Maxwell Gleichungen - Physics PDF

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Maxwell Gleichung ...

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Maxwell -Gleichungen

Die maxwellschen Gleichungen stellen mit der Lorenzkraft das Fundament der Elektrodynamik. Das heißt, das Gesamt Wissen der Elektrodynamik basiert auf diesen Gleichungen. Die Frage die sich bestimmt der ein oder andere sich Stellt ist, was zum Teufel ist die Elektrodynamik? – Die klassische Elektrodynamik beschäftigt sich mit bewegten elektrischen Ladungen und mit zeitlich veränderten elektrischen und magnetischen Feldern. Dieses Teilgebiet der Physik bestimmt unseren Alltag. Wie das? Digitalgeräte (Handys oder Computer) basieren auf den Maxwell Gleichungen sowie auch elektrische Generatoren womit Strom gewonnen wird von den Kraftwerken, basieren auf diesen Gleichungen. Und das alles ist nur ein kleiner Teil. Was die Maxwell Gleichungen daher so wichtigmachen. Also wir sehen ohne die Maxwell Gleichungen könnte unser Alltag sehr leer aussehen. Da im Folgenden ich versuchen werde die Gleichungen so verständlich wie möglich rüberzubringen, sollte gesagt sein, dass die Gleichungen 1 oder 2 Semester im Physik Studium behandelt werden. Alle die im Bereich ingenieurwissenschaftlichen Bereich mal unterwegs sein möchten, können von diesen Gleichungen nicht weglaufen. Und biete hiermit eine Einführung in das Thema an. Es soll also eine Unterstützung sein um die mathematischen sowie physikalischen Inhalte besser verstehen zu können. Jetzt werde ich kurz die vier Maxwell Gleichung repräsentieren. Man unterscheidet zwei Darstellungsformen - Integrale Darstellungsform - Differentielle Darstellungsform Aber warum braucht man jetzt zwei verschiedene Darstellungsformen? Reicht nicht nur eine? Also die Integrale Darstellungsform ist nützlich um die Felder im ganzen Raum zu berechnen und eignet sich besonders gut zur Berechnung symmetrischen Problemen sowie zur Berechnung eines elektrischen Feldes z.B. einer geladenen Kugel, geladenen Zylinder oder einer geladenen Ebene. Die Differentielle Darstellungsform, wie der Begriff Differentiell schon besagt, werden hier Ableitungen verwendet (partielle Ableitungen). Diese Darstellungsform ist nützlich, wenn man die magnetischen und elektrischen Felder an einem einzigen ortspunkt ausrechnen will und eignet sich für komplexe numerische Rechnungen mithilfe von Computern oder Beispielsweise Herleitung der elektromagnetischen Wellen. So ist die Darstellungsform viel kompakter! Hier könnte ich jetzt noch hinzufügen, dass ich den Gauß-Integraltheorem und Stokes – Integraltheorem nicht erklären werden, weil nur dadurch der mathematische Inhalt steigen würde. Und man nur diese Theoreme braucht um die Maxwell Gleichungen um zuschreiben, dass heißt unter den Darstellungsformen umzuwandeln.

Maxwell -Gleichungen

1. Maxwell Gleichung: Gaußscher Satz für Elektrizität Q

∮ E ⋅ⅆ a = ε 0

Integral Form:

A

1 ∇⋅  E= ρ Differentielle Form:  ε0 2. Maxwell Gleichung: Gaußscher Satz für Magnetismus Integral Form:∮  A =0 B⋅ ⅆ  A

B =0 Differentielle Form:  ∇⋅  3. Maxwell Gleichung: Faraday’sches Gesetz Integralform:

−∂

∮ E ⋅ⅆ l= ∂ t ∫ B ⋅ⅆ A L

A



−∂ B E= ∇×  Differentielle Form:  ∂t 4. Maxwell Gleichung: Ampere- Maxwellsches Gesetz Integralform:

∮ B ⋅ ⅆ l =μ 0 I +μ0 ε0 ∂t∂ ∫ E ⋅ ⅆ A L

A

(

B=μ 0 j + ε 0 ∇× Differentielle Form: 

E ∂ ⋅ⅆ A ∂t

)

So bitte jetzt nicht aufhören zu lesen. Denken Sie dran diese Gleichungen sollen im Anschluss grob verstehen werden. Nicht aufgeben ist das Motto für heute. Denn nur mit einmal Lesen wird man es nicht verstehen, die Beschäftigung mehrerer Tage lassen ein besseres Verständnis entwickeln. Nach den kurzen Ansprachen fangen wir jetzt richtig an. Um alle Maxwell Gleichungen verstehen zu können, klären wir kurz ab, was ein elektrisches und magnetisches Feld ist. Ein elektrisches Feld per se ist der Zustand des Raumes um einen elektrisch geladenen Körper, in dem auf andere elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt werden.1 1 Quelle: Schulbuch: Duden Physik

Maxwell -Gleichungen Zudem gibt das elektrische Feld  E die elektrische Kraft an, die auf eine kleine Ladung q wirken würde, wenn sie im Abstand r zu Punktladung bzw. Quellladung Q platziert wird.  als Vektor im dreidimensionalen Raum wie wir aus der Das elektrische Feld E analytischen Geometrien Wissen, drei Komponenten.

