TESINA EQUAZIONI DI MAXWELL PDF

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TESINA USATA PER LA MATURITà SULLE EQUAZIONI DI MAXWELL E IN PARTICOLARE LA CORRENTE DI SPOSTAMENTO...

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Elaborato di Matematica - Fisica

Durante il XIX secolo si iniziò a porre particolare attenzione ai fenomeni elettrici e magnetici. Si susseguirono molti e notevoli esperimenti volti a dimostrare l’unificazione dell’elettricità e del magnetismo. Ciò che mancava era un quadro generale che potesse spiegare la totalità degli eventi elettromagnetici. James Clerk Maxwell (Edimburgo, 1831-1879) nel libro Treatise on Electricity and Magnetism si occupò di riordinare le leggi universali che spiegano la totalità dei fenomeni elettromagnetici. La teoria di Maxwell è composta da una serie di equazioni per il campo elettrico E  e per il campo magnetico B , alcune delle quali sono estensioni di leggi già note. Le quattro equazioni di Maxwell sono: ∫s

E ⋅ d S =

∑Q ε0

∫s

B ⋅ d S = 0

∮γ

E  ⋅ dl  = −

∮γ

B  ⋅ d l  = μ0 ∑ I + μ0 ε0

(teorema di Gauss per il campo elettrico) (teorema di Gauss per il campo magnetico)

d Φ( B ) dt

(legge di Faraday-Neumann-Lenz) d Φ( E ) dt

(legge di Ampère-Maxwell)

Ciò che risalta di queste equazioni è la non appartenenza, in parte, a Maxwell. Le prime due, appartengono al matematico Gauss e descrivono, nel primo caso, il flusso del campo elettrico su una superficie chiusa mentre nel secondo il flusso del campo magnetico su una superficie chiusa. Infatti, le due equazioni di Gauss è possibile scriverle anche: Φs( E  ) =

∑Q ε0

Φs( B  ) = 0

La particolarità di queste due formule è il risultato finale. Infatti, un corpo carico che produce linee di campo elettriche, le quali attraversano una superficie chiusa daranno una variazione di flusso in quanto non torneranno verso la carica. Mentre le linee di campo magnetiche non danno alcuna variazione poiché, per il discorso del mono-polo magnetico, tenderanno a oltrepassare nuovamente superficie per tornare al magente, annullando il primo passaggio.

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Continuando con una breve analisi delle equazioni, la terza è stata formulata anni prima rispetto a quando Maxwell iniziò a studiarla. Nella terza equazione, che è possibile scriverla anche come: Cγ ( E ) =

d ϕB notiamo che una variazione di flusso magnetico in funzione del tempo possa generare dt

una forza elettromotrice che sposta una carica q lungo una superficie chiusa e di conseguenza genera corrente. L’ultima equazione, che finalmente reca il nome di Maxwell, non è stata formulata da lui.

 = μ i. Osservando attentamente la Infatti, l’ultima legge era di Ampère ed era formulata così: Cγ ( B ) 0 legge di Ampère e quella di Faraday-Lenz presentano delle somiglianze: entrambe, infatti, al primo membro contengono una circuitazione (del campo elettrico per F.L. e del campo magnetico per A.). Il secondo membro, invece, è diverso: mentre secondo Faraday-Lenz, una variazione del campo magnetico (o, più in generale, del flusso magnetico) genera un campo elettrico, nella legge di Ampère sembra che solo una corrente possa produrre un campo magnetico. Una volta fatte queste osservazioni Maxwell ipotizzò che anche la variazione del campo elettrico generasse un campo magnetico. A questo punto, il fisico, dedusse che nella legge di Ampère era presente un “pezzo” mancante. La prova sperimentale dell’esistenza della corrente di spostamento è dovuta ad Hertz mentre Maxwell ipotizza solo la tesi. Per comprendere ciò che Maxwell ipotizzò consideriamo un semplice set-up: un condensatore a facce piane parallele collegato a un circuito in cui scorre una corrente I. Disegniamo due superfici: una che gira intorno al filo elettrico γ (superficie piana S1) e non contiene il condensatore, una seconda invece che racchiude anche una faccia del condensatore (superficie curva S2).

Applicando la legge di Ampere alla curva chiusa γ, mentre la corrente che attraversa la superficie piana S1 è I (ovvero il valore della corrente che passa nel filo), quella che attraversa la superficie S2 è zero in quanto all’interno del condensatore non è presente un filo conduttore. Secondo la legge di Ampere, ricordando che γ fa è il bordo sia di S1 che di S2, la circuitazione di B  lungo γ dovrebbe valere sia  = μ i che C B  = 0. Cγ ( B ) γ( ) 0

Queste due soluzioni sono in palese contraddizione. Maxwell ipotizzò che nello spazio tra le due armature avesse luogo un fenomeno simile alla corrente che successivamente chiamerà corrente di spostamento. Egli osservò che, quando il condensatore si carica il campo elettrico E  fra le armature e il flusso elettrico Φ ( E ) aumentano in relazione al tempo.

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Calcolò la variazione temporale di Φ (E ) . Il campo è uniforme e diverso da zero solo nell’armatura, che convenzionalmente avrà area A, circondata dalla superficie S2. Quindi il valore del flusso sarà Φ (E ) = E A.

