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Kovarianzen, Regressionsmodelle...

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Statistik f¨ ur Fortgeschrittene II

¨ Ubung 1 Heinz Holling

SS 2018

1. Wie k¨ onnte man einem Laien erkl¨aren, was eine positive Kovarianz von zwei Variablen bedeutet. 2. Wie k¨ onnte man einem Laien erkl¨aren, der die Bedeutung der Standardabweichung kennt, was eine perfekte positive Kovarianz von zwei Variablen bedeutet. 3. Es gelte f¨ ur die Variablen X und Y : X = X1 + X2 + X3 Y = Y1 + Y2 + Y3 Von den Variablen X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 , Y3 seien alle Variablen wechselseitig untereinander unkorreliert, lediglich die Variablen X1 und Y1 nicht, ihre Kovarianz sei Cov(X1 , Y1 ) = .5. (a) Wie hoch ist die Kovarianz Cov(X, Y ) ? (b) Wenn weiterhin Cov(X1 , Y1 ) = .5 gilt und die Variablen X1 , X2 , X3 , Y1 , Y2 , Y3 jeweils eine Varianz von 1 besitzen, wie hoch ist die Korrelation Cor(X, Y ) ? 4. Gegeben sei die folgende Kovarianzmatrix:

Deutsch Mathe verb Int math Int

Deutsch 12 7 9 0

Mathe

verb Int

math Int

14 15 5

20 10

15

(a) Berechnen Sie Cov(Deutsch + Mathe, verb Int + math Int). (b) Berechnen Sie Cov(Deutsch + Mathe, verb Int - math Int). (c) Berechnen Sie Var(Deutsch + Mathe). (d) Berechnen Sie Var(verb Int + math Int). (e) Berechnen Sie Cor(Deutsch + Mathe, verb Int + math Int). 1

5. Gegeben sei die folgende Korrelationsmatrix mit Angabe der Varianzen in der letzten Spalte: Deutsch Mathe verb Int math Int Varianz Deutsch 1 1 Mathe .50 1 4 verb Int .50 .25 1 16 math Int .25 .50 .50 1 16 (a) Berechnen Sie Cov(Mathe, 1/4 math Int). (b) Berechnen Sie Var(1/2 (Mathe + Deutsch)). 6. Gegeben seien zwei diskrete Zufallsvariablen X1 und X2 jeweils mit den drei Werten 1, 2 und 3. Beide Zufallsvariablen besitzen eine Gleichverteilung und sind unkorreliert. (a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion (d. h. die m¨oglichen Werte und die zugeh¨origen Wahrscheinlichkeiten) f¨ur die Zufallsvariable X1 + X2 an. (b) Berechnen Sie ausgehend von dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion V ar(X1 + X2 ). (c) Berechnen Sie ausgehend von Var(X1 ), Var(X2 ) und Cov(X1 , X2 ) sowie den Rechenregeln f¨ur Varianzen Var(X1 + X2 ). 7. Gegeben seien zwei diskrete Zufallsvariablen Y1 und Y2 jeweils mit den drei Werten 1, 2 und 3. Beide Zufallsvariablen besitzen eine Gleichverteilung und sind korreliert mit Cor(Y1 , Y2 ) = 1. (a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ur die Zufallsvariable Y1 + Y2 an. (b) Berechnen Sie ausgehend von dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion V ar(Y1 + Y2 ). (c) Berechnen Sie ausgehend von V ar(Y1 ), V ar(Y2 ) und Cov(Y1 , Y2 ) sowie den Rechenregeln f¨ur Varianzen V ar(Y1 + Y2 ). 8. Gegeben seien zwei metrische Zufallsvariablen Z1 und Z2 mit den drei Werten 1, 2 und 3. Beide Zufallsvariablen besitzen eine Gleichverteilung und sind korreliert mit Cor(Z1 , Z2 ) = −1. (a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨ur die Zufallsvariable Z1 + Z2 an. (b) Berechnen Sie ausgehend von dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion V ar(Z1 + Z2 ). (c) Berechnen Sie ausgehend von V ar(Z1 ), V ar(Z2 ) und Cov(Z1 , Z2 ) sowie den Rechenregeln f¨ur Varianzen V ar(Z1 + Z2 ).

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