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Übungsaufgaben zur Physik I An dieser Stelle gibt es im Laufe des Semesters Übungsaufgaben und Online-Tests in Begleitung zur Physik-I-Vorlesung bei Herrn Prof. Gegenwart und Herrn Dr. Honecker. Sie sollen Ihnen als Ergänzung und Vertiefung der Übungszettel dienen.

0.1 Übungsaufgabe: Die Bierflasche Aufgabe. Auf dem Nachhauseweg von einem Fussballspiel wirft ein angetrunkener Fan eine Bierfläsche rechtwinklig und horizontal aus einem fahrenden Zug. Diese Flasche fällt auf eine 6 m tiefer gelegene Wiese und schlägt 24 m vom Abwurfpunkt (in Fahrtrichtung gemessen) sowie 10 m senkrecht dazu auf. Berechnen sie folgende Geschwindigkeiten: (a) die des fahrenden Zuges (b) die des Abwurfs (c) die Auftreffgeschwindigkeit der Flasche Hinweis. Dass die Flasche rechtwinklig und horziontal aus dem Zug geworfen wurde ist äußerst praktisch und erleichtert einiges. Zeichnen Sie sich eine einfache Skizze, die die verschiedenen angegebenen Informationen enthält. Der Luftwiderstand kann übrigens vernachlässigt werden. Lösung. (a) Die Bierflasche fällt auf eine 6 m tiefer gelegene Wiese. Dabei wurde sie praktischerweise rechtwinklig und horizontal aus dem Zug geworfen. Aus diesem Grund können wir über die Gleichung für den freien Fall die Zeit berechnen, die die Bierflasche bis zu ihrem Auftreffen braucht. Es gilt: h(t) =

1 g · t2 , 2

dabei sind h(t) die besagten 6 m, g = 9,80665 m/s2 ist die Schwerebeschleunigung. Umstellen nach t und einsetzen liefert: p t = 2h(t)/g = 1,1 s .

Die Bierflasche trifft 24 m in Fahrrichtung gemessen vom Abwurfort entfernt auf. Die Geschwindigkeit des Zuges kann mit dieser Information und der gerade berechneten Flugdauer der Flasche über eine einfache Bewegungsgleichung berechnet werden: s=v·t s ⇔v= . t Einsetzen von t = 1,1 s und s = 24 m ergibt die Geschwindigkeit des Zuges: v = 21,8 m/s = 78,5 km/h . (b) Um die Geschwindigkeit zu berechnen, mit der die Flasche abgeworfen wurde, ist es notwendig sie komplette Bewegungsgleichung für die Flasche aufzustellen. Diese ergibt sich durch Integration aus der Beschleunigung a = −g : 1 2 gt . 2 x(t) sind hier die 10 m senkrecht zum Abwurfpunkt. Umstellen nach v0 und einsetzen liefert dann die Anfangsgeschwindigkeit der Bierflasche: x(t) = v0 t −

1 1 v0 = x(t) + gt2 t 2 = 14,5 m/s = 52,14 km/h . (c)

1

Die Auftreffgeschwindigkeit der Flasche auf der Wiese berechnet sich gemäß der Bewegungsgleichung über: v = −g · t . Einsetzen liefert einen Betrag der Geschwindigkeit von: v = 10,8 m/s = 38.8 km/h .

0.2 Übungsaufgabe: Schlittschuhrampe Aufgabe. Peter geht mit seinem Sohn Timmy Schlittschuh Laufen. Sie besuchen eine Schlittschuhbahn für Fortgeschrittene mit einer Rampe, die um 30◦ ansteigt und in einer Höhe von 10m über dem Boden endet. Peter möchte nun Timmy auf den „Gipfel“ bekommen, ohne dass dieser wieder herunterrutscht. Dazu schiebt er ihn vor der Rampe mit konstanter Beschleunigung aP = 5kgN an. Sobald Timmy die Rampe erreicht, lässt Peter ihn los, und Timmy gleitet die Rampe hinauf. Wie weit von der Rampe entfernt muss das Anschieben beginnen, damit Timmy genau auf dem Gipfel stehen bleibt? Vernachlässigen Sie jegliche Reibung und gehen Sie davon aus, dass Peter sofort mit ner vollen Beschleunigung schiebt! Verwenden Sie zur Berechnung die Hangabtriebsbeschleunigung! Finden Sie während der Rechnung heraus, welche der Angaben für das Endergebnis unnötig sind! Falls Sie bereits mit dem Konzept von potentieller und kinetischer Energie vertraut sind, benutzen Sie alternativ diesen Ansatz! Es stellt sich heraus, dass er sehr viel kürzer ist...

