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Wintersemester...

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Regelungstechnik I (WS 17/18)

Übung 4

Prof. Dr.–Ing. habil. Thomas Meurer, Lehrstuhl für Regelungstechnik Aufgabe 1. Gegeben ist die Übertragungsfunktion gˆ(s) eines linearen, zeitinvarianten, kontinuierlichen Systems anhand deren Pol- und Nullstellendiagramms in Abbildung 4.1. Geben Sie 4 Im

Polstelle Nullstelle Re

2 −10 −8 −6 −4 −2 −2

2

4

6

8

10

−4 Abb. 4.1: Pol- und Nullstellendiagramm.

die Übertragungsfunktion gˆ(s) so an, dass die stationäre Verstärkung der Übertragungsfunktion V = 2 beträgt. • Ist die Strecke BIBO-stabil? • Ist die Strecke sprungfähig? • Ist die Strecke phasenminimal? Aufgabe 2. Gegeben ist die Übertragungsfunktion ˆli (s) = gˆri (s)ˆ gi (s) eines offenen Regelkreises für die vier Fälle ˆ l1 (s) =

(s2

4(1 + s) − 1)(1 + 0.5s)(1 + 0.3s)

bzw. ˆl2 (s) =

(s2

1.4(1 + s) − 1)(1 + 0.5s)(1 + 0.3s)

und ˆ l3 (s) =

(1 + s)2 s(s − 1)(1 + 0.5s)

bzw. ˆl4 (s) =

(1 + s)2 . s(s2 − 1)(1 + 0.5s)

Die Abbildungen 4.2 (a)–(d) zeigen die jeweilige Ortskurve. Kennzeichnen Sie in den Ortskurven die Punkte ω = ±0, ω = ±∞ und den Durchlaufsinn. Beurteilen Sie die jeweilige Stabilität des geschlossenen Regelkreises mit einem Freiheitsgrad anhand des Nyquist-Kriteriums. Aufgabe 3. Zeichnen Sie das Bodediagramm und die Ortskurve für die Übertragungsfunktion gˆ(s) =

8(s + 20) . s(s + 1)(s + 4)

Konstruieren Sie zuerst das Bodediagramm. Bringen Sie dazu gˆ(s) in normierte Form und zeichnen Sie zunächst die Asymptoten der Teilübertragungsfunktionen. Die Ortskurve erhalten Sie durch Ablesen von Amplituden- und Phasenwerten aus dem Bodediagramm für jeweils gleiche ω-Werte und nachfolgende Berechnung von Re{ˆ g (iω)} und Im{g(iω)}. ˆ Aufgabe 4. Gegeben ist die Übertragungsfunktion gˆ(s) =

10 + 9s − s2 . (s2 − 0.4s + 1)(s + 100)

1

10 Imaginary Axis

Imaginary Axis

· 10−1 2 0 −2

5 0 −5 −10

−4

−3

−2 −1 Real Axis

0

(a) lˆ1 (s)

−1.5

−1 −0.5 Real Axis

0

(b) lˆ2 (s)

10 Imaginary Axis

10 Imaginary Axis

· 10−2

5 0 −5 −10 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5

0

5 0 −5 −10 −2

Real Axis (c) ˆl3 (s) Abb. 4.2: Ortskurven zu Aufgabe 2.

−1.5

−1

−0.5

0

Real Axis (d) lˆ4 (s)

Skizzieren Sie das Bodediagramm dieser Übertragungsfunktion. Bestimmen Sie anhand Ihrer Skizze näherungsweise den Betrag und die Phase bei ω1 = 10 rad/s und bei ω2 = 103 rad/s. Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit numerisch (M ATLAB , Taschenrechner) berechneten Werten.

2

100

Betrag (dB)

50

0

−50

−100 90

Phase (deg)

0

−90

−180

−270 10−2

10−1

100

101 Frequenz (rad/s)

3

Abb. 4.3: Bodediagramm für Aufgabe 3

102

103

100

Betrag (dB)

50

0

−50

−100

−150 90

Phase (deg)

0

−90

−180

−270 10−2

10−1

4

Abb. 4.4: Bodediagramm für Aufgabe 4

100

101 Frequenz (rad/s)

102

103

104

Regelungstechnik I (WS 17/18)

