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Zusammenfassung Mathematik 1b

Gleichungen Lösungen einer Gleichung:  Eine Zahl heißt genau dann Lösung der Gleichung mit der Unbekannten x, wenn durch Ersetzen von x durch die Zahl auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe steht Beispiel:  2 * x2 = 32 – 12 *x x = 2 ist eine Lösung, denn 2 * 22 = 32 - 12 * 2  8 = 8 x = 0 ist keine Lösung, denn 2 * 02 = 32 – 12 * 0  0 = 32 Äquivalenzumformungen:  2 Gleichungen heißen zueinander äquivalent, wenn sie dieselben Lösungen haben  Zwischen äquivalenten Gleichungen steht das Äquivalenzzeichen  Jede Umformung einer Gleichung, bei der die Lösungen unverändert bleiben, heißt Äquivalenzumformung Spezielle Gleichungen:  Bruchgleichungen 

Alle Brüche der Gleichung müssen beseitigt werden 1. Möglichkeit: Jeden Bruch einzeln beseitigen durch Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner des jeweiligen Bruchs 2. Möglichkeit: Alle Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen und dann beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multiplizieren

Beispiel: 2-

1 x +4

=

3 x

(=) 2 * ( x + 4) – 1 = -

| * (x + 4) 3∗( x+4 ) x

|*x

(=) 2 * x * (x + 4) – x = -3 * (x + 4)

|Klammern auflösen

(=) 2 * x2 + 8 * x – x = - 3 * x – 12

|Alle x – Terme auf eine Seite bringen  + 3x

(=) 2 * x2 + 8 * x – x + 3 * x = - 12

|x – Terme zusammenfassen

(=) 2x2 + 10x = -12

|:2

(=) x2 + 5x = -6

|pq – Formel

p x1,2 = 2

+/-

p 2 ¿ +q 2 ¿ √¿

5 5 x1,2 = 2

5 +/2

2 ¿ −6 = 2 ¿ √¿

+/-

25

√

x1 = -2 und x2 = -3

=-

24 − 4

5 2

+/-

√

1 4

=-

5 1 +/2 2

 Gleichungen mit Variablen 

Variablen, die von der Unbekannten x verschieden sind, stehen stellvertretend für Zahlen und werden daher wie feste Zahlen behandelt

Beispiel: a) -x2 – x = -2 b) 2x2 – x = -2  w * x2 – x = -2 (=) x2 -

x w

=-

(=) x2 -

1 w

*x=-

−1 x1,2 = - w 2

|:w

2 w

| 2 w

x1,2 =

1 2w

+/-

x1,2 =

1 2w

+/-

√ √

1 w

* x ersetzt

| vereinfache

1 2 2 ¿− w +/- 2 w ¿ √¿

1 x1,2 = 2w

wird durch

|pq – Formel

−1 w 2 2 ¿− 2 w ¿ √¿

+/-

x w

|Klammer auflösen

2 1 − 2 4w w

|Brüche im Wurzel auf gemeinsamen Nenner 4w2 bringen

=

1 2w

1 2

+/-

8w 1 − 2 2 4w 4 w

+/-

√

1−8 w 4 w2

a) w = -1 x=-

1 2

+/-

√

1 4

+/-

√

9 4

=-

3 2

 x = -2 und x = 1

b) w = 2 x=

−15 16

=-

1 2

+/-

3 2

 Keine Lösung

 Lineare Gleichungen   

Bestehen beide Seiten einer Gleichung mit der Unbekannten x höchstens aus Summanden der Form Zahl, Zahl * x, so liegt eine lineare Gleichung vor Lineare Gleichungen sind die am häufigsten vorkommenden Gleichungen Lineare Gleichungen haben stets genau eine Lösung

Vorgehensweise beim Lösen: 1. Alle x – Terme auf die linke Seite bringen, den Rest auf die rechte Seite 2. Falls es mehrere Summanden mit x gibt, müssen alle x Terme zusammengefast werden (durch Ausklammern von x)

3. x isolieren indem man die Gleichung durch den Faktor bei x dividieren Beispiel:  3x + 2 = x + 24 – 9x

|+9x / -x / -2

(=) 3x + 9x - x = 24 – 2

|x ausklammern

(=) x (3 + 9 – 1) = 22

|Klammer vereinfachen

(=) x * 11 = 22

|:11

x=2 Auflösen oder umstellen einer Gleichung nach einer Variable x  Erfordert dieselbe Vorgehensweise wie das Lösen der Gleichung nach x Beispiele: I=