Abbildung 1: Die Schlittschuhrampe Hinweis. • Bei konstanter Beschleunigung a während der Zeit t wird die Strecke s = 21at2 zurückgelegt. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t beträgt v(t) = at. • Die Hangabtriebsbeschleunigung für einen geraden Hang mit Neigungswinkel α ergibt sich zu aH = g sin (α) N . Beachten Sie die Richtung der Beschleunigung (abwärts)! mit der Erdbeschleunigung g = 9,81kg Lösung. Es ist sinnvoll, zunächst die von Peter beschleunigte Bewegung zu betrachten. Wenn sie nach der Zeit T beendet ist, also am Anfang der Rampe, hat Timmy die Geschwindigkeit v0 = aP T und hat die Strecke d = 21aP T 2 zurückgelegt. Es folgt also für die Strecke: d=

v0 2aP

Die Strecke, die Timmy bis zum Gipfel zurücklegen muss, ergibt sich trigonometrisch aus der Gipfelhöhe h und dem Neigungswinkel α zu s=

h . sin (α)

Während er die Rampe hinauffährt, ergibt sich Timmys Geschwindigkeit zur Zeit t als v(t) = v0 − aH t, da ihm die Hangabtriebsbeschleunigung aH entgegen wirkt. Die zurückgelegte Strecke seit Beginn der Rampe ist dann x(t) = v0 t −

2

1 aH t2 . 2

Nun muss folgendes gelten, damit Timmy nach der Fahrzeit τ über die Rampe genau auf dem Gipfel stehen bleibt: v(τ ) = 0 und x(τ ) = s Aus der ersten Bedingung bekommt man schnell: v0 aH

τ= Eingesetzt in die zweite Bedingung ergibt sich: s=

v20 2aH

Setzt man s und aH ein, kann man schließlich v0 = berechnen und daraus die nötige „Anschiebdistanz“ d=

p

2gh

gh = 19,6m. aP

Der Neigungswinkel α) = 30◦ kürzt sich heraus und spielt daher bei der Berechnung keine Rolle. Alternativ führt auch die Energiebetrachtung zum Ziel: Am Startpunkt der Rampe hat Timmy die kinetische Energie Ekin = 21mv02 (wenn seine Masse m ist), auf dem Gipfel hat er die potentielle Energie Epot = mgh und keine kinetische Energie, da er stillsteht. Da keine Energie verloren geht oder hinzukommt, muss Ekin = Epot gelten, was direkt zu v0 =

p

2gh

und damit zum Ergebnis führt. Timmys Masse kürzt sich heraus, der Neigungswinkel kommt hier gar nicht erst vor.

0.3 Übungsaufgabe: Ein Leben am Gefälle Aufgabe. Familie Müller liebt das Bergsteigen. Daher möchten sie ihr Eigenheim an einem Gefälle bauen. Allerdings haben sie nicht genug Geld für eine Garage, was ein Problem aufwirft: Wie stark (in Prozent) darf das Gefälle sein, damit ihr m = 1,2t schwerer Kleinwagen bei angezogener Handbremse (d.h. blockierten Rädern) nicht hinunterrutscht? Betrachten Sie sowohl den Fall für Trockenheit (Haftreibungszahl für Gummi auf trockenem Asphalt µR = 0,9) als auch für Nässe (µR = 0,5)! Welche einfache Beziehung zwischen Gefälle und Haftreibungszahl ergibt sich? Berechnen Sie außerdem das Gewicht, mit dem das Auto bei der maximalen Steigung bergabwärts gezogen würde (ohne Haftreibung)! Hinweis. • Die Haftreibungskraft, welche der bergabwärts beschleunigenden Kraft genau entgegenwirkt, hängt von der Haftreibungszahl und der Normalkraft (senkrecht zum Boden) ab: FR = µR FN . • Die Angabe einer Steigung in Prozent berechnet sich aus dem Neigungswinkel folgendermaßen: n Prozent Steigung bedeuten eine Erhöhung von n Metern auf 100m Strecke. Geht man von einer gleichmäßigen Steigung aus, n bedeutet das für den Neigungswinkel α: tan (α) = 100 Lösung. Die Hangabtriebskraft auf das Auto der Masse m beträgt FH = mg sin (α). Die Normalkraft auf den Boden steht senkrecht dazu: FN = mg cos (α). Somit ist die Reibungskraft: FR = µR mg cos (α)

