Übung Vollständige Induktion PDF

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Übungsaufgaben mit ausführlichen Mitschriften für das im Titel genannte Thema....

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Mathematik I (Lineare Algebra) f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler WS 2016/2017

¨ 3. Ubung (01.11. - 04.11.2016) (Vollst¨ andige Induktion)

1. Beweisen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion: a)

n X

k=

k=1

b)

n X

n(n + 1) 2

(2k − 1) = n2

k=1

c)

n X

k2 =

k=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

2. Beweisen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion: ! 2 n X n+1 3 a) k = 2 k=1 b) |

n X

ak | ≤

n X k=0

| ak |

(ai ∈ R)

k=1

k=1

c)

n X

1 3k = (3n+1 − 1) 2

¨ Weitere Aufgaben zum Uben

3. Berechnen Sie die folgenden Summen (a)

4 X i=1

(b)

9 X

1 i(i + 2) (2j − 8)2

j=5

(c)

5 X k−1 k+1 k=1

1

4. Dr¨ ucken Sie die folgenden Summen in der Summennotation aus: (a) 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 199 + 201 2 1

(b)

97 + 23 + 34 + ... + 96

(c) 4 · 6 + 5 · 7 + 6 · 8 + ... + 38 · 40 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + n x x x x

(d)

(e) 1 +

x6 x32 x2 x4 + + + ... + 33 3 5 7

(f) 1 −

1 2

+ 31 − 41 + ... −

1 80

+ 811

5. Berechnen Sie die folgenden Summen 10 X 2 (a) k=3 8 X

(b)

(d)

(c)

i

i=2 3 X

(n + 1)! (n + 2)! n=0 ! 5 X 5 (f) uk v 5−k k k=0

(e)

i

k=3

7 X

5 X

k

i=2

6. Beweisen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion: a)

n X

k(k + 1) =

n(n + 1)(n + 2) 3

(3k − 2) =

n(3n − 1) 2

k=1

b)

n X k=1

2...