Lösung zur Übung 4

Prof. Dr.–Ing. habil. Thomas Meurer, Lehrstuhl für Regelungstechnik Lösung 1. Mittels Ablesen der Null- und Polstellen erhält man gˆ(s) =

k(s − 5)(s + 3)(s + 6) (s2 + 4s + 20)(s + 9)(s + 10)

(4.1)

Zur Bestimmung der stationären Verstärkung verwendet man den Grenzwertsatz mit dem Einheitssprung u ˆ(s) = s−1 . Dies führt auf V = lim sˆ g (s)s−1 = − s→0

k , 20

(4.2)

woraus für die geforderte stationäre Verstärkung V = 2 der Faktor k = −40 folgt. • BIBO-stabilität: Ja • Sprungfähigkeit: Nein

Amplitude

• Phasenminimalität: Nein

2

0

0

1

2

3

Time Abb. 4.5: Step response of gˆ(s).

5

Lösung 2.

(I) ˆl1 (s)

Zunächst bestimmt man 4 ˆ l1 (i0) = − 1

(4.3)

ˆ l1 (i∞) = 0.

(4.4)

und

Die entsprechende Phase für ein beliebiges ω erhält man über den Zusammenhang 



arg ˆl1 (iω ) = −π + arctan(ω) − arctan(0.5ω ) − arctan(0.3ω ).

(4.5)

Für 0 < ω ≪ 1 gilt arctan(ω) > arctan(0.5ω) + arctan(0.3ω) > 0, wodurch sich arg(lˆ1 (iω)) > −π ergibt, sodass die Nyquistkurve von ihrem linken Extremum bei −4 für ω = 0 mit steigendemω nach unten rechts läuft. Mit Hilfe dieser Informationen ist der Umlaufsinn bestimmt, welcher in Abbildung 4.6a dargestellt ist. Zur Bestimmung der Stabilität des geschlossenen Regelkreises wird das Nyquist–Kriterium ausgewertet (Satz 5.5 in der Formelsammlung) −2π 6= +2π.

(4.6)

Folglich ist das System nicht eingangs–ausgangs–stabil. Zur Veranschaulichung ist in Abbildung 4.6 das Nyquistdiagram mit Umlaufsinn, die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises, das Pol-Nullstellendiagramm und das Bodediagramm dargestellt.

6

· 10−1 4 Polstelle Im(s) [1/s]

Im(ˆl1 )

2

0

−2 −4

−3

−2 −1 Re(ˆl1 )

0

(a) Nyquistkurve der Übertragungsfunktion.

2 0 −2 −4 −6

−4

−2 Re(s) [1/s]

0

(b) Pol- und Nullstellendiagramm des geschl. Regelkreises.

· 106

Amplitude

1 0.5 0 −0.5 0

5

10

15

20

25 Time [s]

30

35

40

45

50

(c) Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

Betrag (dB)

50 0 −50

Phase (deg)

−100 −180

−270 10−1

100

101

102

Frequenz (rad/s) (d) Bodediagramm der Übertragungsfunktion. Abb. 4.6: Lösung zu Aufgabe 2 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lˆ1 .

7

(II) ˆl2 (s) Durch den Zusammenhang 1.4 ˆ ˆ l1 (s) l2 (s) = 4 können die gesuchten Punkte in der Ortskuve (ˆl2 (i0) = −1.4 = 1.4e−iπ und ˆl2 (i∞) = 0), sowie der Durchlaufsinn ohne Rechnung bestimmt werden. Gemäß des Nyquist-Kriteriums ist der geschlossene Regelkreis eingangs–ausgangs–stabil. Dies wird in Abbildung 4.7 mit Hilfe der Sprungantwort (Abbildung 4.7c), des Pol- und Nullstellendiagramms (Abbildung 4.7b) und des Bodediagramms (Abbildung 4.7d) verdeutlicht.

8

1

· 10−1 Polstelle 0.5 Im(s) [1/s]

Im(ˆl2 )

0.5 0 −0.5 −1 −1.5

−1

−0.5 Re(lˆ2 )

0 −0.5

0

(a) Nyquistkurve der Übertragungsfunktion.

−4

−3 −2 −1 Re(s) [1/s]

0

(b) Pol- und Nullstellendiagramm des geschl. Regelkreises.

