBRA.....................................................................................2

2

IMAGEN ACTUAL DEL PROYECTO........................................................................2

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DESCRIPCIÓN BREVE...........................................................................................3

4

AUTOR DE LA OBRA............................................................................................4

5

HISTORIA............................................................................................................5

6

MODELIZACIÓN..................................................................................................5

6.1

Volumen.........................................................................................................................................................6

6.2

Superficie.......................................................................................................................................................7

6.3

Peso..................................................................................................................................................................7

6.4 Caracterización de una esfera geodésica ...........................................................................................9 6.5 Estabilidad Estructural..........................................................................................................................10

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ASPECTOS GENERALES......................................................................................11

7.1 Referencias Bibliográficas....................................................................................................................14

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DATOS DEL AUTOR............................................................................................14

Universidad de Málaga.

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Biosfera de Montreal

1 Ubicación de la obra El monumento se encuentra actualmente en la isla de santa helena en el parque Jean Drapeau, Montreal, Canadá, Estados Unidos.

2 Imagen actual del proyecto

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Biosfera de Montreal

3 Descripción breve Parece una burbuja de agua en medio de la nada pero actualmente la Biosphère es un museo dedicado al agua y el medio ambiente. Está en la isla de Santa Helena, en la ciudad de Montreal, Canadá. Sin embargo su origen data de 1967, donde fue el pabellón de los Estados Unidos durante la Exposición Universal. El edificio diseñado por Richard Buckminster Fuller, originalmente formaba una estructura de acero y células acrílicas de 76 metros de diámetro y 63 de altura (189.724 m3 de volumen). Un complejo sistema de sombras controlaba la temperatura interior de la esfera. Desde 1968, un año después de que los Estados Unidos donaran el pabellón a la ciudad de Montreal, hasta 1976, la Biosphère se usó para actividades recreativas y atracción pública, albergando un oasis único de plantas y aves. En 1976 cuando la estructura estaba siendo reparada, un fuego destruyó la cubierta exterior de polímero que nunca se reparó aunque su arquitecto lo sugiriese. Poco después la ciudad de Montreal prohibió el acceso al sitio. Actualmente este monumento se encuentra abierto y cada año acoge varios museos . La imagen actual de la biosfera de Montreal es la de la imagen actual del proyecto una vez sufrido el incendio , a continuación adjunto las fotografías de antes y de la Biosfera de Montreal cuando sufrió el devastador incendio ,el cual, dejo la estructura de acero intacta.

Expo 1967

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Incendio biosfera de Montreal

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4 Autor de la obra Richard Buckminster "Bucky" Fuller (Milton, 12 de julio de 1895 - Los Ángeles, 1 de julio de 1983) fue un diseñador, arquitecto, visionario e inventor estadounidense. También fue profesor en la Universidad del Sur de Illinois Carbondale y un prolífico escritor. Durante su vida, Fuller buscó respuesta a la pregunta: «¿Tiene la humanidad una posibilidad de sobrevivir final y exitosamente en el planeta Tierra y, si es así, cómo?» Considerándose a sí mismo un individuo medio sin especiales medios económicos o título académico, eligió dedicar su vida a esta cuestión, intentando descubrir si un individuo podía mejorar la condición humana de una forma que no podían hacer los gobiernos, las grandes organizaciones o las empresas privadas. En el transcurso de este experimento, que duró toda su vida, Fuller escribió veintiocho libros, acuñando y popularizando términos como sinergia, «nave espacial Tierra» y efemeralización. También realizó muchas invenciones, especialmente en los campos de la arquitectura, campo en el que su trabajo más conocido es la cúpula geodésica. Las moléculas de carbono conocidas como fulerenos tomaron su nombre de su parecido con las esferas geodésicas. En una etapa posterior de su vida, tras trabajar en sus ideas durante muchos años, Fuller había obtenido una considerable visibilidad pública. Viajó por el mundo dando clases y recibió muchos doctorados honoris causa. Sin embargo, la mayoría de sus invenciones nunca se llegaron a fabricar por lo que recibió críticas en muchos campos en los que intervino, o simplemente se le tachó de utópico. Por otra parte, los partidarios de Fuller aseguran que su obra no ha recibido toda la atención que merece. De acuerdo con el filósofo N. J. Slabbert, Fuller tenía un estilo de escritura oscuro que ha obstaculizado la circulación de sus ideas.

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Biosfera de Montreal 5 Historia Ciudad de Montreal: Fundada en 1642, Montreal fue una de las primeras ciudades de Canadá. Desde entonces, y hasta la década de 1960, fue el principal centro financiero e industrial de Canadá, así como la mayor ciudad del país. Considerada hasta entonces la capital económica de Canadá, también era considerada una de las ciudades más importantes del mundo. Sin embargo, durante la década de 1970, la anglófona Toronto le arrebató el puesto de capital financiera e industrial del país. En 2001, los 27 municipios de la isla de Montreal fueron fusionados con la ciudad de Montreal. En 2004, tras los resultados de un referéndum, 15 de estos municipios nuevamente volvieron a ser ciudades independientes. Montreal es uno de los centros culturales más importantes de Canadá, puesto que acoge varios acontecimientos nacionales e internacionales.

