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Resumen Tema 4 Estaca1. Variables Aleatorias Continuas1 Funci ́on de Distribuci ́on de ProbabilidadSeaXuna variable aleatoria continua(V.A) (es decir, su recorrido no es finito ni numer- able), entonces, una funci ́on de densidad de probabilidad fdp deXes una funci ́onf(x) tal que para todo a y b co...

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Resumen Tema 4 Estaca

1. Variables Aleatorias Continuas 1.1 Funci´ on de Distribuci´ on de Probabilidad Sea X una variable aleatoria continua (V.A.C) (es decir, su recorrido no es finito ni numerable), entonces, una funci´ on de densidad de probabilidad fdp de X es una funci´on f (x) tal que para todo a y b con a ≤ b :

P (a ≤ X ≤ b) =

Z

b

f (x)dx

(1)

a

Para que f (x) sea una fdp leg´ıtima, debe satisfacer las dos siguientes condiciones: 1. f (x) ≥ 0 2.

R∞

−∞ f (x)dx

=1

1.2 Funci´ on de Distribuci´ on Acumulativa de Probabilidad La funci´ on de distribuci´ on acumulativa de una V.A.C da las mismas probabilidades de P (X ≤ x) y se obtiene integrando la fdp f (y) entre los l´ımites −∞ y x, es decir: F (x) = P (X ≤ x) =

Z

x

f (y)dy

(2)

−∞

Podemos utilizar F (X) para calcular las probabilidades asociadas a la V.A.C, entonces: P (X ≥ a) = 1 − F (a) P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a)

(3) (4)

1.3 Obtenci´ on de f (x) a partir de F (x) Si X es una V.A.C con fdp f (x) y fda F (x), entonces con cada x hace posible que la derivada exista F ′ (x) exista, luego: ∂F (x) = f (x) ∂x 1

(5)

1.4 Percentiles de una distribuci´ on continua Sea X una V.A.C con fda F (x), si F −1 (p) existe para cierto p ∈ [0, 1], ´este valor se denomina el 100p-´esimo percentil de X : η(p) = F −1 (p)

(6)

1.5 Valor esperado y varianza de una V.A.C El valor esperado de una V.A.C denotado por E(X) con una fdp f (x) viene dada por la ecuaci´ on (7) y la varianza de una V.A.C est´a dada por la ecuaci´on (8): Z ∞ xf (x)dx (7) E(x) = −∞

V (x) = E (x2 ) − E 2 (x)

(8)

2. Distribuci´ on Uniforme 2.1 Definici´ on de Distribuci´ on Uniforme Se dice que una V.A.C X tiene una distribuci´on uniforme en [A, B] si la fdp de X es:  1 A≤x≤B B−A f (x; A, B) = 0 etoc

(9)

Se denota por X∼U(A, B)

E(x) =

(B + A) 2

V (x) =

(B − A)2 12

(10)

3. Distribuci´ on Normal 3.1 Definici´ on de Distribuci´ on Normal Se dice que una V.A.C X tiene una distribuci´on normal con par´ametros µ y σ, donde −∞ < µ < ∞ y σ > 0 si la fdp es: 2 2 1 e−(x−µ) /(2σ ) f (x; µ, σ) = √ 2πσ

(11)

Se denota por X∼N(µ, σ ) 3.2 Distribuci´ on Normal Est´ andar Si la distribuci´on normal tiene µ = 0 y σ = 1, se le llama distribuci´on normal est´ andar y su V.A.C se denotar´a por Z. Su fdp de Z es: 1 2 f (z; 0, 1) = √ e−Z /2 2π 2

(12)

La f da de la distribuci´on normal est´ andar estar´a denotada por: Z z Φ(z) = P (Z ≤ z) = f (y; 0, 1)dy

(13)

−∞

La distribuci´ on normal est´ andar es sim´etrica, por lo tanto se cumple: Φ(−z) = 1 − Φ(z)

(14)

3.3 Pasar de Distribuci´ on Normal No Est´ andar a Est´ andar Z=

x−µ σ

(15)

a−µ b−µ ) ≤Z≤ σ σ

(16)

P (a ≤ X ≤ b) = P (

P (X ≤ a) = Φ(

a−µ ) σ

P (X ≥ b) = 1 − Φ(

b−µ ) σ

(17) (18)

4. Distribuci´ on Exponencial Se dice que X tiene una distribuci´on exponencial con par´ametro λ > 0 si la fdp de X es: f (x; λ) =



λe−λx 0

x≥0 etoc

(19)

Se denota por X∼Exp(λ) Su fda est´ a dada por: f (x; λ) =



E(x) =

1 − e−λx 0

x≥0 etoc

(20)

1 λ

1 λ2

(21)

V (x) =

4.1 Relaci´ on con Distribuci´ on de Poisson La distribuci´ on exponencial se utiliza con frecuencia como modelo de la distribuci´ on de tiempos entre ocurrencia de eventos sucesivos. Supongamos que el n´ umero de eventos que ocurren en cualquier intervalo de tiempo de duraci´ on t tiene una distribuci´ on de Poisson con par´ ametro αt (donde α, la raz´ on del proceso de eventos, es el n´ umero esperado de eventos que ocurren en una unidad de tiempo). Entonces la distribuci´on del tiempo transcurrido entre la ocurrencia de dos eventos sucesivos es exponencial con par´ametro λ = α 3

4.2 Propiedad de ”Falta de Memoria” La distribuci´ on exponencial no tiene memoria, es decir, si X∼Exp(λ), entonces: P (X > t + t0 |X > t0 ) = P (X > t) = e−λt

(22)

Por lo tanto, la distribuci´ on de duraci´on adicional es exactamente la misma que la distribuci´ on original de duraci´ on, as´ı que en cada punto en el tiempo el componente no muestra ning´ un efecto de desgaste. En otras palabras, la distribuci´ on de la duraci´on restante es independiente de la antig¨ uedad actual.

5. Distribuci´ on Gamma 5.1 Funci´ on Gamma Γ(α) =

Z

∞

xα−1 e−x

(23)

0

1. Si α > 0, entonces: Γ(α) = (α − 1) Γ(α − 1) 2. Si α es entero, Γ(α) = (α − 1)! √ 3. Γ( 12 ) = π 5.2 Definici´ on de Distribucion Gamma Se dice que X tiene una distribuci´on gamma si la fdp de X es:

f (x; α, λ) =

(

1 α−1 −x/β e β α Γ(α) x

0

x≥0 etoc

(24)

Se denota por X∼Gamma(α, β ) Si β = 1, entonces la distribuci´ on es gamma est´ andar E(x) = αβ

V (x) = αβ 2

(25)

5.3 Funci´ on de Gamma Incompleta Cuando X es una V.A.C gamma est´andar, su fda es: Z x α−1 −y y e F (x; α) = Γ(α) 0

(26)

La anterior se le denomina funci´on de gamma incompleta, y se usa para el c´ alculo de probabilidades de la V.A.C

4...