Amplitude

6 4 2 0 0

5

10

15

20

25

30

35 40 Time [s]

45

50

55

60

65

70

Betrag (dB)

(c) Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

0 −50

Phase (deg)

−100 −180

−270 10−1

100

101

102

Frequenz (rad/s) (d) Bodediagramm der Übertragungsfunktion. Abb. 4.7: Lösung zu Aufgabe 2 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lˆ2 .

9

(III) ˆl3 (s) Zunächst wird das System in die Normaldarstellung überführt ˆ l3 (s) = −

(1 + s)2 . s(1 − s)(1 + 0.5s)

(4.7)

Hierbei ist leicht ersichtlich, dass für die zu bestimmenden Amplituden |ˆl3 (i0± )| = ∞

und |lˆ3 (±i∞)| = 0

(4.8)

gilt. Die Phase ergibt sich für beliebige ω zu 3π arg ˆl3 (iω) = − + 3 arctan(ω) − arctan(0.5ω), 2 



(4.9)

womit der in Abbildung 4.8a dargestellte Umlaufsinn bestimmt wird. Alternativ kann man die Übertragungsfunktion auch in Real- und Imaginärteil aufspalten ˆ l3 (iω) = −

10 + 2 ω 2 −4 + 6 ω 2 + 2 ω 4 − i . ω4 + 5 ω2 + 4 ω5 + 5 ω3 + 4 ω

(4.10)

Aus dieser Form lassen sich die Werte für verschiedene ω einfach bestimmen lim Re(lˆ3 (jω)) = 0

ω→±∞

lim Re(lˆ3 (jω)) = −2.5

ω→0+

lim Re(lˆ3 (jω)) = −2.5

ω→0−

lim Im(lˆ3 (jω)) = 0

(4.11)

lim Im(lˆ3 (jω)) = ∞

(4.12)

lim Im(ˆl3 (jω)) = −∞

(4.13)

ω→±∞ ω→0+

ω→0−

sodass sich der Umlaufsinn wie in Abbildung 4.8a dargestellt ergibt. Die Phasenänderung ergibt sich durch Ablesen aus dem Nyquistdiagram zu ∆arg(lˆ3 (iω) + 1) = +3π.

(4.14)

Der geschlossene Regelkreis ist somit gemäß dem Nyquistkriterium eingangs-ausgangs-stabil. Dies ist in Abbildung 4.8 anhand der Sprungantwort (Abbildung 4.8c) sowie des Pol-Nulstellendiagrams (Abbildung 4.8b) veranschaulicht. Abbildung 4.8d zeigt das dazugehörige Bodediagramm.

10

5

0.5

Im(s) [1/s]

1

Im(ˆl3 )

10

0 −5 −10 −3

−2

−1

0

0 −0.5 −1

Re(lˆ3 ) (a) Nyquistkurve der Übertragungsfunktion.

Polstelle Nullstelle −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 Re(s) [1/s]

0

(b) Pol- und Nullstellendiagramm des geschl. Regelkreises.

2

Amplitude

1.5 1 0.5 0 0

2

4

6

8

10

12 14 Time [s]

16

18

20

22

24

Phase (deg)

Betrag (dB)

(c) Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

20 0 −20 −90

−180 −270 10−1

100

101

102

Frequenz (rad/s) (d) Bodediagramm der Übertragungsfunktion. Abb. 4.8: Lösung zu Aufgabe 2 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lˆ3 .

11

(IV) ˆl4 (s) Man bemerke, dass ˆ l4 (s) =

s(s2

1 − iω (1 + s)2 = ˆl3 (iω) − 1)(1 + 0.5s) 1 + ω2

(4.15)

gilt. Dementsprechend ist der Umlaufsinn der Ortskurve derselbe wie bei ˆl3 , jedoch flacher für große ω. Die Phasenänderung wird durch die Multiplikation mit dem PT1 Glied beeinflusst, da der Punkt (−1, 0) nicht mehr umschlossen wird (siehe Abbildung 4.9a) und beträgt ∆arg(lˆ3 (iω) + 1) = −π.

(4.16)

Hieraus folgt direkt die Instabilität des geschlossenen Regelkreises. Im Bodediagram wird dies durch die Absenkung der Phase in ω = 1 = 100 um −π/2 durch das PT1-Glied deutlich (vgl. Abbildung 4.9d), wodurch die Phase −π nicht mehr überschreitet. In Abbildung 4.9 wird das Verhalten durch die Sprungantwort (Abbildung 4.9c) und das Pol-Nullstellendiagram (Abbildung 4.9b) veranschaulicht.

