Bộ đề giữa kì môn giải tích 2 PDF

Preview

Summary

BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁIBÀI GIẢI THAM KHẢOGIẢI TÍCH II______________________________________________Đề thi giữa kì 20163-Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng(Tự Động Hóa – ĐHBKHN)Hà Nội, Tháng 5 năm 202 1TÀI LIỆU THAM KHẢO:− Bài giảng môn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu.− Bài tập giải sẵn Giải tích...

Description

BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI

BÀI GIẢI THAM KHẢO GIẢI TÍCH II ______________________________________________ Đề thi giữa kì 20163-20193 Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng (Tự Động Hóa – ĐHBKHN) Hà Nội, Tháng 5 năm 2021

TÀI LIỆU THAM KHẢO: − Bài giảng môn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu. − Bài tập giải sẵn Giải tích 2 (Tóm tắt lý thuyết và chọn lọc), thầy Trần Bình. − Bài tập Toán học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ

biên), PGS.TS. Trần Việt Dũng, PGS.TS. Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo. − Bộ đề cương Giải tích II, Viện Toán ứng dụng và Tin học. − Bộ đề thi Giữa kì và Cuối kì môn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội.

Tài liệu được biên soạn dựa trên kinh nghiệm cá nhân, dù đã rất cố gắng nhưng với những hạn chế nhất định về kiến thức, kĩ năng chắc chắn vẫn sẽ tồn tại các lỗi sai tính toán, lỗi đánh máy, … chưa được kiểm tra hết, mọi ý kiến góp ý bạn đọc vui lòng gửi qua link fb “fb.com/tungg810” để mình có thể kiểm tra, hoàn thiện bộ tài liệu. Xin chân thành cảm ơn!

PHẦN I: ĐỀ THI

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20163 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥 2 + 3𝑦 + 2𝑧3 = 3 tại 𝑀(2; −1; 1) Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 𝑦 = 2𝑐𝑥 − 𝑐 2 với 𝑐 là tham số.

Câu 3: (1đ). Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong 𝑦 = ln 𝑥 Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân: 1

1

∫ 𝑑𝑥 0

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

√2𝑥−𝑥 2

Câu 5: (2đ). Tính các tích phân kép sau: 𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 1 𝐷

𝑏) ∬ 𝐷

𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0} + 𝑦2

𝑥2

Câu 6: (1đ). Tính thể tích của vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt

𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 và 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦

Câu 7: (2đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó:

a) 𝑉 giới hạn bởi các mặt 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 và 𝑦 = 4 + 𝑥 2 b) 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦

Câu 8: (1đ). Tính tích phân +∞

2

𝑒 −𝛼𝑥 − 1 𝑑𝑥 với 𝛼 ≥ 0 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥2

0

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 2

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20172 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong ln(𝑥 2 + 3𝑦) − 3𝑧3 = 2 tại điểm 𝑀(1,0, −1). Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong 𝑐𝑥 2 − 2𝑦 − 𝑐 3 + 1 = 0 với 𝑐 là tham số. Câu 3: (1đ). Tính độ cong của đường 𝑦 = ln(sin 𝑥) tại điểm ứng với 𝑥 = 𝜋/4.

Câu 4: (2đ). Tính các tích phân sau: 𝑎) ∬(𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1 và 𝑦 = 0 𝐷

𝑏) ∬(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = −3𝑥 + 1, 𝑦 = −3𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥 𝐷

và 𝑦 = 𝑥 + 2 Câu 5: (1đ). Tính tích phân sau: 1

1

∫ 𝑑𝑥 ∫ 0

4

√𝑥

1 𝑑𝑦 +1

𝑦5

Câu 6: (1đ). Tính thể tích của vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt

𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 và 𝑧 = 3 − 2𝑥 2 − 𝑦 2

Câu 7: (1đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (3𝑥𝑦 2 − 4𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là miền xác định bởi 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 2,0 ≤ 𝑧 ≤ 2

