Vollständige Induktion Gleichungen und Ungleichungen PDF

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Summary

Eine Orientierung für den Induktionsschritt in Gleichungen und Ungleichungen. Dieses Schema dient als gedankliches Hilfsmittel, um die Schritte klar und deutlich darzustellen und zu verstehen....

Description

Höhere Mathematik I für Maschinenwesen und Chemieingenieurwesen

Die vollständige Induktion Zu beachten: Die folgende Erklärung ist als eine Orientierung für den Induktionsschritt gedacht, um Induktionsaufgaben zur HM1 zu lösen. Das Format des Induktionsschrittes und der Induktionsbehauptung können je nach Lernweg abweichen. Das folgende Schema kann am effektivsten auf Gleichungen und Ungleichungen angewandt werden. Bei Aufgaben, wie der Beweis mit vollständiger Induktion der Teilbarkeit oder einer Ableitung ist die folgende Methode nicht praktisch und ist davon abzusehen. Selbstverständlich ist das Schema anwendbar auf trigonometrische und andere (Un)gleichungen.

Induktionsschritt für eine Gleichung Allgemeines Schema 1. Ziel

A=C

2. Umformen

A = B1 + A1

3. Behauptung nutzen

B1+A1 = B2+A1

4. Behauptung umformen

B2+A1 = C

Induktionsschritt für eine Ungleichung Allgemeines Schema (Eins von beiden) 1. Ziel

A≥C

A≥C

2. Umformen

A = B1 * A1

A = B1 + A1

3. Behauptung nutzen

B1 * A1 ≥ B2 * A1

B1+A1 ≥ B2+A1

4. Behauptung umformen

BA1 ≥ C

B2+A1 ≥ C

Höhere Mathematik I für Maschinenwesen und Chemieingenieurwesen Beispiel für den Beweis einer Gleichung per Induktion ∑ni=1 𝑖 2 = (n)(n+1)(2n+1) 6

Beweise mit vollständiger Induktion, für ∀ n ∈ ℕ.

B1 = B2 Für n = 1 gilt 12 =

Induktionsanfang Induktionsbehauptung

Es gilt ∑ni=1 i2 =

n(n+1)(2n+1) 6

für ein n ∈ ℕ

(n+1)(n+2)(2n+3)

2 ∑n+1 i=1 i =

Induktionsschritt 1. Ziel

1(2)(3) 6

6

A=C 2. Umformen von A

2 2 2 n ∑n+1 i=1 i = ∑ i=1 i + (n + 1)

A = B1 + A1 3. Behauptung nutzen. A enthält die Behauptung

∑ni=1 i2 + (n + 1)2 =

(n)(n+1)(2n+1) 6

+ (n + 1)2

B1 + A1 = B2 + A1 4. Behauptung umformen

(n)(n+1)(2n+1) 6

+ (n + 1)2 =

(n+1)(n+2)(2n+3) 6

B2 + A1 = C Ab hier wird versucht die Form „C“ zu erreichen

(n+1)(2n2 +n) 6

(n + 1) (

+

6(n+1)2 6

2n2 +7n+6 6

(n+1)(n+2)(2n+3) 6

Somit gilt ∑ ni=1 𝑖 2 =

)= =

(n)(n+1)(2n+1) 6

=

für ∀ n ∈ ℕ.

Höhere Mathematik I für Maschinenwesen und Chemieingenieurwesen Beispiel für den Beweis einer Ungleichung per Induktion Beweise mit vollständiger Induktion, für ∀ n ∈ ℤ+ .

2𝑛 > 𝑛 B1 = B2

Induktionsanfang Induktionsbehauptung

Induktionsschritt 5. Ziel

Für n = 1 gilt 21 > 1 Es gilt 2𝑛 > 𝑛 für ein n ∈ ℤ+ 2𝑛+1 > 𝑛 + 1 A>C

6. Umformen von A

2𝑛+1 = 2𝑛 ∗ 2 A = B1 * A1

7. Behauptung nutzen. A enthält die Behauptung

2𝑛 ∗ 2 ≥ 𝑛 ∗ 2 B1 * A1 = B2 * A1

8. Behauptung umformen

𝑛∗2>𝑛+1 B2 * A1 > C

In Schritt 6 wird angenommen n = n+1, also ist n > 1

n>1 +

Somit gilt 2𝑛 > 𝑛 für ∀ n ∈ ℤ ....