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Technische Universität Chemnitz Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Professur für Produktionswirtschaft und Industriebetriebslehre

Übungsskript zur Vorlesung

Grundlagen der Produktionswirtschaft (Ausgabe Sommersemester 2019) Lösungen (Stand 28. März 2019)

Übung 1 : Produktionsfunktion nach Leontief Aufgaben L1, L2, L3

Übung 2 : Produktionsfunktion nach Gutenberg Aufgaben G1, G2, G3

Übung 3 : Produktionsprogrammplanung Aufgaben P1, P2, P3

Übung 4 : Mengen-/Materialbedarfsplanung Aufgaben M1, M2, M3

Übung 5 : Bestellmengen- und Losgrößenplanung Aufgaben B1, B2, B3

Übung 6 : Reihenfolge- und Rundreiseplanung Aufgaben R1, R2, R3

Produktionsfunktion nach Leontief L1: Die Matrix der Produktionskoeffizienten lautet:

A=



V1 4 3

V2 3 3

V3 2 5

V4 4 2

V5  5 R1 1 R2

Gegeben seien die folgenden Faktorpreise: p1 = 1; p2 = 2. Weiterhin seien die maximal verfügbaren Faktormengen gegeben: O1 = 16; O2 = 16 .

1. Geben Sie die Menge der effizienten Verfahren an. Ein paarweiser Vergleich der Verfahren ergibt: V2 dominiert V1 . Deshalb ist V1 nicht effizient. Effizient sind die Verfahren: V2 , V 3 , V4 und V5 . 2. Berechnen Sie die Stückkosten für die effizienten Verfahren. k2 = 1 · 3 + 2 · 3 = 9, 00 k3 = 1 · 2 + 2 · 5 = 12, 00 k4 = 1 · 4 + 2 · 2 = 8, 00 k5 = 1 · 5 + 2 · 1 = 7, 00 3. Geben Sie die Menge der kostengünstigsten Verfahren an. Das Verfahren V5 ist mit den Stückkosten k5 = 7,00 das kostengünstigste Verfahren. 4. Zeichnen Sie in das Faktordiagramm ein: • die Geraden für O1 und O2 • die Faktorstrahlen der effizienten Basisverfahren • den Bereich der Faktorkombinationen, die zur Produktionsmenge x = 3 führen • die Isoquante zur Ausbringungsmenge x = 3 abs • den Produktionspunkt mit der höchstmöglichen Ausbringungsmenge P (xmax )

• die Isoquante zur höchstmöglichen Ausbringungsmenge • den Expansionspfad (Minimalkostenpfad) Siehe Faktordiagramm.

O1 abs ) P(x max

V3

16

O2 Isoquante abs zu x max

15

13

Expansionspfad

14

V2

12

P

11

Is

10

o−

9

q

8

V 4

u a n

7

te

6

z u

5

x =

4

3

V5

3 2

ns Expa

ionsp

fad

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Das grau eingefärbte Dreieck (einschließlich der Dreiecksseiten) verkörpern die Faktorkombinationen, die zur Produktionsmenge x = 3 führen.

5. Geben Sie an, welche Zweierkombinationen sich auf der Isoquante zu x = 3 befinden und somit effizient sind. Auf der Isoquante zu x = 3 findet man die Kombinationen V23 , V24 , V25 , V45 . 6. Der Produktionspunkt P im Diagramm hat die Koordinaten r1 = 8 und r2 = 11. Zeigen Sie, dass in diesem Punkt die Produktionsmenge x = 3 erreicht wird. Graphisch: Der Produktionspunkt P liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen den Punkten r1 = 6 / r2 = 15 und r1 = 9 / r2 = 9. Diese Verbindungsstrecke gehört zum Bereich der Faktorkombinationen, die zur Ausbringungsmenge x = 3 führen. Der Punkt P liegt auf dieser Verbindungsstrecke und gehört somit ebenfalls zu diesem Bereich. Rechnerisch: Wir verwenden die Zweierkombination V23 . 8 = 3 · x2 + 2 · x3 und 11 = 3 · x2 + 5 · x3 Dann erhalten wir: x3 (P ) = 1; x2 (P ) = 2. Somit gilt: x(P ) = 3. 7. Welche Verfahren sollten eingesetzt werden, um die höchstmögliche Produktionsmenge herstellen zu können? Mit dem Verfahren V2 allein wird die höchstmögliche Produktionsmenge erreicht. 8. Geben Sie die Minimalkostenkombination für die Produktionsmenge x = 3 an. r1 = 15