6 Modelización

Una forma aproximada de la función de nuestra biosfera de Montreal

La base de nuestra esfera tiene por ecuación , x^2+y^2+z^2=38^2; esfera : prevolucionz(r*cos(f),r*sin(f)); (esfera) [cos(f)*r*cos(v),cos(f)*r*sin(v),sin(f)*r] plot3d(at(esfera,r=38),[f,-%pi/8,%pi],[v,0,2*%pi]); ["C:/Users/jesus/AppData/Local/Temp/maxout4156.gnuplot"] Universidad de Málaga.

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La altura de nuestra esfera es de 63 metros de alto y radio 38m , a la hora de dibujar la esfera , se ha realizado,en la altura, un limite de integración menor para realizarle el corte en 1/8 de la superficie total de esta . Nuestra esfera queda determinada de esta forma y se asemeja mucho al volumen real de nuestra figura.

6.1 Volumen Para calcular el volumen de nuestra figura realizamos una integral : El volumen en coordenadas cartesianas es la integral triple de 1. I(r,[x,0,r],[y,-r/8,r],[z,0,%pi]); 9∗π∗r 3 m3 8 I(1,[x,0,38],[y,-38/8,38],[z,0,63]); 181.944m3 El volumen de nuestra biosfera de montreal aproximadamente engloba unos 181.944m3 la parte que entra en el suelo restante , viene a ser 1/8 de la superficie total de la esfera . Vamos a calcular el corte de la esfera con la formula del volumen de una esfera completa , restándole el valor de nuestro volumen calculado: I(r/3,[x,0,r],[y,0,2*r],[z,0,2*%pi]) 4∗π∗r 3 3 r=38m I(38/3,[x,0,38],[y,0,76],[z,0,2*%pi]); 219488∗π 3 aproximadamente unos 229.847.83m3 la esfera completa . 229.847.83m3 - 181.944m3 = 47.903m3 Como hemos podido calcular , el corte de la esfera con el suelo tiene un volumen aproximado de 47.903m3.

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6.2 Superficie esfera : prevolucionz(r*cos(f),r*sin(f)); [cos(f)*r*cos(v),cos(f)*r*sin(v),sin(f)*r] ds(esfera,[f,v]); 2 ¿ cos (f )∨r I(r^2*cos(f),[f,-%pi/2,%pi/2],[v,0,2*%pi]); 4*%pi*r^2 -superficie de una esfera completa 2

4∗π∗r Nuestra superficie real , en el limite de integración entre –pi/2 y pi/2 , es 1/8 menor el corte el cual calculamos su volumen anteriormente. Calculamos la superficie real de nuestra biosfera.

I(1,[x,0,2*r],[y,-%pi/8,%pi],[z,0,2*r]); 2 9∗π∗r 2 Aproximadamente nuestra biosfera de Montreal tiene unos 20414.11m2

6.3 Peso Richard Buckminster Fuller es considerado el inventor de las cúpulas geodésicas, ya que es quien ostenta su patente en 1954. Fuller las desarrolló en la década de los 40, creando una de las cúpulas geodésicas más conocidas en 1967 en la Exposición Internacional de Montreal de 76 m de diámetro y 63 m de altura. Una cúpula geodésica es parte de una esfera geodésica, un poliedro generado a partir de un icosaedro o un dodecaedro, aunque puede generarse de cualquiera de los sólidos platónicos. Para calcular el peso aproximado de nuestra biosfera de Montreal , tenemos que tener en cuenta que su realización esta echa de acero ,la densidad del acero es de 7850kg/m3 . Peso = peso específico x Volumen. Peso específico =densidad x gravedad. Peso específico =7850 kg/m3 x 9.8 m/s^2 =76930N/m3. Peso =76930N/m3 x 181944m3 =1.39969 x10^10 N.

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Masa =Volumen x densidad. Masa =181944 m3 x 7850kg/m3=1.428.260.400 kg Este peso de la biosfera de Montreal seria si toda la esfera estuviese echa de acero .Suponemos que el volumen sólido de nuestra biosfera es 1/8 parte del mismo. Con esta aproximación el peso aproximado de nuestra biosfera de Montreal seria : Peso específico =7850 kg/m3 x 9.8 m/s^2 =76930N/m3. Suponiendo que la estructura por fuera mida unos cuatro metros ,volumen solido de nuestra esfera es igual a: v= 9∗π∗( R−r )3 8 =

m3

9∗π∗(38−34 )3 8

m3 =

9∗π∗(4 )3 8

m3 = 226,19m3

Peso = 76930N/m3 x 226.194m3 =17401156.04N Masa =226.194 m3 x 7850 kg/m3=1775622.90 Kg

En la estructura sólida aproximadamente tiene unos 4 metros, hemos cogido nuestro volumen calculado anteriormente y hemos usado la diferencia de los dos radios, calculando el nuevo volumen .

