Lez - Equazioni di secondo grado PDF

Preview

Summary

Matematica...

Description

Equazioni di secondo grado Le equazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 2, sono equazioni in cui l'incognita compare con esponente di grado 2 ed eventualmente con esponenti di grado inferiore. Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado passiamo in modo del tutto naturale alla successiva tipologia di equazioni intere, ossia definite mediante polinomi. In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado, dandone la definizione e studiando tutti i principali metodi di risoluzione. Come vedremo nel seguito, disponendo della forma normale è possibile ricorrere a una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, nota anche come formula del delta (o formula del discriminante). Essa è utilizzabile in ogni caso, ciononostante vedremo come sia possibile introdurre una classificazione che ci permetterà di ricorrere a metodi risolutivi più immediati in alcuni casi particolari.

Come sono fatte le equazioni di secondo grado? Possiamo dare una semplice e intuitiva definizione per le equazioni di secondo grado: diciamo che un'equazione ha grado 2 se uno dei due membri è un polinomio di grado 2 e l'altro membro è un polinomio di grado al più 2. In modo analogo, possiamo dire che un'equazione di secondo grado è un'equazione polinomiale in cui l'incognita compare almeno una volta con esponente di grado 2 e tale che l'incognita compaia con grado massimo pari a 2. Sono esempi di equazioni di secondo grado:

In base a ciò che abbiamo imparato nello studio delle equazioni di primo grado, sappiamo che un'equazione può assumere diverse forme equivalenti tra loro. Piuttosto che perdersi nelle molteplici forme che un'equazione di secondo grado può assumere, è molto più utile definire la forma normale delle equazioni di secondo grado:

dove: è detto coefficiente del termine di grado 2; è detto coefficiente del termine di grado 1;

è detto coefficiente del termine di grado 0, o termine noto; La forma normale individua un'equazione di secondo grado a patto che risulti

in caso contrario avremmo a che fare con un'equazione di primo grado se o con un'equazione senza incognita se .

,

Lo studio delle equazioni di secondo grado ha lo scopo di riuscire a risolvere qualsiasi equazione di secondo grado in forma normale o, eventualmente, qualsiasi equazione che sia stata ricondotta alla precedente forma normale. Con questo intendiamo che potrebbe capitarci un'equazione come

che all'apparenza sembrerebbe di terzo grado, ma che si riconduce facilmente a un'equazione di grado 2

Numero di soluzioni di un'equazione di secondo grado in forma normale Vi ricordate lo schema per le equazioni di primo grado? In quel contesto abbiamo trattato tutti i possibili casi sul numero delle soluzioni, ivi compresi quelli che scaturivano dalle possibili riduzioni a equazioni senza incognite: equazioni impossibili ed equazioni indeterminate. Qui usiamo un approccio un po' più formale: tralasciamo i possibili casi di riduzione a gradi inferiori, dovuti a eventuali cancellazioni dei termini contenenti l'incognita, e ci limitiamo ad analizzare il numero di soluzioni delle equazioni di secondo grado in forma normale. Consideriamo quindi la forma normale delle equazioni di secondo grado

Ci domandiamo quante possono essere le soluzioni dell'equazione considerando come insieme di esistenza delle soluzioni l'insieme dei numeri reali . In altri termini,

e le possibili soluzioni sono da ricercarsi in R.

1) Due soluzioni. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni reali.

2) Una soluzione. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette una soluzione reale. Più precisamente si dice che l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, o anche che ammette una soluzione reale con molteplicità algebrica 2.

3) Nessuna soluzione. L'equazione di secondo grado è impossibile e non ammette alcuna soluzione reale.

Metodi di risoluzione e classificazione delle equazioni di secondo grado Come vi abbiamo anticipato, esistono sostanzialmente un metodo generale che permette di risolvere qualsiasi equazione di secondo grado e una serie di metodi più immediati, applicabili però solamente in alcuni casi particolari. Vediamo quindi una panoramica completa sulla classificazione delle equazioni di secondo grado proponendo di volta in volta i metodi risolutivi ed esempi svolti per ciascun caso. Il punto di partenza è sempre la forma normale delle equazioni di secondo grado:

Equazioni di secondo grado complete e formula del delta Diciamo equazione di secondo grado completa un'equazione di secondo grado in forma normale in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero

Il principale metodo per risolvere le equazioni di grado 2 complete, detto formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o formula del delta, è piuttosto semplice. Esso prevede di considerare una quantità che è caratteristica delle equazioni di secondo grado, il cosiddetto discriminante

che viene detto anche delta dell'equazione e che viene indicato con la lettera greca maiuscola . Il discriminante ci permette di scrivere la formula risolutiva:

Il simbolo ± va letto come più o meno ed è una scrittura sintetica per indicare che bisogna considerare due possibilità ugualmente valide: la prima si ottiene usando il segno + in luogo di ±, la seconda sostituendo ± con il segno -. La formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete ha due aspetti estremamente interessanti: A) può essere utilizzata sempre e comunque, anche per le equazioni di secondo grado non complete; B) ci permette di capire qual è il numero delle soluzioni ancor prima di applicarla. Guardiamo con attenzione il secondo termine del numeratore: Se analizziamo il segno del delta (positivo, negativo o nullo) possiamo capire velocemente che: 1) Se il discriminante è positivo allora avremo due soluzioni reali distinte, infatti ci troviamo a sommare/sottrarre la radice di un numero positivo. Delta positivo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali distinte 2) Se il discriminante è nullo allora avremo due soluzioni reali coincidenti, infatti ci ritroveremo a sommare/sottrarre la radice di zero, che è zero. Delta nullo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali coincidenti 3) Se il discriminante è negativo allora la formula risolutiva perde di significato e l'equazione non ammette soluzioni reali, perché non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo nell'insieme dei numeri reali. Delta negativo → Equazione di secondo grado impossibile, nessuna soluzione reale Nelle lezioni successive spiegheremo nel dettaglio come ricavare la formula del discriminante e perché il segno del delta individua il numero di soluzioni nelle equazioni di secondo grado; vedremo inoltre che in alcuni casi è possibile

semplificare la formula del delta usando una versione detta ridotta e una ridottissima (delta quarti). Esempi di equazioni di secondo grado complete

Calcoliamo il delta: Poiché il discriminante è positivo ci aspettiamo due soluzioni reali e distinte per

l'equazione In conclusione le soluzioni sono .

Partiamo dal discriminante: Avremo quindi due soluzioni reali e coincidenti:

e l'unica soluzione reale (con molteplicità algebrica 2) è .

Calcoliamo il delta dell'equazione

Poiché il delta è negativo, l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali.

Equazioni di secondo grado monomie Diciamo equazione di secondo grado monomia un'equazione di secondo grado in forma normale in cui i coefficienti dei termini di grado 1 e 0 sono nulli, ossia

Il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado monomie è immediato e non richiede calcoli: esse infatti ammettono sempre due soluzioni reali e coincidenti, entrambe nulle, quale che sia il valore di

:

Se non ci fidiamo, nulla ci vieta di applicare la formula risolutiva per le equazioni

complete:

Esempio di equazione di secondo grado monomia

L'unica soluzione reale ha molteplicità algebrica 2 ed è ovviamente . Per approfondire: equazioni monomie.

Equazioni di secondo grado pure Un'equazione di secondo grado pura è un'equazione di secondo grado in forma normale in cui il coefficiente del termine di grado 1 è nullo e il termine noto è diverso da zero:

Risolvere un'equazione in questa forma è semplice, infatti possiamo procedere al calcolo diretto delle eventuali soluzioni.

e sono date due possibilità:

- se a,c sono concordi, allora reali (impossibile);

è negativo e l'equazione non ammette soluzioni

è positivo e l'equazione ammette due soluzioni - se a,c sono discordi, allora reali e distinte (determinata), date da

A voi il compito di verificare che, applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete nel caso delle monomie, otteniamo esattamente le soluzioni appena scritte. Domanda da un milione di dollari: perché, nell'estrarre la radice quadrata, dobbiamo aggiungere un segno ? Perché entrambe le possibilità risolvono l'equazione, infatti se eleviamo al quadrato entrambe le soluzioni otteniamo

come richiesto dall'equazione monomia di secondo grado. Occhio a non trascurare questo piccolo, subdolo dettaglio, e a non fare confusione: un conto è estrarre la radice quadrata di un numero, intesa come operazione

un altro conto è risolvere un'equazione: in questo caso cerchiamo tutti i possibili valori che, sostituiti a , rendono vera l'uguaglianza! Esempi di equazioni pure

Equazioni di secondo grado spurie

Esempio di equazione di secondo grado spuria

Metodo alternativo - Risolvere le equazioni di secondo grado per scomposizione https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/equazioni/68-equazioni-di-secondo-grado-ad-unincognitacome-si-risolvono.html...