r2 = 3

K (x = 3) = 1 · 15 + 2 · 3 = 21, 00

L2: Gegeben sei das folgende Faktordiagramm: r2

Isoquante zu xabs max

V2

O1

V1

12

O2

Expansionspfad

11 10 9 8

Is

7

oq

6

u

an

te

5 4

Is

o

3

q

ua

nt

2

e

zu

x

=

zu

x

=

2 V 3

fad sionsp Expan 1

fad sionsp Expan

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

r1

Weiterhin seien die Stückkosten für die Verfahren V1 und V3 bekannt: k1 = 7,20 und k3 = 4,40 (Geldeinheiten je Mengeneinheit Produkt). 1. Geben Sie die Menge der effizienten Verfahren an. Aus dem Diagramm ist zu erkennen, dass die Verfahren V1 , V2 und V3 effizient sind. 2. Geben Sie die Matrix der Produktionskoeffizienten an. Berücksichtigen Sie nur die effizienten Verfahren. V1 V2 V3   R1 3 2 6 A= R2 3 4 1 3. Berechnen Sie die Faktorpreise. V1 : k1 = 7, 20 = 3p1 + 3p2 V3 : k3 = 4, 40 = 6p1 + 1p2 Wir erhalten: p1 = 0,40 und p2 = 2,00 4. Stellen Sie fest, welches Verfahren am kostengünstigsten ist. k2 = 0,40·2 + 2,00·4 = 8,80 Bekannt sind k1 = 7,20 sowie k3 = 4,40. Somit ist das Verfahren V3 am kostengünstigsten. 5. Geben Sie an, mit welcher Zweierkombination die höchstmögliche Produktion erreicht werden kann. Mit V13 6. Zeichnen Sie den Expansionspfad (Minimalkostenpfad) in das Diagramm ein. Siehe Faktordiagramm. 7. Zeichnen Sie die Isoquante zur Produktionsmenge 1 und zur höchstmöglichen Produktionsmenge ein. Siehe Faktordiagramm.

8. Geben Sie die Kostenfunktion für den gesamten Bereich der Produktionsmenge an, d. h. für die Produkabs tionsmenge 0 ≤ x ≤ xmax . Stellen Sie diese Funktion graphisch dar. Lesen Sie aus der Graphik die Kosten für x = 4 ab. Verifizieren Sie den abgelesenen Wert durch eine entsprechende Berechnung. 1. Zunächst Berechnung der maximalen Ausbringungsmenge des kostengünstigsten Verfahrens (V3 ): 3 xVmax ; 12 } = = min{ 20 6 1

10 3

Somit gilt für den Bereich: 0 ≤ x ≤ K (x =

10 ) 3

= 4, 4 ·

10 3

=

10 3

die Kostenfunktion K (x) = 4, 4x

14 32

2. Die Menge xabs max wird mit der Zweierkombination V13 erreicht: R1 : 20 = 3 x1 + 6x3

R2 : 12 = 3 x1 + 1x3

Wir erhalten: x1 =

52 15

= 3, 46 und x3 =

8 5

=

24 15

abs = 1, 6 −→ xmax =

76 15

= 5, 06

In diesem Punkt entstehen Gesamtkosten von: 76 ) = 7, 20 · 52 + 4, 40 · 24 = 480 = 32, 00 K (x = 15 15 15 15 für den Bereich: 18, 66

10 3

≤x≤

76 15

gilt dann die Kostenfunktion K (x) = 10x −

K 32 31 30 29 28

K(x) = 10 x−1 8,66

27 26 25 24 23 22 21,33

21 20 19 18 17 16 15

14,67

14 13

4,4 x

12 11 10

K( x) =

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1

2

3 3,33

4

5

5,066

6

X

L3: Gegeben seien: • die Matrix der Produktionskoeffizienten für die folgenden drei effizienten Verfahren:

A=



V1 3 1

V2 2 2

V3  R1 1 R2 3

• die Faktorpreise p1 = 3 und p2 = 4 • die maximal verfügbaren Faktormengen O1 = 12 und O2 = 9 1. Zeichnen Sie die Geraden für O1 und O2 in das Diagramm ein. Siehe Faktordiagramm. 2. Zeichnen Sie die Faktorstrahlen der effizienten Verfahren in das Diagramm ein. Siehe Faktordiagramm. 3. Zeichnen Sie die Isoquante zu x = 1 in das Diagramm ein. Siehe Faktordiagramm. 4. Berechnen Sie die Stückkosten für die effizienten Verfahren. k1 = 3 · 3 + 4 · 1 = 13, 00 k2 = 3 · 2 + 4 · 2 = 14, 00 k3 = 3 · 1 + 4 · 3 = 15, 00 5. Geben Sie an, mit welcher effizienten Kombination die höchstmögliche Menge x erreicht werden sollte. Mit den Kombinationen V12 und V13 . 6. Berechnen Sie die höchstmögliche Produktionsmenge. Produktion mit V12 : R1 : 12 = 3x1 + 2x2 R2 : 9 = 1x1 + 2x2 abs = 5, 25 Wir erhalten: x1 = 1,5 und x2 = 3,75 −→ xmax Produktion mit V13 : R1 : 12 = 3x1 + 1x3 R2 : 9 = 1x1 + 3x3 abs = 5, 25 Wir erhalten: x1 = 3,375 und x3 = 1,875 −→ xmax 7. Geben Sie die Gesamtkosten für die höchstmögliche Produktionsmenge an. Kombination V12 : K(x = 5,25) = 13·1,5 + 14·3,75 = 72,00 Kombination V13 : K(x = 5,25) = 13·3,375 + 15·1,875 = 72,00

r

O 1

2

V3

9

V2

O2

8 7 6 5 4

V 1 e nt ua 1 oq = Is x zu

3 2 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

r 1...