3

Sie wirkt der Hangabtriebskraft entgegen. Damit die resultierende Kraft kleiner oder gleich Null ist, muss also gelten:

Daraus lässt sich errechnen:

∆F = FH − FR = mg (sin (α) − µR cos (α)) ≤ 0

tan (α) =

sin (α) ≤ µR cos (α)

Für die Steigung in Prozent folgt damit: n ≤ µR , 100 das heißt die Haftreibungszahl gibt direkt die maximal verträgliche Steigung in Prozent an. Somit ist für Trockenheit maximal ein Gefälle von 90◦ (entsprechend einem Neigungswinkel von α = 42◦ ) möglich, für Nässe von 50◦ (α = 26◦ ). Das Gewicht, mit dem das Auto bergabwärts rutschen würde, berechnet sich aus der Hangabtriebskraft: M=

FH = m sin (α) ≈ 800kg g

bei der maximalen Steigung für Trockenheit und

bei der maximalen Steigung für Nässe.

M ≈ 530kg

Abbildung 2: Hangabtriebskraft und Haftreibung an einem Gefälle

0.4 Übungsaufgabe: Der Kuchentrick Aufgabe. Sie befinden sich auf einer Party und möchten die anderen Gäste beeindrucken, indem Sie die Tischdecke eines runden Tisches (Radius 70cm), auf dem genau in der Mitte ein ebenso runder Kuchen steht, unter diesem wegziehen, ohne dass der Kuchen zu Boden fällt. Der (geschwindigkeitsunabhängige) Gleitreibungskoeffizient des Kuchens auf der Tischdecke beträgt µ1 = 0,3, der des Kuchens auf dem Tisch µ2 = 0,4. Überlegen Sie schrittweise: 1. Welche Strecke d legt der Kuchen während der Zeitspanne τ zurück, in der er noch mit dem Tischtuch in Kontakt ist? Die Übergangsphase, in der der Kuchen von der Decke heruntergleitet, sei vernachlässigt. 2. Wie groß darf τ sein, damit der Kuchen nicht herunterfällt, d.h. damit sein Mittelpunkt sich am Ende noch auf dem Tisch befindet? 3. Wie schnell muss sich die Tischdecke also anfangs bewegen (in km/h)? Hinweis. • Die Reibungskraft ergibt sich aus dem Reibungskoeffizienten und der Normalkraft, die das Objekt auf den Boden auswirkt: FR = µFN • Bei wirkender Kraft F~ auf ein Objekt der Masse m ergibt sich in einer Zeitspanne von t0 bis t1 die GeschwindigR Rt ~ dt und die Änderung der kinetischen Energie ∆E = ~r(t1 )F~ d~r . keitsänderung ∆~v = m1 t01 F ~ r (t0 )

Lösung.

4

1. Während der Kuchen sich noch auf der Decke befindet, wirkt auf ihn eine Gleitreibungskraft proportional zur Normalkraft auf den Tisch, d.h. zur Gravitationskraft: F1 = µ1 M g mit der Masse des Kuchens M und der Erdbeschleunigung g. Nach Ablauf der Zeit τ , bei der der Kuchen die Decke verlässt, hat er damit die Geschwindigkeit 1 v= M

Z

τ

F1 dt = µ1 gτ 0

und die kinetische Energie M 2 E= v = 2

Z

d

F1 d~r = µ1 M gd .