U 1−U 2 R

(=) I =

U 1−U 2 R

nach R auflösen |*R

(=) I * R = U1 – U2 R=

|:I

U 1−U 2 I

U I=

R1 nach R2 auflösen + R2 n U

(=) I =

(=) I * ( (=)

|*

R1 + R2 n R1 n

+ R2) = U

I∗R 1 + I * R2 = U n I∗R 1 n

(=) I * R2 = U -

I∗R 1 n∗I

R2 =

U I

R2 =

U ∗n I∗n

R2 =

U ∗n−I∗R1 I∗n

-

-

I∗R 1 n∗I

Einfache Potenzgleichungen

R1 n

+ R2

|Klammern beseitigen durch Ausmultiplizieren |-

I∗R 1 n

|:I |Brüche auf den Gemeinsamen Nenner I * n bringen

 Enthält eine Gleichung die Potenz xn und kommt die Unbekannte x ansonsten nicht mehr vor, so handelt es sich um eine einfache Potenzgleichung Beispiele:  x7 + 3 = 0

|-3

x7 = -3 ¿−3∨¿ =7 √¿

x=-

√3 7

 x-2 = 4 1 x2

|* x2

=4

1 = 4x2

|Seiten vertauschen / 4

1 4

x2 =

x = +/1 2

x=

|Wurzel ziehen

√

= +/-

1 2

und x = -

1 2

1 4

Wurzelgleichungen  Alle Wurzeln müssen beseitigt werden  Dazu quadriert man beide Seiten der Gleichung  Das Quadrieren der Gleichung muss solange durchgeführt werden, bis keine Wurzel mehr vorkommt  Durch das Quadrieren können „falsche Lösungen“ hinzukommen, daher ist zuletzt eine Probe durch einsetzen erforderlich Beispiele: 

√ 11−x

-1=x

|+1 (Wurzel isolieren)

(=)

√ 11−x

=x+1

|quadrieren

(=) (

√ 11−x )2 = (x + 1)2 |Klammern auflösen

(=) 11 – x = x2 + 2x +1

|x – Terme auf eine Seite bringen

(=) -x2 – 2x – x = -10

|zusammenfassen

(=) -x2 – 3x = -10

|*(-1)

(=) x2 + 3x = 10

|pq – Formel

3 x=+/2

3 2 ¿ +10 3 2 =2 ¿ √¿

x = -5 und x = 2 Probe: x = 2:

√ 9 – 1 = 2 , richtig

x = -5:

√ 16 – 1 = -5, falsch

+/-

√

9 40 + 4 4

=-

3 2

+/-

√

3 49 =2 4

+/-

7 2

 (=)

√ t + √ 1−3 t = 1 √ 1−3 t = 1 - √ t

(=) 1 – 3t = (1 -

√ t )2

(=) -4t = 1 - 2

√t + t

(=) -4t = -2

|einer der beiden Wurzeln isolieren -> |quadrieren

| 2. Binomische Formel | Wurzelterm isolieren -> -1 / -t

√t

|: (-2)

√t

(=) 2t =

|quadrieren

(=) 4t2 = t

| -t

(=) 4t2 – t = 0

|:4

t2 -

1 t 4

t=

1 4 2

√t

=0

|pq – Formel

1 4 2 +/- 2 ¿ = ¿ √¿

1 8

+/-

√

1 64

=

1 8

+/-

1 8

 t = 0 und t =

1 4

Probe: t=0: t=

√ 0 + √ 1−3(0) = 1 -> 1 = 1, also richtig

1 4

:

√

1 4

+

√

1 1−3( ) = 1 -> 1 = 1, also richtig 4

Lösungsmethoden Substitution  innerhalb einer Gleichung wird ein von x abhängiger Ausdruck durch u ersetzt (substituiert) und zwar so, dass die Unbekannte x in der Gleichung nicht mehr vorkommt Beispiel:  (x2 + 2)4 = 16  u = x2 + 2 (=) u4 = 16

|nach u lösen, 4. Wurzel

(=) u = ± √4 16 = +- 2 (=) u = -2 und u = 2

|zurücksetzen

(=) x2 + 2 = -2 und x2 + 2 = 2

|beide Gleichungen nach x lösen

x2 = -4  keine Lösung x2 = 0  Lösung

Biquadratische Gleichung  x4 + 6x2 = -8

|x4 = (x2)2

(=) (x2)2 + 6x2 = -8

|u = x2

(=) u2 + 6u = -8

|+8

u2 + 6u + 8 = 0 u = - 3 +/-

|pq – Formel

√ 9−8 = -3 +/- 1

u = -4 und u = -2

|zurücksetzen

x2 = -4  keine Lösung x2 = -2  keine Lösung

Nullproduktgleichung  eine Nullproduktgleichung liegt vor, wenn auf einer Seite der Gleichung Null steht und auf der anderen Seite ein Produkt  häufig kann man eine Gleichung durch Ausklammern auf Nullproduktform bringen

Beispiele:  (x – 3) * ( x2 + 4) *

√ x+2 = 0

1. x – 3 = 0  x = 3 2. x2 + 4 = 0  x2 = -4  keine Lösung 3. √ x+2 = 0  x + 2 = 0  x = -2  3 und -2 sind die gesuchten Lösungen

 x2 = 2x

|-2x

x2 – 2x = 0

|x ausklammern

x * (x – 2) = 0

|Nullproduktform

1. x = 0 2. x – 2 = 0  x = 2  Quadratische Gleichungen vom Typ ax2+bx = 0 bringt man am besten durch Ausklammern von x auf Nullproduktform, die pq - Formel ist hier zu aufwendig...