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6.4 Caracterización de una esfera geodésica .

Descripción de la subdivisión de una cara de un Dodecaedro. Las caras de una cúpula geodésica pueden ser triángulos, hexágonos o cualquier otro polígono. Los vértices deben coincidir todos con la superficie de una esfera o un elipsoide (si los vértices no quedan en la superficie, la cúpula ya no es geodésica). El número de veces que las aristas del icosaedro o dodecaedro son subdivididas dando lugar a triángulos más pequeños se llama la frecuencia de la esfera o cúpula geodésica. Para la esfera geodésica se cumple el teorema de poliedros de Euler, que indica que: C+V-A=2 C es el número de caras (o número de triángulos) V el número de vértices (o uniones múltiples) A el número de aristas (o barras usadas).

Para construir esferas geodésicas se utilizan las fórmulas de los radios del dodecaedro o icosaedro. Los radios permiten levantar los nuevos vértices de las subdivisiones a la superficie de la esfera que pasará por los vértices originales del cuerpo.

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6.5 Estabilidad Estructural Las cúpulas geodésicas a diferencia de las cúpulas conformadas por celosías tridimensionales, pueden sufrir pandeo global sin que ninguna de las barras comprimidas que la forman haya sufrido pandeo local. Eso implica que un cálculo como estructura lineal convencional, y comprobación posterior de pandeo local, puede no ser adecuado en muchos casos y para grandes luces se requiere un cálculo no-lineal para determinar sus cargas críticas y asegurarse de que no se producen fenómenos de inestabilidad elástica.

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7 Aspectos generales Para calcular el peso aproximado de nuestra biosfera de Montreal , tenemos que tener en cuenta que su realización esta echa de acero ,la densidad del acero es de 7850kg/m3 .

Cabe destacar el polígono en forma de esfera ,el cual , le da un diseño único y una estabilidad permanente, esto ha hecho que perdurase en el tiempo hasta la actualidad,por su forma y diseño tan especial. Fuller es muy conocido por la estructura geodésica , la cual le permitia ahorrar espacio , dinero y no necesitaba un material muy fuerte puesto que tiene mucha estabilidad , para sus esferas geodésicas encontró una relación 24:1 para madera y 30:1 para metal, hablando en términos de resistencia de material. Tanto el volumen como el área se podría haber aproximado mediante el volumen de una esfera con una acotación menor en uno de sus limites de integración como en el volumen de un dodecaedro o icosaedro suponiendo que tiene varias caras menos por el corte que tiene del suelo. A continuación hay una aproximación de las aristas de nuestro polígono , conociendo el radio de nuestra esfera geodésica.

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Biosfera de Montreal Simulación esfera geodésica:

En esta página web ( dome calculator) ,Según el radio de la esfera , te dice el tamaño de las aristas de la cúpula geodésica , Antes de realizar esta simulación El radio de nuestra esfera hemos supuesto que es de 38 metros , con esta imagen podemos ver como seria la estructura de cada conjunto de triángulos unidos entorno a un eje común, cada arista y el número de conexiones.

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Biosfera de Montreal Otro dato para la simulación es que las esferas geodésicas siempre es una estructura triangular con una frecuencia de repetición:

Fuller utiliza en la biosfera de Montreal la frecuencia v6.. El volumen y la superficie de nuestra esfera geodésica es el mismo que el de una esfera del mismo radio por eso no influye comparándolo con esta forma de figura geodésica,en lo único que influye seria en el ahorro de materiales , dinero y ganancia de una mayor estabilidad respecto a una esfera común .

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7.1 Referencias Bibliográficas https://domosgeodesicos.es/que-frecuencia-elegir/ https://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Buckminster_Fuller http://www.ecured.cu/index.php/Bi%C3%B3sfera_de_Montreal https://www.cosasexclusivas.com/2009/07/biosfera-de-montreal.html http://apuntesdearquitecturadigital.blogspot.com/2015/04/proyectoestructural.html https://es.scribd.com/doc/209738795/Biosfera-de-Montreal https://es.slideshare.net/SebastianGaviorno/cupulas-geodesicas https://www.bing.com/images/search? q=richard+buckminster+fuller&FORM=HDC2

8 Datos del Autor Nombre y Apellidos: Jesús Ripoll Gallardo Grado en: Ingenieria electrónica Industrial Especialidad: Electrónica Asignatura: Análisis Vectorial y Estadístico. Curso: 2017/2018

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