0

Setzt man die Geschwindigkeit in letztere Formel ein, kann man schließlich die auf der Tischdecke zurückgelegte Strecke d berechnen: d=

1 µ1 gt2 2

2. Die kinetische Energie des Kuchens muss, wenn er den Rand des Tisches erreicht, 0 sein. Anfangs, also nach Verlassen der Tischdecke, bewegt er sich noch mit der Geschwindigkeit v = µ1 gτ und hat also die kinetische v2 . Die Gleitreibung mit dem Tisch verrichtet die Arbeit Energie E = M 2 W =

Z

R

~ 1 dr = µ2 M g (R − d). F

d

Setzt man E = W , kommt der Kuchen genau mit seinem Mittelpunkt auf der Tischkante zum Stehen. Dann gilt:   1 M (µ1 gτ )2 = µ2 M g R − µ1 gτ 2 2 2 und damit:

τ=

s

v = µ1 gτ =

s

2µ2 R = 0,5s gµ1 (µ1 + µ2 )

3. Mit dem Ergebnis für τ ergibt sich: km 2gµ1 µ2 R m = 1,5 = 5,5 s h µ1 + µ2

0.5 Übungsaufgabe: Der rutschende Faden Aufgabe. (a) Ein Faden der Länge l mit der Gesamtmasse m rutsche unter der Fallbeschleunigung g der Länge nach von einem Tisch herab. Sei x die Länge des vom Tisch herabhängenden Teils des Fadens.

5

Abbildung 3: Skizze: rutschender Faden Geben sie zunächst die den Faden herabziehende Kraft F in Abhängigkeit von x an. Hinweis. Die herabhängende Teilmasse verhält sich zur Gesamtmasse m wie die Teillänge x zur Gesamtlänge l. Lösung. Es ist F = g ml x, denn da xl der herabhängende Anteil der Fadenlänge ist, die die zugehörige Teilmasse durch lmx gegeben. Dies ist für unser Problem die schwere Masse. Schließlich wurde noch F = mg für die Schwerkraft ausgenutzt. Aufgabe. (b) Stellen sie die Newton’sche Bewegungsgleichung für x auf. Hinweis. Was ist hier die in der Newton’schen Bewegungsgleichung auftretende träge Masse? Lösung. x, wobei die zweite Gleichheit zuvor begründet wurde. In Wir bekommen als Bewegungsgleichung m¨ x = F = gm l der ersten Gleichung tritt m als träge Masse auf, denn der gesamte Faden wird bewegt. Aufgabe. (c) Lösen Sie die Bewegungsgleichung mit der Anfangsbedingung x(0) = x0 mit dem Ansatz x(t) = A cosh(ωt). Hinweis. d cosh x = sinh x und d sinh x = cosh x Es ist dx dx Lösung. 2 Zunächst setzen wir den Ansatz in die Bewegungsgleichung ein und erhalten mitdtd2 A cosh(ωt) = Aω 2 cosh(ωt) (Dabei haben wir den obigen Hinweis und die Kettenregel benutzt.) aus der Bewegungsgleichung ω 2 = l g, wobei A weggekürzt wurde. Mit x(0) = A (denn cosh(0) = 1) bekommen wir zusätzlich aus der Anfangsbedingung Ap = x0 . g t . Damit haben wir die Variablen A und ω aus dem Ansatz bestimmt und bekommen als Lösung x(t) = x0 cosh l Bemerkung: Die Bewegungsgleichung ist bis auf das Vorzeichen mit der des genäherten Fadenpendels identisch, dafür bekommen wir statt einer cos-förmigen eine cosh förmige Bewegung.

0.6 Übungsaufgabe: Freier Fall Aufgabe. (a) Wir wollen mit einem Experiment die Gleichheit von schwerer und träger Masse überprüfen und daran nachvollziehen, dass beide Konzepte a priori verschieden sind. Was ist die Beziehung zwischen der Kraft F~ auf einen Körper mit der trägen Masse mt und der Beschleunigung ~x¨, die dieser Körper erfährt? Lösung. Mit den angegebenen Notationen lautet das erste Newton’sche Gesetz mt~x¨ = F~ , d.h. Beschleunigung ~x¨ und Kraft F~ sind einander proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist gerade die träge Masse mt . Aufgabe. (b) Die Fallbeschleunigung auf der Erde ist ~g . Der Körper habe die schwere Masse ms . Was ist die zugehörige Schwerkraft ~ auf den Körper? Formulieren Sie das Ergebnis auch mit dem ersten Newton’schen Gesetz. F

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Lösung. Die Fallbeschleunigung ist in den angegebenen Notationen überF~ = ms~g gegeben. Mit dem ersten Newton’schen Gesetz aus dem vorherigen Aufgabenteil erhalten wir m~tx¨= ms~g . Aufgabe. (c) Wir betrachten nun die Situation von einem mit der Fallbeschleunigung ~g fallenden Bezugssystem aus, z.B. einem abstürzenden Fahrstuhl, dessen Ort durch ~xf gegeben ist.