12

10 1 Im(s) [1/s]

Im(ˆl4 )

5 0 −5

0

−1

−10 −2

−1.5

−1

−0.5

0

Polstelle Nullstelle −1.5

Re(lˆ4 ) (a) Nyquistkurve der Übertragungsfunktion.

−1 −0.5 Re(s) [1/s]

0

0.5

(b) Pol- und Nullstellendiagramm des geschl. Regelkreises.

· 1013

Amplitude

2

0

−2 0

10

20

30

40 50 Time [s]

60

70

80

90

Betrag (dB)

(c) Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

20 0 −20

Phase (deg)

−180

100 Frequenz (rad/s)

10−1

101

(d) Bodediagramm der Übertragungsfunktion. Abb. 4.9: Lösung zu Aufgabe 2 mit der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lˆ4 .

Lösung 3. Es gilt s 40 1 + 20 .  gˆ(s) = s(1 + s) 1 + s4





(4.17)

13

Zur Konstruktion des Bodediagramms wird zunächst der Einfluss des Verstärkungsfaktors berechnet (4.18)

40 ≈ 32 dB.

Der Beitrag der entsprechenden Teilübertragungsfunktionen, sowie die Resultierende sind in Abbildung 4.11 dargestellt. Für die Konstruktion des Nyquistdiagrams kann die Information über Amplitude und Phase mittels der Beziehung gˆ(iω) = |ˆ g (iω)| eiarg(ˆg(iω)) = |ˆ g (iω)| (cos(arg (ˆ g(iω))) + i sin(arg (ˆ g (iω)))) .

(4.19)

verwendet werden. Durch Ablesen erhält man die in Tabelle 4.1 dargestellten Werte. Die dazugehörige Ortskurve ist in Abbildung 4.10 dargestellt. |ˆ g (iω)|dB

|g(iω) ˆ |

arg (ˆ g(iω))

10−1

52

398.1

−96.9◦

100 101

28.8 −15.6

27.54 0.17

−146◦ −216◦

102 103

−61.8 −102

8.9 · 10−4 7.9 · 10−6

−188◦ −181◦

ω

0

Im{ˆ g (iω)}

Im{ˆ g (iω)}

Tab. 4.1: Betrag und Argument von gˆ(s), abgelesen aus Abbildung 4.11.

−200 −400 −50

−40

−30

−20

−10

0

Re{ˆ g (iω)}

0 −5 −10 −10

−8

−6

−4

−2

0

Re{ˆ g (iω)}

Abb. 4.10: Nyquist-Ortskurve von gˆ(s) (Aufgabe 3).

14

40

100

1 + s/20

1/s

1/(1 + s)

1/(1 + s/4)

gˆ(s)

Betrag (dB)

50

0

−50

−100 90

Phase (deg)

0

−90

−180

−270 −2 10

10−1

100

101 Frequenz (rad/s)

Abb. 4.11: Bodediagramm für Aufgabe 3.

102

103

15

Lösung 4. Man beachte, dass das Zählerpolynom als Produkt geschrieben werden kann und bestimme zunächst die Übertragungsfunktion in Normalform gˆ(s) =

(s2

(1 + s)(1 − 0.1s) 10 + 9s − s2 = . − 0.4s + 1)(s + 100) 10(1 − 0.4s + s2 )(1 + 0.01s)

(4.20)

Für den Vorfaktor gilt 1 = −20 dB. 10

(4.21)

Der Beitrag der entsprechenden Teilübertragungsfunktionen, sowie die Resultierende sind in Abbildung 4.12 dargestellt. Man erhält folgende Werte bei der numerischen Auswertung: ω 10

1

103

|ˆ g (jω )| dB

arg (ˆ g(jω ))

−36.9

211 ◦

−60

96.2 ◦

Tab. 4.2: Nummerische Auswertung der Übertragungsfunktion gˆ(s) aus Aufgabe 4.

16

1/10

100

1+s

1 − s/10

1/(1 − 0.4s + s2 )

1/(1 + s/100)

gˆ(s)

Betrag (dB)

50 0 −50 −100 −150 270

Phase (deg)

180

90

0

−90 −2 10

10−1

100

101 Frequenz (rad/s)

Abb. 4.12: Bodediagramm für Aufgabe 4.

102

103

104

17...