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Esercizi sulle equazioni di secondo grado
Richiami teorici
Equazioni di secondo grado
Esercizi sulle equazioni incomplete pure
Esercizi sulle equazioni incomplete spurie...

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Istituto Provinciale di Cultura e Lingue “Ninni Cassar` a”

Esercizi sulle equazioni di secondo grado Prof. E. Modica http://www.galois.it [email protected]

A.S. 2011/2012

Richiami teorici Equazioni di secondo grado Definizione 1. Dicesi equazione di secondo grado, un’equazione del tipo: ax2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R e a 6= 0. I valori a, b, c prendono il nome di coefficienti e, in particolare, c viene detto termine noto. Un’equazione di secondo grado si definisce: • incompleta pura quando il secondo coefficiente `e nullo e quindi si ha ax2 + c = 0; • incompleta spuria quando il terzo coefficiente `e nullo e quindi si ha ax2 + bx = 0; • completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero e quindi si ha ax2 +bx+c = 0.

Risoluzione delle equazioni di secondo grado Equazione incompleta pura (b = 0) L’equazione si presenta nella forma: ax2 + c = 0 e si risolve portando a secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente del termine di grado massimo: r c c 2 2 ax = −c ⇒ x = − ⇒ x = ∓ − a a

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Esercizio 1. Risolvere l’equazione 4x2 − 9 = 0. Le soluzioni si ottengono come segue: x2 =

3 9 ⇒x=∓ 2 4

Esercizio 2. Risolvere l’equazione 4x2 + 9 = 0. L’equazione non ammette soluzioni in quanto il quadrato di un numero reale `e sempre non negativo e, di conseguenza, la scrittura x2 = − 49 non `e verificata per nessun valore dell’incognita x. Osservazione 1. Un’equazione incompleta pura ammette soluzioni se, e solo se, i coefficienti a e c sono discordi. Equazione incompleta spuria (c = 0) L’equazione si presenta nella forma: ax2 + bx = 0 e si risolve mettendo in evidenza la x e utilizzando la legge di annullamento del prodotto. Di conseguenza una soluzione sar`a sempre quella nulla. ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x = 0 ∨ ax + b = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = −

b a

Esercizio 3. Risolvere l’equazione 2x2 − 4x = 0. Si ha: 2x(x − 2) = 0 ⇒ 2x = 0 ∨ x − 2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2 Equazione completa L’equazione si presenta nella forma: ax2 + bx + c = 0 Si determina il delta dell’equazione: ∆ = b2 − 4ac che prende il nome di discriminante dell’equazione. Le soluzioni si determinano mediante la formula: √ −b ∓ ∆ x1,2 = 2a Si possono, quindi, presentare tre casi: I caso : ∆ = b2 − 4ac > 0 √ In questo caso il radicale ∆ `e un numero reale e l’equazione ammette le due soluzioni reali e distinte: √ √ −b + ∆ −b − ∆ x2 = x1 = 2a 2a

2

Esercizio 4. Risolvere l’equazione 3x2 − 5x + 2 = 0.

x1,2

∆ = 25 − 24 = 1 2 5∓1 ⇒ x1 = 1, x2 = = 3 6

II caso : ∆ = b2 − 4ac = 0 In questo caso l’equazione ammette due radici reali e coincidenti date dall’espressione: b x1 = x2 = − 2a Esercizio 5. Risolvere l’equazione 4x2 − 12x + 9 = 0. ∆ = 144 − 144 = 0 12 3 x1 = x2 = − = 2 8

III caso : ∆ = b2 − 4ac < 0 In questo caso l’equazione non ammette soluzioni reali, ma soluzioni complesse coniugate. Esercizio 6. Risolvere l’equazione x2 − x + 3 = 0. ∆ = 1 − 12 = −11 < 0 L’equazione non ammette soluzioni reali.

Esercizi sulle equazioni incomplete pure Esercizio 7. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete pure. a) 4x2 − 25 = 0

e) 100x2 − 4 = 0

b) x2 − 11 = 0

f ) 2x2 + 7 = 0

c) 64x2 − 16 = 0

g) 4x2 − 9 = 0

d) −x2 + 9 = 0

e) 3x2 + 12 = 0

3

Esercizi sulle equazioni incomplete spurie Esercizio 8. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete spurie. a) x2 − 2x = 0

e) 7x2 − 14x = 0

b) 20x2 − 10x = 0

f ) 3x2 + 8x = 0

c) 3x2 = 12x

g) 5x2 = −25x

d) 5x2 − 4x = 0

e) 4x2 = −10x

Esercizi sulle equazioni complete Esercizio 9. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado complete. a) x2 + 3x + 2 = 0

j) 5x2 − 16x + 3 = 0

b) x2 + 12x − 45 = 0

k) 4x2 − 7x − 2 = 0

c) 3x2 + x − 2 = 0

l) 2x2 + 11x = 6

d) 5x2 + 7x − 6 = 0

m) x2 + 8x − 48 = 0

e) 6x2 + 5x + 1 = 0

n) 2x2 + 9x + 10 = 0

f ) 14x2 − 9x + 1 = 0

o) 7x2 + 12x + 5 = 0

g) x2 − 7x + 12 = 0

p) 2x2 + 3x + 1 = 0

h) x2 + x − 2 = 0

q) 2x2 = 9x − 10

i) x2 + 3x − 70 = 0

r) 2x2 − 8x = −6

4...