Abbildung 4: Skizze: freier Fall Wie lautet der Ortsvektor des Körpers im Bezugssystem des Fahrstuhls? Hinweis. Verwenden Sie die Skizze. Der Ortsvektor in Bezug auf den Fahrstuhl ist dort auch eingezeichnet. Lösung. Aus der Skizze lesen wir den Ortsvektor des Körpers in Bezug auf den Fahrstuhl als Verbindungsvektor ~x − ~xf zwischen dem Ortsvektor des Fahrstuhls und dem Ortsvektor des Körpers ab. Aufgabe. (d) Im Bezugssystem des Fahrstuhls beobachtet ein mitbewegter Experimentator, dass der Körper kräftefrei schwebt. Formulieren Sie dies im Bezugssystem des Fahrstuhls mit Hilfe des ersten Newton’schen Gesetzes. Lösung. Die Beschleunigung im Bezugssystem des Fahrstuhls ist mit der vorherigen Teilaufgabe~x¨− ~x¨f . Die Kraft in diesem ¨f ) = ~0. System verschwindet, d.h. das erste Newton’sche Gesetz lautet hier mt (~x¨ − ~x Aufgabe. (e) Setzen Sie nun ein, dass die Beschleunigung ~x¨f des Fahrstuhls im freien Fall gerade ~g ist, um zu zeigen, dass träge Masse mt und schwere Masse ms gleich sind. Hinweis. Verwenden Sie weiterhin das allgemeine Resultat aus Teil (b). Lösung. Aus dem Ergebnis des vorherigen Teils mt (~x¨−~x¨f ) = ~0 erhalten wir durch Einsetzen von ~x¨f = ~g zunächst mt~x¨ = mt~g ¨ und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus Teil (b) (m~x g ) schließlich ms = mt . t = ms~ Aufgabe. (f) Schlagen Sie ein weniger gefährliches Experiment vor, mit dem die gleiche Feststellung gemacht werden kann, ohne dass man sich in einen fallenden Fahrstuhl setzen muss. Hinweis. Die Beobachtung ist, dass die relative Beschleunigung zwischen Fahrstuhl und Körper verschwindet. Lösung. Unter Vernachlässigung der Reibung (welche durch Herstellen eines Vakuums ausgeschaltet werden kann), können wir auch zwei verschieden schwere Körper aus der gleichen Höhe fallen lassen und die Zeit messen, die sie benötigen, um unten anzukommen. Beide Zeiten sind gleich, damit die Beschleunigungen der Körper und die relative Beschleunigung eines Körpers in Bezug auf den jeweils anderen verschwindet.

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0.7 Übungsaufgabe: Freier Fall in einer zähen Flüssigkeit Aufgabe. Eine Kugel (Masse m, Radius R) wird in ein Gefäß (Höhe h) mit einer zähen Flüssigkeit (Viskosität (vgl. Kap. 4979) η) fallen gelassen und sinkt dort zu Boden. Durch die Flüssigkeit erfährt sie zusätzlich zur Schwerkraft mg eine Reibungskraft −γv, wobei γ der Reibungskoeffizient der Flüssigkeit ist und v die Sinkgeschwindigkeit der Kugel. Ihre Anfangsgeschwindigkeit direkt an der Flüssigkeitsoberfläche (x = 0) beträgt v0 . 1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Kugel auf und bestimmen Sie die Geschwindigkeitsfunktion v(t)! Angenommen das Gefäß hätte keinen Boden, was wäre dann die Geschwindigkeit v∞ nach unendlicher Fallzeit? 2. Bestimmen Sie die Ortsfunktion x(t) der Kugel! Angenommen die Flüssigkeit ist sehr zäh, d.h. γ → ∞, was ist die Fallzeit τ der Kugel bis zum Boden ( x = h)? 3. Bei der Durchführung des Experiments wird eine 10g schwere Kugel mit einem Radius von 1cm sowie ein 50cm hohes Gefäß verwendet. Wenn die Kugel direkt von der Oberfläche aus fallen gelassen wird, d.h. v0 = 0, misst man eine Fallzeit von τ = 1min. Bestimmen Sie aus diesen Angaben γ und hieraus über das Gesetz der Stokesschen Reibung (vgl. Kap. 4978) γ = 6πηR die Viskosität η der Flüssigkeit!

