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2012

Ingeniería Civil - UNSCH

Análisis Estructural II (IC-4 (IC-444 44 44)) TRABAJO 03 Ingenie Ingeniero: ro: Yachapa Con Condeña, deña, Rubén Alumn Alumno: o: Cárdenas Quispe, Erbin Luis Código: 16062905

is Estructural II - Solucionario Práctica iii

-1-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

PROBLEMAS PROPUESTOS EJERCICIO Nº 04

q0

Solución  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0 M

M' V

V'

 Para carga uniforme distribuida se tiene: L L  3X 2 2 X 3  V   q02 ( x)dx  q0 1  2  3  dx 0 0 L L   q L V 0 2 2

L X  0 q0 3 ( x) dx  0 q0 X 1  L  dx q 0 L2 L

M

M 

12 L

L

V '   q0 5 ( x)dx  q0 0

V'

0

X2  2X  3  dx 2 L  L 

q0 L 2 L

L

M '  0 q0 6 ( x) dx  q0 0

X 2  X  1  dx L  L

2

M ' 

q0 L 12

 Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-2-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

q0 L2 12

q0

q0 L2 12

q0 L 2

q0 L 2

EJERCICIO Nº 05

q0

Solución  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0 M

M' V

V'

 Para carga uniforme distribuida se tiene:

V 

L/2

0

V

q02 ( x)dx 

0

 3X 2 2X 3  q0 1  2  3 dx L L  

13q0 L 32 L /2

M  0

M 

q0 3 ( x) dx 

L /2

0

2

 X q0 X 1   dx L 

11q 0 L2 192

V ' 

L/ 2

0

V'

L/2

q0 5 (x )dx 

L/ 2

0

q0

X2  2X   3  dx 2 L  L 

3q0 L 32 L/2

M'  

0

M ' 

L /2

q06 ( x) dx 

0

q0

 X2 X 1  dx L  L

5q0 L2 192

 Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-3-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

5 q0 L2 192

q0

11q0 L2 192

13q0 L 32

3q0 L 32

EJERCICIO Nº 06 q0

Solución  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son: q0

M

M' V

V'

 Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existe una pendiente:

P( y) q0  X L

P( y) 

q0X L

 Para carga uniforme distribuida se tiene: L

q 0X 0 L

V   P( y) 2 ( x) dx  0

V

L

 3X 2 2 X 3  1  2  3  dx L L  

3q0 L 20 L

M   P( y) 3 ( x) dx   0

M 

L

0

q0 X 2 L

2

X  1   dx L 

q 0 L2 30 L

L

0

0

V '   P( y ) 5 ( x)dx  

q0 X 3  2X  3 dx 3 L  L 

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-4-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

V'

7 q0 L 20 L

L

M '  0 P( y )6 ( x)dx    0

M ' 

q0 X 3 L2

X  1  dx L 

q 0 L2 20

 Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera: q0

q0 L2 30

q0 L2 20 3q0 L 20

7 q0 L 20

EJERCICIO Nº 07 q0

Solución  Distribuimos la carga uniforme a los largo de la barra (ejes locales), convirtiéndolo en cargas puntuales:

se

na

q0 L

sa co

q0 L

q0 L

De donde:

sen 

H H L 2

2

y cos  

L H  L2 2

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-5-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

 Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida a los largo de la barra son: N'

M'

V' se

na

q0 L

sa co

q0 L

q0 L

M

N V

 Para carga puntual se tiene:

N  q 0 Lsen ( )1 (x ) 

   2 q 0L  1 H 2  L2    

 H 2  L2 3  2 

  q0 L2   H 2  L2   

  2 2 H L  1  2  

  q 0 LH  H 2  L2  

H 2  L2   2 2 2  H L  

2 H 2  L2

V  q 0L cos( ) 2 (x ) 



H

2

L  2

   

2

2



 H 2  L2 2  2 



H 2  L2

q0 L2 2 H 2  L2

M  q0 L cos( )3 ( x) 

M 

H 2  L2 2 H 2  L2

     

2

      

q 0 L2 8

N '  q 0 Lsen( ) 4 ( x) 

N' 

H 2  L2 2 H 2  L2

q0 LH

N

V

     

  q 0 LH  1 H 2  L2  

q0 LH 2 H 2  L2

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-6-



   

3

3

       

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

V ' q 0 L cos( ) 5 (x ) 

V '

 2 2  H L  2 q 0L 2   H 2  L2  H 2  L2   



       

2

   H 2  L2 2    3 2  2  H 2  L2  



q0 L2 2 H 2  L2

M '  q 0L cos( ) 6 (x ) 

M ' 

  H 2  L2  2        2   2 q0 L      1 2 2 2 2  H L H L     

H 2  L2 2 2 H  L2

       

q 0 L2 8

 Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

q0 LH 2 H 2  L2

se

na

q0L

sa co

q0L

q0L

q0 L2 8 q0 L2 2 H 2  L2

q0 L2 8 q0 LH 2 H 2 L2

q0 L2 2 H 2  L2

Para los siguientes ejercicios, selecciones un sistema de coordenadas Q – q y encuentre la expresión de las elásticas horizontal y vertical del elemento BC en términos de las coordenadas

q i y las funciones 1 , 2 ,..., características del miembro.