Câu 8: (1đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là miền giới hạn bởi

các mặt 𝑦 = √𝑥 2 + 4𝑧 2 , 𝑦 = 2. Câu 9: (1đ). Tính tích phân

+∞

2

𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥 ∫ 𝑥 0

2

𝑑𝑥 với 𝑎, 𝑏 > 0

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 4

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20172 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong 𝑥 = 4 sin2 𝑡 , 𝑦 = 4 cos 𝑡 , 𝑧 = 2 sin 𝑡 + 1 tại điểm 𝑀(1; −2√3; 2) Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 3𝑐𝑥 − 𝑦 − 𝑐 3 = 0, với 𝑐 là tham số.

Câu 3: (1đ). Tính độ cong của đường cong 𝑥 = sin 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡 tại điểm ứng với 𝑡 = 𝜋 Câu 4: (2đ). Tính các tích phân kép sau: a) ∬ 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 2 − 𝑥 𝐷

b) ∬ 𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , vớ𝑖 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑦} 𝐷

Câu 5: (1đ). Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt

𝑥 = 9𝑦 2 + 𝑧 2 và 𝑥 = 9

Câu 6: (1đ). Tính tích phân sau: 1

1

1

2

∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑒 𝑦𝑧 𝑑𝑧 0

0

𝑥2

Câu 7: (1đ). Tính ∬𝐷 (4𝑥𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: 1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 4, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 9𝑥. Câu 8: (1đ). : Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là miền xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 𝑧, 𝑧 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2 Câu 9: (1đ). Tính tích phân +∞

3

𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥 ∫ 𝑥 0

3

𝑑𝑥 với 𝑎, 𝑏 > 0

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20173 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Tính độ cong tại 𝑡 = 0 của đường {

𝑥 = 𝑒 −𝑡 − sin 𝑡 𝑦 = 𝑒 −𝑡 − cos 𝑡

Câu 2: (1đ). Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện tại 𝐴(1,1,0) của mặt 𝑧 = ln(3𝑥 − 2𝑦)

′ Câu 3: (1đ). Cho hàm vecto 𝑝(𝑡) = (sin 2𝑡 , cos 2𝑡 , 𝑒 −𝑡 ) và 𝑟(𝑡) = (𝑡 2 + 1)𝑝(𝑡). Tính󰇍󰇍𝑟(0) 2

2−𝑥2

Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân 𝐼 = ∫−1 𝑑𝑥 ∫−𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

Câu 5: (1đ). Tính ∬𝐷 (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷 giới hạn bởi:

𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1

Câu 6: (1đ). Tính ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 2𝑦 − 1)2 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷 giới hạn bởi 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑥 − 2𝑦 = 1, 𝑥 − 2𝑦 = 2 Câu 7: (1đ). Tính ∭𝑉 𝑧√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 2 Câu 8: (1đ). Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn bởi 𝑥 = √𝑦 2 + 𝑧 2 ,

𝑥 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2

Câu 9: (1đ). Tính ∭ 𝑉

3𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 + 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 1

Với 𝑉 là nửa khối cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1, 𝑧 ≥ 0 Câu 10: (1đ) Tìm giới hạn cos 𝑦

lim ∫ 𝑦→0

sin 𝑦

arctan(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 + 𝑦2

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 2

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20182 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑒 𝑧 − 2𝑦𝑥𝑧 = 0 tại điểm 𝑀(1,0,0). Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: (𝑥 + 𝐶)2 + (𝑦 − 2𝐶)2 = 5. Câu 3: (1đ). Tính tích phân kép ∬𝐷 (𝑥 − 4𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 giới hạn bởi parabol 𝑦 = 𝑥 2 − 1 và trục 𝑂𝑥. Câu 4: (1đ). Tính tích phân lặp: 1

2

∫ 𝑑𝑥 1

∫

1 − cos 𝜋𝑦 𝑑𝑦 𝑦2

√𝑥−1

Câu 5: (1đ). Tính diện tích phần hình tròn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑦 nằm ngoài đường tròn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 Câu 6: (3đ). Tính các tích phân bội ba sau: 𝑎) ∭(3𝑥 2 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó miền 𝑉 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 2 𝑉