Abbildung 5: Eine Kugel fällt durch eine viskose Flüssigkeit. Hinweis. • Die Differentialgleichung im ersten Teil der Aufgabe lässt sich sehr einfach lösen, wenn man sie so transformiert, dass der konstante Summand der Gleichung verschwindet. Verwenden sie hierzu eine „versetzte“ Geschwindigkeit w := v + c mit geeigneter Konstante c ! • Im letzten Teil ergeben sich zwei mögliche Lösungen. Denken Sie an die zuvor getroffenen Näherungen, um zu entscheiden, welche plausibler ist! Zum Vergleich: die Viskosität von Wasser beträgt η = 1mP a · s bei Raumtemperatur.

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Lösung. 1. Die Bewegungsgleichung lautet: m¨ x = mg − γx˙ oder für die Geschwindigkeit v = x: ˙

Transformation mit w := v −

mg γ

mv˙ = mg − γv führt zu der Form:

γ w m Diese Gleichung lässt sich mit einem einfachen Exponentialansatz lösen: w˙ = −

γ

w(t) = ae− m t Unter Ausnutzung der Anfangsbedingung v(0) = v0 lässt sich die Konstante a bestimmen. Die Gleichung für die untransformierte Geschwindigkeit wird damit zu γ

v(t) = v0 e− m t + Im Limes limt→∞ erhält man daraus:

 γt mg  1 − e−m . γ

v∞ =

mg γ

2. Integration der zuvor bestimmten Geschwindigkeitsgleichung führt mit der Anfangsbedingung x(0) = x0 zu x(t) =

   mg m γ mg  t. v0 − 1 − e− m t + γ γ γ

Betrachtet man nun den Limes limγ→∞ , so ergibt sich aus h = x(τ ) die Fallzeit τ=

γ v0 m + . h− g mg γ

3. Die zuvor bestimmte Gleichung für die Fallzeit lässt sich in die Form einer quadratischen Gleichung für γ bringen, welche deshalb zwei Lösungen besitzt: mg γ= 2h

s   2   v0 v0 mg m2 g τ+ τ+ − ± 2h h g g

Dies lässt sich leicht in die Viskosität η=

γ 6πR

umrechnen. Setzt man die gegebenen Zahlenwerte ein, kommt man auf: γ=



s 12 N m s 2 mN m

bzw.: η=



65 P a · s 10 mP a · s

Da zuvor von großer Reibung ausgegangen wurde, erscheint η = 65 P a · s als plausible Lösung.

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0.8 Übungsaufgabe: Raketengleichung Aufgabe. (b) Wir diskutieren wieder die Bewegung einer Rakete. Die Austoßrate der Masse sei variabel m, ˙ wobei m die momentane Masse der Rakete bezeichne. Der Treibstoff werde mit der konstanten Geschwindigkeit vrel ausgestoßen. v sei die Geschwindigkeit der Rakete und −g die Fallbeschleunigung. Die zugehörige Differentialgleichung lautet dann mv˙ − mv ˙ rel = −mg Geben Sie die Bedeutung der einzelnen Terme an. Lösung. Der Term mv˙ beschreibt die Impulsänderung aufgrund der Zunahme der Geschwindigkeit der Raktete, während −mv ˙ rel den Beitrag aufgrund der Massenabnahme beschreibt. mg ist die Kraft, die die Gesamtimpulsänderung bewirkt, nämlich die Schwerkraft. Aufgabe. Vereinfachen Sie die Gleichung, indem Sie mit mdt durchmultiplizieren und lösen Sie die Gleichung...