C3 Ejemplo de variables cuantitativas continuas Clase 3 PDF

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Ejemplo de variable cuantitativa continua:

Ejemplo de variable cuantitativa continua con tratamiento continuo:

1. Los datos recolectados en una muestra aleatoria de 22 piezas de una empresa arrojó los siguientes diámetros en cm, ordenados de menor a menor:

2,2-2,3-2,4-2,5-3-3,2-3,4-3,5-3,5-3,6-3,7-3,8-3,9-4-4,2-4,2-4,3-4,3-4,3-4,5-4,5-4,6

a)Armar la tabla de distribución de frecuencias agrupando los datos en 5 intervalos de igual amplitud. Utilizando el rango o amplitud: Rg = 4,6-2,2 =2,4, se obtiene la amplitud de cada intervalo dividiendo esta amplitud por la cantidad de intervalos buscados: a=

2,4  0,48  0,5 5

Eligiendo a=0,5 logramos 5 intervalos de igual amplitud comenzando con 2,2 que incluyen a 4,6, cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha (por convención). En la columna I ubicamos los intervalos que logramos construir a partir de 2,2 y sumando 0,5 (amplitud de cada intervalo), aunque no es la única manera de agrupar estos datos. En la columna x ubicamos la marca de clase de cada intervalo que logramos promediando los extremos del primer intervalo: x=(2,2+2,7)/2=2,45 y sumando 0,5 a cada marca de clase obtenida. I

x

f

fr

f%

F

Fr

F%

2,2-2,7

2,45

4

0,18

18

4

0,18

18

2,7-3,2

2,95

1

0,05

5

5

0,23

23

3,2-3,7

3,45

5

0,23

23

10

0,46

46

3,7-4,2

3,95

4

0,18

18

14

0,64

64

4,2-4,7

4,45

8

0,36

36

22

1

100

22

1

100

Total

b)Graficar.

Histograma:

Ojiva: 25

f 9

20 8 7 15

6 5

F 10

4 3

5

2 1 0

0 2,2-2,7

2,7-3,2

3,2-3,7

3,7-4,2

4,2-4,7

2,2

2,7

3,2

3,7

4,2

4,7

Otro gráfico posible es el polígono de frecuencias para representar f, fr o f% . c)Extraer conclusiones. Extraeremos algunas conclusiones posibles dado que se pueden calcular más medidas de las que aquí buscaremos.

Medidas de posición:

Medidas de intensidad:

Medidas de dispersión:

4 1

s=0,75

4  0,18 22

s2=(0,75)2 =0,5625

Mo 4,2;4,7

r=  4

Me=3,81

p=

0,75 .100  20,27 % 3,7

x =3,7

CV=

Q1=3,24

Rg*=4,7-2,2=2,5

Q2=3,81

RI=4,35-3,24=1,11

Q3=4,35 P80=4,42

Medidas de posición: -Para calcular la moda o modo se puede observar en la tabla que el mayor valor de la frecuencia absoluta simple es 8, es decir, predominan valores de la variable entre 4,2 y 4,7. Esto indica que predominan las piezas de entre 4,2 y 4,7 cm de diámetro.

-La mediana se puede encontrar buscando en la tabla el valor de la primera frecuencia porcentual acumulada que supera el 50%, en este ejemplo es 64, que corresponde al intervalo 3,7- 4,2 , llamado intervalo mediano. Aquí se utiliza la fórmula: Me = 3,7  0,5.

50  46  3,81 , donde 18

li=3,7 es el límite inferior del intervalo correspondiente al primer valor que supera el 50% en la columna de F % a=0,5 es la amplitud de cada intervalo o clase, a=4,2-3,7 50% es el porcentaje correspondiente a la mediana F %i-1=46 es la frecuencia porcentual acumulada del renglón anterior al intervalo mediano f%=18 es la frecuencia porcentual simple del intervalo mediano.

Esto indica que el 50% de estas piezas tiene a lo sumo 3,81 cm de diámetro y el restante 50% desde 3,81 cm.

-El promedio o media es 3,7 cm, que se calcula utilizando una calculadora científica (en modo SD o STAT), (en el primer caso ingresando los datos con M+, o en segundo caso con 1-VAR, dependiendo del modelo de calculadora) o utilizando la fórmula con la marca de clase y frecuencia absoluta simple: x

2,45.4  2,95.1  3,45.5  3,95.4  4,45.8  3,7 . 22

Esto indica que el diámetro promedio por pieza de esta muestra es 3,7 cm.

- El cuartil 1 se puede encontrar buscando en la tabla el valor de la primera frecuencia porcentual acumulada que supera el 25%, en este ejemplo es 46, que corresponde al intervalo 3,2 - 3,7, llamado intervalo cuartil. Aquí se utiliza la fórmula: Q1 = 3,2  0,5.

25  23  3,24 23

, donde

li=3,2 es el límite inferior del intervalo correspondiente al primer valor que supera el 25% en la columna de F% a=0,5 es la amplitud de cada intervalo o clase, a=3,7-3,2 25% es el porcentaje correspondiente al primer cuartil

F %i-1=23 es la frecuencia porcentual acumulada del renglón anterior al intervalo cuartil f%=23 es la frecuencia porcentual simple del intervalo cuartil.

Esto indica que el 25% de estas piezas tiene a lo sumo 3,24 cm de diámetro y el restante 75% desde 3,24 cm.

