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Equazioni di Maxwell...

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Le equazioni di Maxwell La sintesi dell’elettromagnetismo A partire dagli studi di Faraday sull’induzione elettromagnetica si era avviato un processo di unificazione tra campo elettrico e campo magnetico che vede il suo completamento con la TEORIA DI MAXWELL. La Teoria di Maxwell si artica in quattro equazioni per il campo elettrico e per il campo magnetico, estensioni di quelle già viste nella descrizione di E e B e sostiene che anche nel vuoto campi elettrici variabili producono campi magnetici e viceversa. Le azioni elettromagnetiche subite da un corpo sono dunque dovute alle modificazioni dello spazio delle proprietà fisiche di una regione. Il campo elettromagnetico, generato da cariche elettriche e da magneti.

Le prime due equazioni descrivono la circuitazione di campo elettrico e campo magnetico.

CIRCUITAZIONE DI CAMPO ELETTRICO Caso statico Γ ( E ) = 0 Se le cariche sono in movimento non posso non considerare l’effetto dell’induzione elettromagnetica. Lo faccio in questo modo: • Scrivo il campo elettrico in funzione della forza dovuta all’induzione elettromagnetica che agisce su una carica prova

F (ie) E= q

Ricordando che fem =

W calcolo il lavoro della forza dovuta all’induzione sul k-esimo q

intervallino

ΔWk = F (ie) ⋅ Δ l k il lavoro totale risulta W = ΣWk F (ie) ⋅ Δ l k F (ie) W =Σ = ⋅ Δ lk Da cui ricavo la forza elettromotrice fem = q q q Che posso riscrivere come fem = ΣE k Δ lk = Γ(E ) Incordando la legge di Faraday-Neumann-Lenz

1

Γ(E ) = −

ΔΦ(B) Δt

CIRCUITAZIONE DI CAMPO MAGNETICO (il termine mancante) Per la legge di Ampère

Γ(B) = μ0Σik

In presenza di induzione elettromagnetica non basta. Le considerazioni di Maxwell Consideriamo un condensatore in fase di carica con le armature circolari, nei fili collegati ad esso fluisce una corrente. Calcoliamo la circuitazione lungo cammini diversi come mostrato in figura:

1. Consideriamo i cammini S1 e S2: la circuitazione è uguale a μ0i perché a essi è concatenata la corrente i 2. Consideriamo il cammino S3: a S3 non è concatenata nessuna corrente quindi per la legge di Ampère la circuitazione del campo magnetico è nulla. 3. Consideriamo il cammino S4: S4 è posta sul bordo del condensatore, non è possibile valutare la circuitazione perché non è possibile stabilire senza ambiguità se la corrente è concatenata o meno. Maxwell introdusse un termine correttivo alla legge di Ampère per cercare di risolvere il problema

LEGGE DI AMPÈRE MAXWELL: Γ(B) = μ0(i + ε0

ΔΦ(E ) ) Δt

Il flusso di E è calcolato lungo la superficie che ha per bordo S4.

Il termine ε0

ΔΦ(E ) Δt

prende il nome di CORRENTE DI SPOSTAMENTO

Maxwell convinto della sostanziale simmetria tra campo elettrico e campo magnetico. La corrente di spostamento è del tutto analoga nella forma alla legge di Faraday Neumann, ha 2

le dimensioni di una corrente. E numericamente coincide con la corrente che fluisce neo circuito. Con l’aggiunta di questo termine la circuitazione lungo S3 e S4 ha lo stesso valore di quella lungo S1 e S2.

