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Variables aleatorias discretas. PROBABILIDAD Y Jonathan Galindo Amaya UADY FACULTAD DE 1 La vida de la patente para un nuevo medicamento es 17 Si restamos el tiempo requerido por la FDA para someter a pruebas y aprobar el medicamento, se obtiene la vida real de la patente para el medicamento, es dec...

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Variables aleatorias discretas. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.

Jonathan Galindo Amaya UADY | FACULTAD DE INGENIERÍA.

1.1 La vida máxima de la patente para un nuevo medicamento es 17 años. Si restamos el tiempo requerido por la FDA para someter a pruebas y aprobar el medicamento, se obtiene la vida real de la patente para el medicamento, es decir, el tiempo que la compañía tiene para recuperar los costos de investigación y desarrollo y para obtener una utilidad. La distribución de los tiempos de vida reales de las patentes para nuevos medicamentos se da a continuación: Años,

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

y p(y)

0.0

0.05

0.07

0.10

0.14

0.20

0.18

0.12

0.07

0.03

0.01



3 Encuentra la vida media de la patente para un nuevo medicamento.

Para este inciso podemos emplear directamente la fórmula de media para variables aleatorias.

E [ y ]=∑ x i P { X =xi } i

E [ y ]=3 ( 0.03 ) +4 ( 0.05) +5 ( 0.07 ) +6 ( 0.10 )+7 ( 0.14 ) +8 ( 0.20 ) +9 ( 0.18 )+ 10 ( 0.12) +11 ( 0.07) +12 ( 0.03 )+ 13 ( 0.01 ) E [ y ]=7.9



Encuentra la desviación estándar de Y = tiempo de vida de un nuevo medicamento seleccionado al azar.

Para este inciso también se emplea la formula directa de varianza para variables aleatorias, pero para obtener la desviación estándar se le saca raíz cuadrada a la varianza.

σ 2 =E [ y 2 ] −[ E [ y ] ]

2

2 E [ y ] =9( 0.03) +16 ( 0.05) +25 ( 0.07 )+ 36 ( 0.10) +49 ( 0.14 ) +64 ( 0.20 )+ 81 ( 0.18 ) +100 ( 0.12) +121 ( 0.07) +144 ( 0.0

E [ y 2 ] =67.14 σ 2 =E [ y 2 ] −[ E [ y ] ] =67.14 −62.41 2

2

σ =4.73 σ =2.1748



¿Cuál es la probabilidad de que el valor de Y caiga en el intervalo � ± 2�?

Primero se calcula el rango con las condiciones que pide el problema:

[ 7.9−2 ( 2.1748 ) , 7.9+ 2 ( 2.1748 ) ] [ 3.5500,12.2496 ] Al tratarse de variables discretas, se debe de considerar valores enteros puesto que a cada valor entero le corresponde un solo valor de probabilidad, en este caso al ser los valores más cercano a los límites del rango se toman como

[ 4, 12 ] y para obtener la probabilidad

total se deben sumar los valores de probabilidad para cada dato entre 4 y 12.

P=0.05+ 0.07+ 0.1 + 0.14 + 0.20 + 0.18 + 0.12+0.07+0.03 P=0.96

1.2 Un aparato detector de incendios utiliza tres celdas sensibles a la temperatura que actúan de manera independiente una de otra, en forma tal que una o más pueden activar la alarma. Cada celda presenta una probabilidad de p = .8 de activar la alarma cuando la temperatura alcanza 100°C o más. Sea Y igual al número de celdas que activan la alarma cuando la temperatura alcanza los 100°.



Encuentre la distribución de probabilidad para Y.

Utilizando la fórmula de distribución binomial, se calculan todos los casos posibles, incluyendo el caso en que ninguna alarme se active, de esta forma se obtiene la distribución completa.

( nk) p (1− p)

P { X=k}=

k

n−k

( 30) (.8) (1−.8)

P { X=0}=

0

3−0

=0.008

()

1 3−1 P { X=1}= 3 (.8) (1−.8 ) =0.096 1

()

2 3−2 P { X=2}= 3 (.8) (1−.8 ) =0.384 2

()

3 3−3 P { X=3}= 3 (.8) (1−.8) =0.512 3



Encuentre la probabilidad de que la alarma funcione cuando la temperatura alcance los 100°.