 E =

() Ex Ey Ez

Wie man sieht handelt es sich um ein Vektorfeld und nicht um ein skalares Feld. Die erste Komponente Ex (x,y,z) hängt von den Raumkoordinaten x,y,z ab. Die Komponenten des elektrischen Feldes geben praktisch an, welche elektrische Kraft auf eine Probeladung an einem bestimmten Punkt bzw. Ort in die eine, zweite oder dritte Raumrichtung wirken würde. Die magnetische Flussdichte (Magnetfeld) die vor allem fundamental in der zweiten und vierten Maxwell Gleichung sind. Ein magnetisches Feld ist der Zustand des Raumes um einen Magneten in dem auf andere Magnete bzw. Körpers aus ferromagnetischen Stoffen Kräfte ausgeübt werden. 2 Experimentell erkennt man auch, dass ein Teilchen mit der elektrischen Ladung q , welches sich mit einer Geschwindigkeit v in einem externen Magnetfeld bewegt, eine magnetische Kraft Fm erfährt, die Teilchen dann ablenkt. Insgesamt ist die magnetische Kraft gegeben durch:  F m=qv  B

 die Stärke des Zusammengefasst beschreibt die magnetische Flussdichte B Magnetfeldes und damit die Größe der magnetischen Kraft auf ein geladenes Teilchen. Es werden nur in Integrale Darstellungsformen verwendet. Da bei der differentiellen noch Wissen abverlangt wird, wie z.B. partielle Ableitung, kennen des Nabla Operators, Gradient, Divergenz und Rotation.

Die 1. Maxwell -Gleichung: verbindet elektrischen Gesamtfluss mit umschlossener Ladung 2 Quelle: Schulbuch Duden Physik

Maxwell -Gleichungen Integral Form:

Q

∮ E ⋅ⅆ a = ε A

0

Die linke Seite stellt das Flächenintegral da, des auch das A unten. In dem das elektrische Feld  E . Dieses misst wie viel des elektrischen Feldes aus der Oberfläche A raus oder rein geht. Also das Integral stellt den elektrischen Fluss durch die Oberfläche A dar. Das „komische“ Kreis beim Integral, dass es sich um ein geschlossenes Integral handelt, also logischer weise nicht offen. Auf der rechten Seite der Gleichung steht die gesamt Ladung Q die von der Oberfläche A eingeschlossen wird, die dann anschließend dividiert wird, durch die elektrische Feldkonstante. Also besagt die erste Maxwell – Gleichung, dass der elektrische Fluss Phi durch eine geschlossene Fläche A hindurch, der elektrischen Ladung Q entspricht, die von dieser Fläche eingeschlossen wird Die 2. Maxwell – Gleichung: verbindet magnetischen Gesamtfluss mit einer umschlossener magnetischer Gesamtladung Integral Form:∮  A=0 B⋅ ⅆ  A

Auch hier wie davor steht das Flächen integral auf der linken Seite. Aber diesmal B . nicht über ein elektrisches Feld, sondern um über ein magnetisches Feld  Die zweite Maxwell – Gleichung sagt aus, dass der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche A hindurch immer Null ist. (Der gesamte Magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche A sich komplett aufhebt und damit Null ist). Es zeigen sich stets genau so viele magnetische Feldvektoren hin als auch hinaus. Die 3. Maxwell – Gleichung: verbindet induziertes elektrisches Feld mit Änderung des magnetischen Flusses Integral Form:

−∂

∮ E ⋅ⅆ l= ∂ t ∫ B ⋅ⅆ A L

A

Die dritte Maxwell – Gleichung kennt man auch unter dem Namen Induktionsgesetz. Sie ist sozusagen die allgemeinste Formel des Induktionsgesetzes. Auf der linken Seite steht ein Linien Integral (daher „L“) des elektrischen Feldes  E über eine geschlossene Linie l, die die Fläche A berandet. Dieses Integral summiert alle Anteile des elektrischen Feldes auf, die entlang der Linie l verlaufen. Also wie viel des elektrischen Feldes entlang der Linie rotiert.

Das Integral entspricht der elektrischen Spannung U entlang der Linie l.

∮ E ⋅ⅆ l = Ue L

Maxwell -Gleichungen

Auf der rechten Seite steht:

−∂  B⋅ ⅆ  A ∂t ∫ A

= Ue

B Dort steht ein Flächenintegral des elektrisch magnetischen Feldes  über eine Fläche A. Dieses Integral entspricht dem magnetischen Fluss Phi durch die Fläche A hindurch. Dieser magnetische Fluss ϕ m wird nach der Zeit t abgleitet.