LE EQUAZIONI DI MAXWELL Nel 1873 J.C. Maxwell dimostrò che tutte le proprietà dell’elettricità, de magnetismo e dell’induzione elettromagnetica possono essere derivate partendo da sole 4 equazioni che hanno il ruolo di assiomi della teoria. Per questo le quattro equazioni sono dette nel loro insieme EQUAZIONI DI MAXWELL LEGGI

SIGNIFICATO

Grandezza

Le cariche elettriche sono sorgenti di campo elettrico

Flusso

Non esistono Monopoli magnetici isolati

Flusso

Un CM variabile genera un CE

Circuitazione

Le sorgenti del CM sono: Correnti elettriche CE variabili

Circuitazione

Teorema di Gauss per il CE

∫S

Ed S =

Σq ε0

Teorema di Gauss per CM

∫S

Bd S = 0

Legge di FaradayNeumann-Lenz

∮γ

Ed l = −

dΦ(B ) dt

Legge di Ampère Maxwell

∮γ

Bd l = μ0(i + ε0

ΔΦ(E ) ) Δt

CAMPO ELETTROMAGNETICO Il campo elettrico e il campo magnetico sono due aspetti diversi di un unico ente fisico, a cui si dà il nome di CAMPO ELETTROMAGNETICO, la teoria che si fonda sulle equazioni di Maxwell è detta ELETTROMAGNETISMO.

3

Il campo elettrostatico e il campo magnetico statico sono casi particolari del campo elettromagnetico e si ottengono, rispettivamente, se si hanno soltanto cariche ferme oppure soltanto correnti continue.

ONDE ELETTROMAGNETICHE Consideriamo una carica Q e facciamola muovere tra due punti lungo una retta, questo movimento genera: • Un campo elettrico variabile perché la posizione di Q varia sempre • Un campo magnetico variabile perché una carica elettrica che oscilla equivale a una corrente elettrica variabile. Un’ onda elettromagnetica trasporta energia e continua a propagarsi anche quando la carica che l’ha generata smette di muoversi.

LA VELOCITÀ DELLA LUCE A partire dalle equazioni sue equazioni Maxwell dimostrò che nel vuoto la velocità della luce vale c =

1

= 2,99 ⋅ 108

ε0 μ0 1

In un mezzo invece v =

ε0 εr μ0 μr

m s

=

c c = sempre minore di c in accordo con i n εr μr

dati sperimentali di propagazione della luce.

Onda elettromagnetica Le grandezze oscillanti sono E e B in ogni punto i due campi sono perpendicolari alla direzione di propagazione. Le onde elettromagnetiche sono trasversali. CE e CM sono proporzionali e perpendicolari alla direzione di propagazione E=cB. La frequenza e il periodo sono determinate dalla sorgente, cioè sono uguali alla frequenza o al periodo si oscillazione delle cariche che danno origine all’onda.

La densità di energia delle onde elettromagnetiche L’ energia trasportata dalle onde elettromagnetiche dipende da CM e CE. La grandezza più comoda da misurare è la densità di energia e con riferimento a quanto studiato si può scrivere: DENSITÀ(u): u =

1 1 2 1 2 B B = ε0 E 2 = ε0 E 2 + 2μ0 μ0 2 4

In alcuni casi potrebbe essere comodo calcolare anche l’intensità della radiazione elettromagnetica:

I = cu = ε0 cE 2 =

c 2 B μ0

L’intensità rappresenta il modulo di un vettore che rappresenta il flusso di energia elettromagnetica per unità di tempo e unità di superficie. VETTORE DI POYNTING S =

1 E×B μ0

ha la direzione e il verso di propagazione dell’onda.

ONDE RADIO Trasmissioni radio e televisive prodotte da correnti alternate in antenne metalliche MICROONDE Utilizzate per conversazioni telefoniche a lunga distanza ma anche per scaldare i cibi. Sono le onde più lunghe che possono essere prodotte da circuiti elettronici RADIAZIONE INFRAROSSA Possiamo percepirle come calore sulla pelle ma non possiamo vederle. Spesso sono generati dalla rotazione e dalla vibrazione delle molecole. 5

LUCE VISIBILE Tutta la gamma di colori dell’arcobaleno. Sono prodotte principalmente da elettroni che cambiano la loro posizione all’interno di un atomo. LUCE ULTRAVIOLETTA Non sono visibili ma sono responsabili della nostra abbronzatura. In dose eccessiva possono essere dannosi per la salute (tumori della Pelle). RAGGI X Usati soprattutto in diagnostica medica. RAGGI γ Molto energetici , sono prodotti in particolare modo quando neutroni e protoni si risistemano (decadono) all’interno di un nucleo, oppure quando una particella collide con un’antiparticella.

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