Übung 2 Produktionsfunktion nach Gutenberg Lösung PDF

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Produktionsfunktion nach Gutenberg G1: Gegeben seien die beiden variablen Produktionskoeffizienten (Stückverbrauchsfunktionen) a1 (d) und a2 (d) sowie die dazugehörigen Faktorpreise p1 und p2 : a1 (d) = 2d 2 − 16d + 40 [Stmm ] −→ p1 = 3 [ Euro ] u ¨ ck mm Liter Euro ] a2 (d) = 2, 5d 2 − 28d + 80 [ St ] −→ p2 = 4 [ Liter u ¨ ck a2 a1 . Geben Sie die zugehörigen Maßeinheiten und dopt 1. Berechnen Sie die faktoroptimalen Intensitäten dopt an. Die Intensität wird auf die Zeiteinheit „Stunde“ bezogen. a1 Stu ¨ ck a1 = 4d − 16 = 0 −→ dopt = 4 [Stunde ] ′

Stu ¨ ck a2 = 5, 6 [Stunde ] a2 = 5d − 28 = 0 −→ dopt ′

k 2. Geben Sie die minimalen Stückkosten k(dopt ) mit Maßeinheit an.

2.1 Überprüfen Sie, ob die Maßeinheiten der Stückverbrauchsfunktionen zu den Maßeinheiten der Faktorpreise passen. Nach Multiplikation der gegebenen Maßeinheiten der Stückverbrauchsfunktionen mit den Maßeinheiten der Faktorpreise muss für die Stückkosten eine sinnvolle Maßeinheit entstehen. Euro ] · [ Euro [ Stmm ] −→ [ St ] sinnvolle Maßeinheit für Stückkosten u ¨ ck mm u ¨ ck Liter Euro ] sinnvolle Maßeinheit für Stückkosten [ St ] · [ Euro ] −→ [St u ¨ ck u ¨ ck Liter

2.2 Entwickeln Sie die Stückkostenfunktion k(d). Die Stückkostenfunktion entsteht, indem wir die Stückverbrauchsfunktionen mit den zugehörigen Faktorpreisen multiplizieren und die so entstehenden Produkte addieren. Unser Beispiel: k(d) = p1 · a1 (d) + p2 · a2 (d ) k(d) = 3(2d 2 − 16d + 40) + 4(2, 5d 2 − 28d + 80) k(d) = 16d2 − 160d + 440 k 2.3 Ermitteln Sie die kostenoptimale Intensität dopt .

k(d) = 16d 2 − 160d + 440 ′

k = 32d − 160 = 0 Stu ¨ ck k dopt ] = 5 [Stunde

2.4 Geben Sie die minimalen Stückkosten und deren Maßeinheit an. k ) = 16 · (d k )2 − 160 · d k + 440 k(dopt opt opt k ) = 16 · 52 − 160 · 5 + 440 k(dopt k ) = 40 [ Euro k(dopt ] Stu ¨ ck

G2: Gegeben seien: a1 (d) = 4d 2 − 4d + 4 −→ p1 = 2 a2 (d) = 1d 2 − 2d + 3 −→ p2 = 4

1. Geben Sie an, wie hoch der Verbrauch des Faktors 1 in einer Arbeitswoche mit fünf Arbeitstagen (mit je a1 gearbeitet wird. acht Stunden Arbeitszeit) ist, wenn mit der faktoroptimalen Intensität dopt 1.1 Entwickeln Sie eine Berechnungsformel zur Ermittlung des Wochenverbrauchs r1 . a1 r1 = x · a1 (dopt ) a1 ·t x = dopt a1 1 · t · a1 (da r1 = dopt opt )

1.2 Geben Sie die Wochenarbeitszeit tW oche in Stunden an. age ] · 5 [ WT oche ] tW oche = 8 [ Stunden T ag

tW oche = 40 [ Stunden ] W oche a1 1.3 Berechnen Sie die faktoroptimale Intensität dopt . ′

a 1 = 8d − 4 = 0 a1 EP rod. = 0, 5 [ M dopt ] Stunde a1 1.4 Berechnen Sie den minimalen Stückverbrauch a1 (dopt ). 1 ) = 4 · 0, 52 − 4 · 0, 5 + 4 a1 (d aopt

a1 ) = 3 [ MMEEF 1 ] a1 (dopt P rod.

1.5 Geben Sie den Wert für den Wochenverbrauch r1 an. ME

ME

F1 F1 P rod. ] −→ r1 = 60 [ W oche ] ] · 3 [ MEP rod. r1 = 0, 5 [ ME ] · 40 [ Stunden W oche Stunde

2. Geben Sie die Kostenfunktion für den gesamten Bereich der Ausbringungsmenge x an. Treffen Sie Ihre Aussage für eine Woche mit fünf Arbeitstagen und acht Stunden je Arbeitstag. 2.1 In welchem Bereich kann sich x bewegen, wenn die maximale Intensität d max den Wert P rod. ] aufweist? 5 [ ME Stunde EP rod. ] · 40 [ Stunden ] 0 ≤ x ≤ d max · tmax −→ 0 ≤ x ≤ 5 [ M W oche Stunde

Gesamtbereich der Ausbringungsmenge: 0 ≤ x ≤ 200 k 2.2 Ermitteln Sie die kostenoptimale Intensität dopt und geben Sie die maximale Produktionsmenge an, die mit der kostenoptimalen Intensität hergestellt werden kann (Zeit: eine Woche mit fünf Arbeitstagen und acht Stunden je Arbeitstag).

