Neoklassische Produktionsfunktion und Arbeitsnachfrage PDF

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Neoklassische Produktionsfunktion und Arbeitsnachfrage Produktionsfunktion: �: ����� ���������� � : ������������� � : ������ �������������� �=�� ,� =�0,5�0,5= � �

a.) Zeigen Sie, dass diese Produktionsfunktion die folgenden Annahmen erfllt:     

Das Grenzprodukt ist positiv, aber abnehmend. N und K sind kooperative Faktoren

Aufgabe 1a: Annahmen zur Produktionsfunktion

Produktionsfunktion: (1) Das Grenzprodukt ist positiv:  � = � �, � = �0,5�0,5 = � �  �� = 0,5�−0,5�0,5 > 0 ��  �� = 0,5�0,5�−0,5 > 0 ��   Jede zus&tzliche Einheit Arbeit bzw. Kapital erh+ht die Produktion   (2) Abnehmendes Grenzprodukt:  (3) Kooperative Faktoren: ��  2 = −0,25�−1,5�0,5 < 0 ��2 ��  2 = −0,25�0,5�−1,5 < 0 ��2 2  � � = 0,25�−0,5�−0,5 > 0 ����

 �2� = 0,25�−0,5�−0,5 > 0

����  Zuw&chse werden immer geringer   Eine weitere Einheit Arbeit erh+ht die Grenzproduktivit&t des Kapitals. Vice versa, eine weitere Einheit Kapital erh+ht die Grenzproduktivit&t der Arbeit.   2  Aufgabe 1a: Annahmen zur Produktionsfunktion  Young‘s Theorem For any twice continuously differentiable function � � ,  �2�(�) �2�(�) = ∀ � ��� �  �� �� �� �� �� ��  z.B. Jehle, Rehny (2011). Advanced Microeconomic Theory. 3. ed. S. 557f   3  Neoklassische Produktionsfunktion und

Arbeitsnachfrage  Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �  b.) Skizzieren Sie die Produktionsfunktion fr einen fixen Kapitalstock von K = 4. Verwenden Sie ein Diagramm mit N auf der X- und Y auf der Y -Achse   4  � Aufgabe 1b: Produktionsfunktion skizzieren (� = �)  Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �   Y

      

N 5

� Aufgabe 1b: Produktionsfunktion skizzieren (� = �) Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �

Y 6● 4● 2●  N

  149  5

    

� Aufgabe 1b: Produktionsfunktion skizzieren (� = �) Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �

Y 6● 4● 2●  N

  �=�4

     

149 5

� Aufgabe 1b: Produktionsfunktion skizzieren (� = �) Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �

 Y  6● 4● 2●  N

  �=�4  1.) Positives Grenzprodukt

      

149 5

� Aufgabe 1b: Produktionsfunktion skizzieren (� = �) Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �

Y

 6● 4● 2●  N

  �=�4  1.) Positives Grenzprodukt 2.) Abnehmendes Grenzprodukt



   

149 5

� Aufgabe 1b: Produktionsfunktion skizzieren (� = �) Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � �

  Y  6● 4● 2●  N

  �=�4  1.) Positives Grenzprodukt 2.) Abnehmendes Grenzprodukt 3.) Kooperative Faktoren



 149  5

 Neoklassische Produktionsfunktion und

Arbeitsnachfrage  Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � � 

    

Y ● �=�9 �=�4 1.) Positives Grenzprodukt 2.) Abnehmendes Grenzprodukt 3.) Kooperative Faktoren

 N

  6●●

  4● 3● 2●   149  5  Neoklassische Produktionsfunktion und

Arbeitsnachfrage  Produktionsfunktion: � = � �, � = �0,5�0,5 = � � c.) Die Gewinnfunktion eines repr&sentativen Unternehmens (bei gegebenem Kapitalstock)   betr>:  � Π=�∙��,�− �∙�   ���o��  ��h�������  Leiten Sie die Arbeitsnachfrage her, indem Sie das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens fr die

angegebene Produktionsfunktion l+sen. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.  6  Aufgabe 1c: Herleitung Arbeitsnachfrage  Optimierungsproblem:  � maxΠ=�∙��,�−�∙�  �  0,5 � 0,5 maxΠ=�∙� � −�∙�  0,5 � 0,5 |��,�=� �   �  Bedingung 1. Ordnung: = 0,5� ∙ � �  �Π −0,5 � 0,5 ��  −�=0  | � ��h � �� �������   � −0,5 � 0,5 = 0,5� � �  ��(�,�) ��  Im Optimum entspricht der Reallohn der Grenzprodukt der Arbeit

    

7

Aufgabe 1c: Herleitung Arbeitsnachfrage Optimierungsproblem: � maxΠ=�∙��,�−�∙�

 �  0,5 � 0,5 maxΠ=�∙� � −�∙�  0,5 � 0,5 |��,�=� �   �  Bedingung 1. Ordnung: = 0,5� ∙ � �  �Π −0,5 � 0,5 ��  −�=0  | ���h � ���������   � −0,5 � 0,5 = 0,5� � �  ��(�,�) ��  0,5 � 0,5 � �=0,5� | �  �2  �  Im Optimum entspricht der Reallohn der Grenzprodukt der Arbeit

 

2

  �� � = 0,25�  7

 Neoklassische Produktionsfunktion und

Arbeitsnachfrage 

� −0,5

� 0,5 Bedingung im Optimum: � = 0,5� �

 � d.) Skizzieren Sie die Arbeitsnachfrage fr einen fixen Kapitalstock von � = 4. Verwenden Sie  ein Diagramm mit N auf der X- und W/P auf der Y -Achse.   8  Aufgabe 1d: Arbeitsnachfrage skizzieren  �

�=�   Bedingung 1. Ordnung:  � −0,5 � 0,5 = 0,5� � �  � 1 �� =  � |�=4   9  Aufgabe 1d: Arbeitsnachfrage skizzieren  Bedingung 1. Ordnung:  � −0,5 � 0,5 � = 0,5� � | � = 4 �



� 1 = � �� �

 �

�=�

     

� 9

Aufgabe 1d: Arbeitsnachfrage skizzieren Bedingung 1. Ordnung: � −0,5 0,5 � � = 0,5� � | � = 4 �

� 1 = � �� �  1●  � 

�=�

  0,5 0,33  ●   ●       

149

� 9

Aufgabe 1d: Arbeitsnachfrage skizzieren Bedingung 1. Ordnung: � −0,5 0,5 � � = 0,5� � | � = 4 �



� 1 = � �� �

 1●  �

�=�



 0,5 0,33  ●  � 1  ● = ��  �   149  9  Neoklassische Produktionsfunktion und

Arbeitsnachfrage

 e.) Gehen Sie von folgender Parametrisierung aus: W = 1, P = 2, K = 4. Berechnen Sie die Arbeitsnachfrage sowie die reale Produktion.  10  Aufgabe 1e: Arbeitsnachfrage, reale Produktion  Arbeitsnachfrage:  �2 ���   � =0,25� 

2 �

�

2

� =0,25∙4∙

=4 1  Reale Produktion:  � = �0,5�0,5 � = 40,5 ∙ 40,5 = 4  |�=1,�=2,�=4   | � = 4, � = 4   11  Neoklassische Produktionsfunktion und

Arbeitsnachfrage  � f.) Gehen Sie nun davon aus, dass der Kapitaleinsatz auf � = 9 steigt.  Berechnen Sie die Arbeitsnachfrage sowie die reale Produktion und interpretieren Sie Ihr Ergebnis....