En este caso nos interesa que la alarma se active por lo que la probabilidad está dada por:

P( y )=P { X=1 }+ P { X =2 } + P { X=3 }

P( y )=0.992

1.3 Supón que 30% de los solicitantes para cierto trabajo industrial posee capacitación avanzada

en

programación

computacional.

Los

candidatos

son

elegidos

aleatoriamente entre la población y entrevistados en forma sucesiva. Encuentre la probabilidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en programación se encuentre en la quinta entrevista. Encuentra la probabilidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en programación se encuentre en la quinta entrevista. Este caso cae sobre la distribución geométrica, por lo tanto, usamos la fórmula de esta, teniendo en claro que nuestro éxito es el caso de que los solicitantes estén capacitados.

p=0.3 P [ X=k ]=( 1− p )

k−1

p

5−1 P [ X=5]= (1−.3 ) ( .3) =0.07203

1.4 Es frecuente que las semillas sean tratadas con fungicidas para protegerlas en ambientes húmedos y con desecación defectuosa. Un intento a pequeña escala, que comprende cinco semillas tratadas y cinco no tratadas, fue realizado antes de un experimento a gran escala para explorar cuanto fungicida aplicar. Las semillas se plantaron en un suelo húmedo y se contó el número de plantas que brotaron. Si la

solución no era efectiva y cuatro plantas brotaron en realidad, ¿cuál es la probabilidad de que



las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas?

Primero se deben de determinar los valores que se usaran en la fórmula.

r N−r ( x )( n− x ) P [ X=x]= ( Nn )

en este caso serían

N=10, r=5 y n=4

el valor de la x irá

cambiando dependiendo de la probabilidad que se indique, para este caso particular es

x=4

5 10 −5 ( 4)( 4−4 ) =0.0238 P [ X=4]= 10 (4 ) 

tres o menos brotaran de semillas tratadas?

Aquí se quiere que 3 o menos semillas broten, así que usa la misma fórmula cambiando los valores de

x , sumando todo esto se obtiene el valor total de la probabilidad.

5 5 ( 0 )( 4 ) P [ X=0]= =0.02381 10 (4 ) 5 5 ( 1)(3 ) P [ X=1]= =0.2380 10 (4) 5 5 ( 2)( 2) =0.4761 P [ X=2]= 10 (4)

5 5 ( 3)( 1) =0.2380 P [ X=3]= 10 (4)

f (x)=P [ X=0] + P [X =1 ]+ P [ X =2 ]+ P [ X =3] f (x)=0.9759 

al menos una brotara de semillas no tratadas?

En este caso se quiere que al menos uno brote de una semilla no tratada, para esto se emplea la fórmula del complemento, y nuestro complemento sería el caso donde ninguna brotara.

f (x)=1−P [ X =0 ] f (x)=0.9759

1.5 Un lote de estacionamiento tiene dos entradas. Llegan autos a la entrada I de acuerdo con una distribución de Poisson a un promedio de tres por hora y a la entrada II de acuerdo con una distribución de Poisson a un promedio de cuatro por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que un total de tres autos lleguen al lote de estacionamiento en una hora determinada? (Suponga que el número de autos que llega a las dos entradas son independientes.)

P [ X=k ]=

e−λ λ k k!

Entrada 1:

P [ X=K 2] =

Entrada 2: −4

e 3 k 2!

k2

P [ X=K 1 ]=

−3

e 3 k1 !

k1

Hay que tener en cuenta que se quiere calcular la probabilidad de que únicamente entren 3 autos al estacionamiento, por esto se necesita calcular la suma de autos que entra por cada entrada, sin embargo, la suma debe ser exactamente 3.

(

f (x)=

)(

)(

)(

e−3 33 e−4 4 0 e−3 32 e−4 4 1 e−3 31 e−4 4 2 e−3 3 0 e− 4 43 + + + − − − − 0! 1! 2! 3! 3! 2! 1! 0!

f (x)=0.0041+0.0164+0.0218 + 0.0097 f (x)=0.052

)...