Stückkostenfunktion: k(d) = 2(4d 2 − 4d + 4) + 4(1d 2 − 2d + 3) k(d) = 12d2 − 16d + 20 Kostenoptimale Intensität: ′

k (d) = 24d − 16 = 0 k = dopt

2 3

EP rod. [ MStunde ]

Gültigkeitsbereich: P rod. P rod. ] −→ 0 ≤ x ≤ 26 2 ] · 40 [ Stunden ] = 26 32 [ ME d kopt · tmax = 32 [ ME W oche Stunde W oche 3

2.3 Geben Sie für den in 2.2 ermittelten Bereich die Gesamtkostenfunktion an. In diesem Bereich (Bereich der zeitlichen Anpassung) kann mit der k kostenoptimalen Intensität dopt produziert werden. Dadurch werden k die minimalen Stückkosten k(dopt ) gewährleistet. Minimale Stückkosten: GE k ) = 12 · ( 2 )2 − 16 · ( 2 ) + 20 −→ k(d k ) = 14 2 [ k(dopt opt 3 3 3 M EP rod. ] 2 k ) · x −→ K(d k K (d kopt ) = k(dopt opt ) = 14 3 · x [GE] k gearbeitet werden muss. 2.4 Geben Sie an, in welchem Bereich für x mit einer Intensität d erf > dopt

Aus vorausgegangenen Berechnengen gilt für diesen Bereich (Bereich der intensitätsmäßigen Anpassung) 26 32 < x ≤ 200 k Da die Intensität jetzt nicht mehr konstant bei dopt gehalten x x zu verwenden. = 40 werden kann, ist als Intensität d erf = tmax

2.5 Geben Sie für den in 2.4 ermittelten Bereich die Gesamtkostenfunktion an. x 2 x ) + 20] · x ) − 16 · ( 40 K (x) = k(x) · x −→ K (x) = [12 · ( 40

Gesamtkostenfunktion: K(x) = 0, 0075 · x3 − 0, 4 · x2 + 20 · x Der dazugehörige Gültigkeitsbereich lautet: 2632 < x ≤ 200

2.6 Skizzieren Sie den Kostenverlauf. K 50000 49000 48000 47000 46000 45000 44000 43000 42000 41000 40000 39000 38000 37000 36000 35000 34000 33000 32000 31000 30000 29000 28000 27000 26000 25000 24000 23000 22000 21000 20000 19000 18000 17000 16000 15000 14000 13000 12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

x=

26

,6

6

x

0 0

10

20

zeitliche Anpassung K = 14,66x (Gerade)

30

40

50

60

70

intensitätsmäßige Anpassung 3 2 K = 0,0075x − 0,4x + 20x (kubische Parabel)

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

G3: Gegeben seien die folgenden drei Stückverbrauchsfunktionen: a1 (d) = 9d 2 − 36d + 40

a2 (d) = 1, 5d 2 − 9d + 15

p1 = 1

p2 = 1

a3 (d ) = 3, 5d 2 − 28d + 59 p3 = 1

1. Gegeben sei die folgende Tabelle: d a1 (d) a2 (d) a3 (d)

1 13 7,5 34,5

2 4 3 17

3 13 1,5 6,5

4 40 3 3

5 85 7,5 6,5

Lesen Sie aus der Tabelle ab: a2 a3 a1 , , dopt und dopt 1.1 die faktoroptimalen Intensitäten dopt a2 dopt =3

1 =2 d aopt

a3 dopt =4

1.2 die zu den faktoroptimalen Intensitäten gehörenden minimalen Faktorverbrauchswerte. 1 )=4 a1 (d aopt

a2 a2 (dopt ) = 1, 5

3 )=3 a3 (d aopt

2. Gegeben sei folgende Graphik: a

i ) a (dopt i 44 42 40 38 36 32 32

a

1 ) a (dopt 1 a

3 ) a (dopt 3

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

a

2 ) a (dopt 2

1

2

3

4

5

d

Lesen Sie aus der Graphik ab: a2 a3 a1 , , dopt und dopt 2.1 die faktoroptimalen Intensitäten dopt a2 a3 a1 dopt = 3 dopt = 4 d opt = 2

2.2 die zu den faktoroptimalen Intensitäten gehörenden minimalen Faktorverbrauchswerte. 1 )=4 a1 (d aopt

a2 a2 (dopt ) = 1, 5

3 a3 (d aopt )=3

3. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse in 1. mit denen in 2. Die Ergebnisse sind in beiden Fällen gleich. 4. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse durch entsprechende Berechnungen. a1 a1 (d) = 18d − 36 = 0 −→ dopt =2 ′

a1 1 a1 (d aopt ) = 9 · 22 − 36 · 2 + 40 −→ a1 (dopt )=4

′

a2 a2 (d) = 3d − 9 = 0 −→ dopt =3 a2 2 ) = 1, 5 · 32 − 9 · 3 + 15 −→ a2 (dopt ) = 1, 5 a2 (d aopt

a3 a3 (d) = 7d − 28 = 0 −→ dopt =4 ′

a3 3 ) = 3, 5 · 42 − 28 · 4 + 59 −→ a3 (dopt )=3 a3 (d aopt

5. Bestimmen Sie die Stückkosten, die minimal entstehen können. k(d) = 1(9d 2 − 36d + 40) + 1(1, 5d 2 − 9d + 15) + 1(3, 5d 2 − 28d + 59) k(d) = 14d2 − 73d + 114 ′

k k (d) = 28d − 73 = 0 −→ dopt = 2, 607142857 k k(d kopt ) = 14 · 2, 6071428572 − 73 · 2, 607142857 + 114 −→ k(dopt ) = 18, 83928573 ≈ 18, 84...