−∂ ϕm ∂t

Wie eine Funktion, die in diesem Fall dem magnetischen Fluss ableiten kann, sollte mit mithilfe der partiellen Ableitung klar sein. Die Zeit Ableitung des magnetischen Flusses gibt an, wie stark der magnetische Fluss sich verändert, wenn sich die Zeit verstreicht. -> Zeitliche Änderung des Magnetfeldes. Je größer diese Änderung ist, desto größer ist das rotierende elektrische Feld. Dieses rotierende elektrische Feld wird auch als Wirbelfeld genannt. Das Minus berücksichtigt die Richtung der Rotation. Wenn die z.B. des rotierenden elektrischen Feldes positiv ist, dann ist die elektrische Spannung negativ. Und wenn die negativ ist, dann ist elektrische Spannung positiv. Die elektrische Spannung und die Änderung elektrischen magnetischen Flusses Verhalten sich also entgegengesetzt einander. Sollte keine Änderung des Magnetfeldes vorhanden sein, so fällt die rechte Seite weg und man habe dann dort 0 stehen. Dann steht dort das die elektrische Ladung entlang der Linie stets 0 ist. Und somit existieren keine elektrischen Wirbelfelder mehr, solange sich die Magnetfelder Zeit verändern! Z.B. sollte ein Elektron die geschlossene Linie l belaufen, dann würde es keine Energie gewinnen! So besagt die differentielle Form der dritten Maxwell – Gleichung. Rotation vom elektrischen Feld ist die negative Zeit Ableitung des Magnetfeldes. Das bedeutet, ein änderndes Magnetisches Feld  B elektrisches Wirbelfeld  B verursacht. Und dies gilt auch andersrum, solang der Energiehaltungssatz vorhanden bleibt. 4. Maxwell – Gleichung: verbindet induziertes magnetisches Feld mit Änderung des elektrischen Flusses und Strom Integralform:

∮ B ⋅ ⅆ l =μ 0 I + μ0 ε0 ∂t∂ ∫ E ⋅ ⅆ A L

A

 Auch hier steht auf der linken Seite ein Linienintegral des magnetischen Feldes B entlang der geschlossenen Linie l. Das ist Definition des magnetischen Spannung Um. Auf der rechten Seite tauchen die uns bekannten elektrische Feldkonstante ε 0 magnetische Feldkonstante μ0 auf. Die Sorgen das die Einheiten auf beide Seiten J erhalten bleibt [ ]. Am

Maxwell -Gleichungen Und nämlich sagte uns auch schon die Bezeichnung „Ampere – Maxwell Gesetz“, dass wir etwas mit elektrischen Stromstärke I zutun haben werden und das stimmt ja auch, denn wir erkennen auf der rechten Seiten, im ersten Summanden das I. Wenn elektrische Ladungen entlang eines Leiters fließen, dann erzeugen die einen Strom I. Dazu kommt noch ein weiterer Summand, das Flächenintegral des elektrischen Feldes müsste jetzt bekannt sein, dass ist der elektrische Fluss durch ∂ Fläche A hindurch. Außerdem steht die Zeit Ableitung vor dem elektrischen ∂t Fluss. Zusammengefasst steht auf der rechten Seite stehen zwei Summanden. Im ersten Summanden ein Beitrag zum Strom und im anderen Summanden die Änderung des elektrischen Flusses. Die vierte Maxwell – Gleichung besagt, dass die magnetische Spannung, zum einen durch die elektrischen Ströme und zum anderen durch die ändernden elektrischen Felder erzeugt wird. Zusammenfassung der Maxwell – Gleichungen in kompakter Form (Differentielle form)

1 ∇⋅  E= ρ 1. Maxwell Gleichung:  ε0

-> Elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder B =0 2. Maxwell Gleichung:  ∇⋅  -> es existieren keine magnetischen Ladungen (keine magnetischen Monopole) −∂  B ∇× E= 3. Maxwell Gleichung:  ∂t

-> sich ändernde magnetische Felder erzeugen elektrische Wirbelfelder und andersherum ∂ E B=μ 0 j +ε 0 ⋅ ⅆ ∇× A 4. Maxwell Gleichung: 

(

∂t

)

-> elektrische Ströme und sich ändernde elektrische Felder erzeugen Magnetfelder. Jetzt kennst du die Grundlagen der Elektrodynamik. VIELEN DANK, für das aufmerksame Lesen.

Maxwell -Gleichungen Quellen: Physik – Halliday – Resnick & Walker: 2. Auflage https://www.youtube.com/watch?v=8jIOaLPajZQ Schulbuch Duden Physik...