Ricordando che, se d è la distanza fra le armature del condensatore, la capacità del condensatore è A e la differenza di potenziale è data da V = Ed. d ε A La carica sul condensatore è quindi Q = C V = 0 Ed = ε0 E A. Maxwell notò che, esisteva una d  relazione tra Q e Φ ( E ), era infatti possibile scriverli uno in funzione dell’altro ε0 Φ ( E ) = Q. Visto C = ε0

che, come abbiamo detto prima, questa carica subiva una variazione in funzione del tempo le nuove equazioni diventano: ε0

ΔΦ ( E )

=

ΔQ . Qui Maxwell si accorse di una relazione ben nota, infatti Δt

Δt ΔQ = corrente i nel filo collegato al condensatore. Considerando le variazioni infinitesime, cioè il limite Δt per Δt → 0, per entrambi i membri otteniamo:  ΔΦ ( E ) d Φ ( E ) dQ ΔQ lim = = lim e (ε0) ⋅ Δt→0 Δt→0 Δt dt dt Δt

A questo punto: ε0

d Φ ( E ) dt

=

dQ = is dt

Maxwell suggerì di chiamare corrente di spostamento is la variazione del flusso del campo elettrico, numericamente uguale alla corrente i che fluisce attraverso la superficie piana. Dopo questa scoperta, Maxwell completò la legge di Ampère ponendo la corrente di spostamento accanto a quella di conduzione e arrivando alla formula in prima pagina ovvero: ∮s

B  ⋅ d l  = μ0 (i + is)

Con l’introduzione della corrente di spostamento e la riscrittura della legge di Ampère, i fisici disponevano di quattro leggi di validità universale che potessero spiegare tutti i fenomeni elettromagnetici. Una delle scoperte più importanti legate alle equazioni di Maxwell è legata alle onde elettromagnetiche, ma soprattutto anche che la luce fosse, secondo il fisico, una onda elettromagnetica. La Fisica usa la Matematica in maniera essenziale , come ben disse Galileo Galilei nel Saggiatore (1623): “La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.” L’equazioni di Maxwell sono relazioni tra grandezze scalari e vettoriali ( E, B,  cariche q e correnti i). Attraverso integrali dei campi vettoriali lungo funzioni è possibile ricavare flusso e circuitazione. Considerando una superficie chiusa immersa in un campo vettoriale V , dividiamo la superficie in infiniti quadratini di area Δ S . Il flusso del vettore V  attraverso un singolo quadratino è dato dal prodotto scalare tra i vettori Δ S e V . Una volta calcolato il flusso (prodotto scalare) per un singolo 3

quadratino, possiamo è possibile esprimere il flusso attraverso la superficie con la somma infinitesimale di tutti i prodotti scalari V⋅ ΔS. ∑

Facendo tendere il vettore Δ S a 0 (Δ S  → 0), esso si avvicina sempre di più al limite differenziale d S e quindi la somma degli infiniti flussi, non è altro che una somma integrale e si può esprimere come Φ( V ) = d Φ = E  ⋅ N  ⋅ d S . Questo integrale appena scritto, affinché abbia come risultato un numero ∫ ∫

finito, va posto collocato nello spazio e quindi la nuova formula diventerà: Φ( V ) =

∫s

E  ⋅ N  ⋅ d S.

Con un’operazione simile è possibile anche ricavarsi la circuitazione. Considerando un percorso qualsiasi chiuso γ e un campo vettoriale Δ S , si divide la curva in tanti segmenti Δ l  ognuno sufficientemente piccolo da essere rettilineo (divisione in segmenti infinitesimali). Facendo tendere la differenza tra i due segmenti a 0 (Δ l  → 0) otteniamo, di nuovo, il limite differenziale d l . Sommando tutti i prodotti scalari dei singoli segmenti infinitesimali otteniamo così un integrale di curva chiusa:

C( V  ) =

∮γ

V  ⋅ d l .

Affinché i valori degli integrali siano il più possibile corretti e facilmente calcolabili, si deve procedere ad una verifica che fu operata da Riemann. Infatti, considerando una curva continua, per calcolare l’area sotto alla curva ( f (x)) tra due estremi a- b il matematico suppose di dividere la curva in aree a lui più conosciute (rettangoli) prima usando come altezze i minimi relativi a due punti (figura in rosso), chiamandoli stima inferiore, e poi usando come altezze i massimi (figura in blu), chiamandoli stima superiore.

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A

A

B

B

Per migliorare il più possibile il calcolo, bisogna ridurre gli intervalli Δx quasi a farli tendere a 0 allora quegli spazi in meno, nel primo caso, o quelli in più, nel secondo, risulterebbero quasi nulli e ci consentirebbe più facilmente di sommare tutte le aree dei rettangoli. Si è infatti scoperto che il lim Si = lim Ss ovvero che quando il limite con la base del rettangolo tende a 0 allora le due aree sono Δ x→0

Δ x→0

uguali. Ciò che si evidenzia da questa osservazione è che i risultati dei due limiti è calcolabile con gli b

integrali definiti, poiché ∑ f (x) ⋅ Δx = f (x) ⋅ d x infatti quando l’incremento Δx → 0 diventa un ∫a incremento infinitesimo e la sommatoria di tutti i punti non è altro che l’integrale definito tra due punti.

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