𝑏) ∭(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó 𝑉 được giới hạn bởi các mặt 𝑉

𝑐) ∭ 𝑉

𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑥 − 𝑦 = 2, 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 1 𝑦2

√4𝑧 − 𝑥 2 − 𝑧 2

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó V là miền xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 4𝑧, 𝑦 ≥ 0

Câu 7: (1đ). Tính độ cong tại điểm 𝑀(−1,0, −1) của đường cong là giao của mặt trụ 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 và mặt phẳng 𝑥 − 3𝑧 = 2. +∞

Câu 8: (1đ). Chứng minh rằng hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0

𝑒 −𝑥

1−cos(𝑥𝑦) 𝑥

𝑑𝑥 khả vi trên 𝑅.

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 3

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20182 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong 𝑥 = sin 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 , 𝑧 = 𝑒 2𝑡 tại điểm 𝑀(0,1,1). Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường 𝑥 = 𝑡 2 , 𝑦 = 𝑡 ln 𝑡 , 𝑡 > 0 tại điểm ứng với 𝑡 = 𝑒 Câu 3: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân 1

1

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 0

𝑥3

Câu 4: (2đ). Tính các tích phân sau: 𝑎) ∬ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , trong đó 𝐷: 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 𝐷

𝜋 𝜋 𝑏) ∬|cos(𝑥 + 𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦 , trong đó 𝐷 = [0; ] × [0; ] 2 2 𝐷

Câu 5: (1đ). Tính tích phân: 1

1−𝑥

2

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑧 ∫(𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦 0

0

0

Câu 6: (1đ). Tính thể tích của miền giới hạn bởi hai parabol 𝑥 = 1 + 𝑦 2 + 𝑧 2 và 𝑥 = 2(𝑦 2 + 𝑧 2 )

󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 : 𝑅 → 𝑅 3 \{0 󰇍 }. Ký hiệu |𝑟(𝑡)| là độ dài của 𝑟(𝑡). Chứng Câu 7: (1đ). Cho hàm vecto khả vi 𝑟(𝑡) minh: 1 𝑑(|𝑟(𝑡)|) = 𝑟(𝑡).󰇍󰇍𝑟󰇍′(𝑡). |𝑟(𝑡)| 𝑑𝑡 Câu 8: (1đ). Tính tích phân ∭𝑉 (2𝑦 − 𝑧)2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1 +∞

Câu 9: (1đ). Chứng minh rằng hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0

𝑒 −𝑥

sin(𝑥𝑦) 𝑥

𝑑𝑥 khả vi trên 𝑅.

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20183 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 𝑥 − 𝑐𝑦 + 𝑐 3 = 0

Câu 2: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của tại điểm 𝐴(1; 0; 1) của mặt 𝑧 = 𝑥𝑒 sin 2𝑦 Câu 3: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân: 𝑥2

1

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 0

−𝑥

Câu 4: (1đ). Tính ∬𝐷 sin(𝑥 2 + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 là miền: 𝑥 2 + 2𝑦 2 ≤ Câu 5: (1đ). Tính

𝜋 , 2

𝑦≥0

𝑥 +𝑦+2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (𝑥 + 1)(𝑦 + 1)𝑧

∭ 𝑉

Với 𝑉 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑒

Câu 6: (1đ). Tính thể tích miền 𝑉 giới hạn bởi các mặt 𝑥 = −(𝑦 2 + 𝑧 2 ) và 𝑥 = −1 cos 𝑦

Câu 7: (1đ). Tìm giới hạn lim ∫sin 𝑦 arctan(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 𝑦→0

Câu 8: (1đ). Tìm điểm có độ cong nhỏ nhất của đường 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4𝑥 Câu 9: (1đ). Tính (𝑦 + 1)2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 3

∭

Với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1

𝑦 ln(1+𝑥𝑦)

Câu 10: (1đ). Cho hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0

1+𝑥2

𝑑𝑥. Tính 𝐼′ (1)