-El cuartil 2 y el percentil 50 coinciden con la mediana.

- El cuartil 3 se puede encontrar buscando en la tabla el valor de la primera frecuencia porcentual acumulada que supera el 75%, en este ejemplo es 100, que corresponde al intervalo 4,2 - 4,7, llamado intervalo cuartil. Aquí se utiliza la fórmula: Q3 = 4,2  0,5.

75  64  4,35 , donde 36

li=4,2 es el límite inferior del intervalo correspondiente al primer valor que supera el 75% en la columna de F% a=0,5 es la amplitud de cada intervalo o clase, a=4,7-4,2 75% es el porcentaje correspondiente al tercer cuartil F %i-1=64 es la frecuencia porcentual acumulada del renglón anterior al intervalo cuartil f%=36 es la frecuencia porcentual simple del intervalo cuartil.

Esto indica que el 75% de estas piezas tiene a lo sumo 4,35 cm de diámetro y el restante 25% como mínimo 4,35cm.

- El percentil 80 se puede encontrar buscando en la tabla el valor de la primera frecuencia porcentual acumulada que supera el 80%, en este ejemplo es 100, que corresponde al intervalo 4,2 - 4,7, llamado intervalo percentil. Aquí se utiliza la fórmula: P80 = 4,2  0,5.

80  64  4,42 , donde 36

li=4,2 es el límite inferior del intervalo correspondiente al primer valor que supera el 80% en la columna de F% a=0,5 es la amplitud de cada intervalo o clase, a=4,7-4,2 80% es el porcentaje correspondiente al percentil 80 F %i-1=64 es la frecuencia porcentual acumulada del renglón anterior al intervalo percentil f%=36 es la frecuencia porcentual simple del intervalo percentil.

Esto indica que el 80% de estas piezas tiene a lo sumo 4,42 cm de diámetro y el restante 20% desde 4,42 cm.

Aclaración: se pueden calcular otros percentiles, elegimos este para mostrar cómo se realiza el cálculo.

Medidas de intensidad: En este ejemplo elegimos calcular esta razón y proporción teniendo la posibilidad de encontrar otras, ya que hay muchas posibles.

-La razón entre las piezas que tienen entre 2,2 y 2,7 cm de diámetro y las piezas que tienen entre 2,7 y 3,2 cm de diámetro es 4. Esto indica que por cada pieza que tiene entre 2,7 y 3,2 cm de diámetro, hay 4 piezas que tienen entre 2,2 y 2,7 cm de diámetro.

-La proporción de piezas que tienen entre 2,2 y 2,7 cm de diámetro es 0,18. Esto indica que el 18% de las piezas tiene entre 2,2 y 2,7 cm de diámetro. Medidas de dispersión: -El desvío se calcula con calculadora en los modos indicados para el cálculo de la media o promedio, (pidiendo sx ó xσn-1 dependiendo del modelo de la calculadora) o utilizando:

s

2,45  3,7 2  2,95  3,7 2  3,45  3,7 2  3,95  3,7 2   4,45  3,72 22  1

Por lo tanto, el margen de error al considerar la media como 3,7cm es 0,75cm de diámetro.

-La varianza se calcula elevando al cuadrado el desvío, por eso la varianza es 0,5625.

-El coeficiente de variación se calcula dividiendo los valores del desvío y el promedio CV=20,27%

ó CV=0,2027.

Este coeficiente lo utilizaremos para comparar la homogeneidad / heterogeneidad de muestras o variables.

-El rango o amplitud es la distancia entre los valores máximo y mínimo de los valores de la variable, en este caso Rg=2,5. Esto indica que la amplitud entre los diámetros mínimo y máximo de estas piezas es 2,5 cm.

-El rango o amplitud intercuartil es la distancia entre los cuartiles 3 y 1, en este caso es Ri=1,11. Esto indica que el 50% central de los diámetros de estas piezas se encuentran comprendidos entre 3,24 y 4,35 cm con una amplitud de 1,11 cm.

d) Analizar la simetría. MO > Me > x

debido a que: 4,45>3,81>3,7

Entonces la distribución de datos no es simétrica, es asimétrica a la izquierda.

e)¿Cuál es el diámetro mínimo del 20% de las piezas? P80 =4,42, es decir, el 80% de las piezas tiene como máximo 4,42 cm y el restante 20% tiene como mínimo 4,42 cm de diámetro.

f)¿Cuál es el diámetro máximo del 25% de las piezas? P25 =3,24, es decir, el 25% de las piezas tiene como máximo 3,24 cm de diámetro y el restante 75% tiene como mínimo 3,24 cm.

g) Calcular el porcentaje de piezas cuyo diámetro es a lo sumo de 3 cm. Pk = 3 , esto implica que, utilizando la fórmula de percentiles, 2,7  0,5.

k  18  3 , despejando k de esta ecuación resulta que 23

k= (3  2,7).

23  18 , entonces 0,5

k= 31,8% Esto implica que el 31,8% de las piezas tiene a lo sumo 3 cm de diámetro.

h) Por cada pieza de menos de 2,7 cm de diámetro, ¿cuántas tienen al menos 2,7 cm? r=

18  4,5 4

Por cada pieza de menos de 2,7 cm de diámetro, hay 4,5 piezas que tienen al menos 2,7 cm....