Merkblatt Gleichungen Ungleichungen PDF

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1.1.0

¨ Aquivalenzumformungen fu ¨ r Gleichungen Auf beiden Seiten sind dieselben erlaubten Rechenoperationen durchzuf¨uhren. Erlaubt: • Addition bzw. Subtraktion eines beliebigen Terms • Multiplizieren mit bzw. Dividieren durch einen Term, der nicht 0 werden kann • Potenzieren mit einem ungeraden, nat¨ urlichen Exponenten • Ziehen einer ungeraden Wurzel

Bei folgenden Operationen muss man aufpassen: 1. Multiplizieren/Dividieren mit Ausdruck

Fallunterscheidung, falls Ausdruck 0 wird

2. Kehrwert der Gleichung

Fallunterscheidung, falls Ausdruck 0 wird

3. Aufl¨ osen eines Betrages

u ¨bliche Fallunterscheidung

4. Potenzieren mit geradem, nat¨urlichen Exponenten

Scheinl¨osungen k¨ onnen entstehen, Probe n¨otig

5. Ziehen einer geraden Wurzel

Fallunterscheidung (bzw. ± setzen!)

Beispiele: 1.

x(x − 1) = 2(x − 1)

2.

1 1 = x2 x

3.

|x − 1| = 1

4.

x=1

5.

x2 = 1

   : (x − 1) ⇒ −1  ⇒ 

2  

x = 2 oder x = 1 x2 = x also nur x = 1, da x = 0 nicht erlaubt ist!

⇒

x = 0 oder x = 2

⇒

x2 = 1 hat zus¨ atzlich Scheinl¨ osung x = −1.

⇒

x = 1 oder x = −1. Zusammen: x = ±1

¨ Aquivalenzumformungen fu ¨ r Ungleichungen Vergleiche oben. Zus¨atzlich muss beachtet werden, dass sich das Ungleichungszeichen bei folgenden Rechenoperationen umkehrt: • Multiplikation mit bzw. Division durch einen negativen Term • Potenzieren mit einem negativen Exponenten (z.B. Kehrwert bilden). Hier m¨ussen zus¨ atzlich beide Seiten ungleich 0 sein! • Logarithmieren zu einer Basis kleiner 1 • Exponentieren mit einer Basis kleiner 1...