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 2

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20192 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong 𝑥 3 + 𝑦 3 = 9𝑥𝑦 tại điểm (4,2) Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường {

𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡) tại điểm ứng với 𝑡 = 𝜋/2 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡)

Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong 2𝑥 2 − 4𝑥𝑐 + 2𝑦 2 + 𝑐 2 = 0, 𝑐 là tham số, 𝑐 ≠ 0 Câu 4: (1đ). Tìm giới hạn 𝜋 2

lim∫ cos(𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥

𝑦→0

0

Câu 5: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân: 1

√2−𝑥2

∫ 𝑑𝑥 ∫ 0

𝑥2

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

Với 𝑉 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑒

Câu 6: (1đ). Tính diện tích phần mặt 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2 nằm trong mặt 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9

Câu 7: (1đ). Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt cong 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 = 𝑦 2 , 𝑧 = 𝑥 2 và mặt 𝑂𝑥𝑦. Câu 8: (1đ). Tính ∬𝐷 (2𝑦 2 + 3)𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 là miền xác định bởi 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 1

Câu 9: (1đ). Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1,

𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 4,

𝑧≥0

Câu 10: (1đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦 2 𝑒 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó

𝑉: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦 + 2

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 3

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20192 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đường cong {

𝑡 = 𝜋/2

𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡) tại 𝑦 = 2(1 − cos 𝑡)

Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường cong 𝑦 = 𝑒 2𝑥 tại 𝐴(0,1) Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong 𝑦 = 4𝑐𝑥 3 + 𝑐 4 , với 𝑐 là tham số Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân 1

∫ 𝑑𝑦 ∫ 0

√2−𝑦2

√𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

Câu 5: (1đ). Tính ∬𝐷 4𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 là miền xác định bởi: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1,

𝑥 +𝑦 ≥ 1

Câu 6: (1đ). Tính thể tích miền 𝑉 giới hạn bởi mặt 𝑂𝑥𝑦 và mặt 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 Câu 7: (1đ). Tính ∭ √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

Với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1, √3(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ≤ 𝑧 Câu 8: (1đ). Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 6, 𝑧 ≥ 𝑥 2 + 𝑦 2 Câu 9: (1đ). Tính diện tích của miền giới hạn bởi 1

(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 4𝑥𝑦

Câu 10: (1đ). Cho hàm số 𝐼(𝑦) = ∫𝑦 sin(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥. Tính 𝐼′ (0)

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20193 Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi của sinh viên. Câu 1: (1đ). Xác định độ cong tại đường cong 𝑥 = √4𝑦 + 1 tại điểm (3,1)

Câu 2: (1đ). Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong 𝑦 2 = 3(𝑥 2 + 𝑧 2 ) tại điểm (√2, 3,1)

Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong: 𝑦 = (2𝑥 + 3𝑐)4

Câu 4: (1đ). Tính ∬𝐷 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , với D là miền phía trên parabol 𝑦 = 𝑥 2 và nằm phía trong đường tròn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2

Câu 5: (1đ). Tính ∭𝑉 √6𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 6𝑦 Câu 6: (1đ). Tính diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑥 = 𝑦 2

Câu 7: (1đ). Tính thể tích miền giới hạn bởi các mặt cong 𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 và 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2 nằm trong phần không gian có 𝑥 không âm.

Câu 8: (1đ). Tính diện tích mặt cong 𝑧 = 2𝑥 2 − 2𝑦 2 nằm trong hình trụ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 1

Câu 9: (1đ). Tính lim ∫0 (𝑥 + 3𝑦)√𝑥 2 + 𝑦 3 + 1𝑑𝑥 𝑦→0

Câu 10: (1đ). Khảo sát tính liên tục và khả vi của hàm số: 1

𝑔(𝑦) = ∫ 0

𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑦2

PHẦN II: LỜI GIẢI THAM KHẢO

LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20163 (ĐỀ 1)

Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥 2 + 3𝑦 + 2𝑧 3 = 3 tại 𝑀(2; −1; 1)

Giải:

Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 3𝑦 + 2𝑧 3 − 3 ⇒ 𝐹𝑥′ = 2𝑥, 𝐹𝑦′ = 3, 𝐹𝑧′ = 6𝑧 2 Tại 𝑀(2, −1,1), ta có 𝐹𝑥′ (𝑀) = 4, 𝐹𝑦′(𝑀) = 3, 𝐹𝑧′ (𝑀) = 6

Phương trình pháp tuyến của đường cong tại 𝑀(2, −1,1) là:

𝑥−2 𝑦+1 𝑧−1 = = 6 4 3

Phương trình tiếp diện của đường cong tại 𝑀(2, −1,1) là:

4(𝑥 − 2) + 3(𝑦 + 1) + 6(𝑧 − 1) = 0 ⇔ 4𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 − 11 = 0

Câu 2: Tìm hình bao của họ đường thẳng 𝑦 = 2𝑐𝑥 − 𝑐 2 với 𝑐 là tham số.

Giải:

Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 𝑦 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2

𝐹𝑥′ = 0 −2𝑐 = 0 Xét: {𝐹′ = 0 ⇔ { ⇒ Vô nghiệm ⇒ Họ đường thẳng không có điểm kì dị. 1=0 𝑦 2 𝐹=0 𝑦 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 = 0⇔ {𝑦 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 = 0 (1) Xét { ′ ⇔ { 𝐹𝑐 = 0 𝑥 = 𝑐 (2) −2𝑥 + 2𝑐 = 0

Thế (2) vào (1) ta có: 𝑦 − 2𝑥 2 + 𝑥 2 = 0 ⇔ 𝑦 = 𝑥 2 Vậy hình bao của họ đường thẳng là: 𝑦 = 𝑥 2

Câu 3: Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong 𝑦 = ln 𝑥

Giải:

𝑦 = ln 𝑥 (𝑥 > 0) ⇒ 𝑦 ′ =

1 ′′ −1 ,𝑦 = 2 𝑥 𝑥

Độ cong của đường 𝑦 = ln 𝑥 tại điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) bất kì là:

PHAM THANH TUNG

| 𝑥2 𝑥2 𝑥2 1 1 3 1 12 −11 3 13 1 3 2) 2) 1 + 𝑥2 3 | (1 (1 + 𝑥 + 𝑥 = 2 2. ( . ( (1 + ( = = ) = )2 ) ) 2 2 2 𝑥 2 𝑥 𝑥2 𝑥 2 2 1 = 3 1 𝑥 3 = 𝑓(𝑥) (1 + 𝑥 2 )2 . = (1 + 𝑥 2 )2

|𝑦 ′′| 3 𝐶(𝑀) = (1 + 𝑦 ′ 2 )

𝑥3 3 1 1 3 (1 + 𝑥 2 )2 − . 2𝑥. (1 + 𝑥 2 )2 . 𝑥 (1 + 𝑥 2 )2 − 3𝑥 2 . (1 + 𝑥 2 )2 2 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = = (1 + 𝑥 2 )3 (1 + 𝑥 2 )3 1

1

(1 + 𝑥 2 )2 . (1 + 𝑥 2 − 3𝑥 2 ) (1 + 𝑥 2 )2 . (1 − 2𝑥 2 ) = = (1 + 𝑥 2 )3 (1 + 𝑥 2 )3

Ta có: 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 =

Bảng biến thiên: 𝑥

𝑓 ′ (𝑥) 𝑓(𝑥)

0

1

√2

1

√2

+

0

−

𝑓 ( √2) 1

Vậy độ cong của đường 𝑦 = ln 𝑥 lớn nhất tại điểm 𝑀 ( Câu 4: Đổi thứ tự lấy tích phân:

Giải:

0≤𝑥≤1 Miền 𝐷: { √2𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 1

1

∫ 𝑑𝑥 0

(√2𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ⇔ 2𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 2 ⇔ {

+∞

1

√2

, ln

1

√2

)

1

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

√2𝑥−𝑥 2

(𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≥ 1 ) 𝑦≥0 PHAM THANH TUNG

Đổi thứ tự lấy tích phân 𝐷: {0 ≤ 𝑥 ≤ 1 − √1 − 𝑦 0≤𝑦≤1 1

⇒ ∫ 𝑑𝑥 0

1

1

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦

√2𝑥−𝑥 2

2

1−√1−𝑦2

0

∫

0

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

Câu 5: Tính các tích phân kép sau:

𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 1 𝐷

𝑏) ∬ 𝐷

𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0} + 𝑦2

𝑥2

Giải:

𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 1 𝐷

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1 Miền (𝐷): {𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 1

PHAM THANH TUNG

1

1

−1

𝑥2

1

𝑥𝑦 ∬ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 = ∫(3𝑥 + 1 − 3𝑥 3 − 𝑥 4 )𝑑𝑥 𝐷

𝑏) ∬ 𝐷

−1

=

5 8

Hình minh họa câu 𝑎

𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 : 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0} 𝑥2 + 𝑦2

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 Đặt {𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 |𝐽| = 𝑟

Miền (𝐷): {

1 ≤ 𝑟 ≤ 2 cos 𝜑 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/3 PHAM THANH TUNG

𝜋 3

𝑥𝑦 ∬ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜑 𝐷

𝜋 3

2 cos 𝜑

0

∫ 1

𝑟 cos 𝜑.𝑟𝑟2 sin 𝜑 𝜋 3

𝑟𝑑𝑟

𝜋 3

= ∫ 𝑑𝜑

2 cos 𝜑

∫ 1 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝑟

0

1 = ∫[4(cos 𝜑)2 − 1] cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝜑 −1 ∫[4(cos 𝜑)2 − 1] cos 𝜑 𝑑(cos 𝜑) 2 = 2 =

0

0

1 2

−1 9 ∫(4𝑡2 − 1)𝑡𝑑𝑡 = 32 2 1

Câu 6: Tính thể tích của vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 và 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦

Giải:

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 Xét giao tuyến của { ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 + 4𝑦 ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 5 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦 Hình chiếu của (𝑉) lên 𝑂𝑥𝑦 là: (𝐷): (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 ≤ 5

Thể tích miền (𝑉) là:

2𝑥+4𝑦

𝑉(𝑉) = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑧 𝑉

𝐷

= ∬(2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥 2 +𝑦2

= ∬{5 − [(𝑥 − 1) 2 + (𝑦 − 2)2 ]}𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

𝐷

𝑥 = 1 + 𝑟 cos 𝜑 0 ≤ 𝑟 ≤ √5 Đặt {𝑦 = 2 + 𝑟 sin 𝜑 |𝐽| = 𝑟. Miền (𝐷): { 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋

√5

⇒ 𝑉(𝑉) = ∬(5 − 𝑟 2 )𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ (5 − 𝑟 2 )𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋. 𝐷

0

0

25 25𝜋 = (đvtt) 4 2

PHAM THANH TUNG

trong đó: Câu 7: Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 a) 𝑉 giới hạn bởi các mặt 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 và 𝑦 = 4 + 𝑥 2 b) 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦

Giải:

a) 𝑉 giới hạn bởi các mặt 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 và 𝑦 = 4 + 𝑥 2

𝑦 = 2𝑥 2 −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 Hình chiếu 𝐷 của 𝑉 lên 𝑂𝑥𝑦 giới hạn bởi { ⇒ (𝐷) {2𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 4 + 𝑥 2 𝑦 = 4 + 𝑥2 2

4+𝑥2

𝑥2

∭ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 𝑉

4+𝑥2

∫ 𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑥 𝑑𝑦

2𝑥2

−2

2

0

−2

2𝑥2

2

2

4096 1 = ∫ 𝑥 2 [(4 + 𝑥 2 )2 − 4𝑥 4 ]𝑑𝑥 = 2 105 −2

b) 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦 Miền 𝑉: 𝑥 2 + 𝑦 2 ...