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-7-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

EJERCICIO Nº 08 B

C

A0 I0

A=œ I0

A=œ I0

D

A

Solución  El sistema de coordenadas Q – q es: 1

2

3 4

 Para el elemento BC se tiene:

u 1  q1 v1  0 1  q 2

u 2  q3 v2  0  2  q4

 Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):

L X 1 1 ( x)  1  1 2  L L 2

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-8-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH 2

 2 ( x)  1 

3X 2 2 X 3  3 L2 L

3

 L  L 3  2  2 2 1 1   2    3   L 2 L 2

 L 2 L  2  L  X   3 ( x)  X 1    1  2 L 8 L      L X 1  4 ( x)   2  L L 2 L   2 2X   2  X  5 (x )  2  3    L  L  L2

2

  3    

 L   2 X  X  2 1  6 ( x)        L  L L

2

 L  2   2  1 L  2  

    1     

L   2  L   8 L  

 Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica:

u (x )  u1 1 (x )  u2 4 (x ) u( x) 

1 1 q1  q3 2 2

v( x)  v1 2 ( x)  1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x) u(x) 

L L q 2  q4 8 8

 ( x )  v' ( x ) d  X X 2 X    1   1 X 1    2 d (x )  L L  L    2 X 3X 2   4X 3X 2   2   2    2    (x )  1 1  L  L L   L  2

 (x ) 

Para x=L/2:

1 4

1 4

 ( x)   q1  q 2

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

-9-

2012

Ingeniería Civil - UNSCH EJERCICIO Nº 09 B A0 I=œ

A0 I0

C A0 I0

A

D

Solución  El sistema de coordenadas Q – q es: 2 1

3

4

 Para el elemento BC se tiene:

u 2  q 4 cos 

u 1  q1 cos  q 2 sen  v1  q 2 cos  q1 sen  1  q 3  De acuerdo a la figura 

4 3 q1  q 2 5 5 4 3 v1  q 2  q1 5 5 1  q3 u1 

v2  q4 sen  2  0

 37º : 4 q4 5 3 v2  q4 5 2  0 u2 

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

- 10 -

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

 Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):

L X 1 1 ( x)  1   1  2  L 2 L 2

 2 ( x)  1 

3X 2 2 X 3  3 L2 L

 L 3  2 1   2   L

3

 L 2  1 2  3 2 L

2

 L L  2  L  X   x X   1 3 ( ) 1  2 L 8 L      L X 1  4 ( x)   2  L L 2 2

L   2 2X   2  X   5 (x )  2  3   L  L  L2

2

 L   2 X  X  2  6 ( x)   1     L  L L

  L   2   3   2    1  L  2     2

    1     

L   2  L   8 L  

 Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica:

u( x)  u11 ( x)  u24 ( x) 1 4 3  2  q1  q2   q4 2 5 5  5 v( x)  v1 2 ( x)  1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x)

u( x) 

1 4 3  L 3  q 2  q1   q3  q4 2 5 5  8 10  ( x )  v' ( x ) u (x ) 

 (x ) 

2 2 X  d   X X2  3X 2 2 X 3      1 1     v2 2  3 v1   2  3  1 X   d (x )   L L  L L  L  

 6X 6 X 2   4 X 3X 2   6X 6 X 2          v 1  1 2 2  L2  L3  L3  L L2      L

 ( x)  v1  Para x=L/2:

 (x )  

3 2L

3  1 9 4 q4  q 2  q1   q3  10L 5  4 5

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

- 11 -

2012

Ingeniería Civil - UNSCH EJERCICIO Nº 10 C

A0 I=œ

D

A0 I0

B

A0 I0

A

Solución  El sistema de coordenadas Q – q es: 4 2 1

3

 Para el elemento BC se tiene:

u 2  q 4 cos  v 2  q 4 sen  2  0

u1  q1 cos   q 2 sen  v1  q 2 cos  q1 sen  1  q 3  De acuerdo a la figura 

4 3 q1  q 2 5 5 4 3 v1  q2  q1 5 5 1  q3 u1 

 37º : 4 q4 5 3 v2   q4 5 2  0 u2 

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

- 12 -

2012

Ingeniería Civil - UNSCH  Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):

L 1 X 1 ( x)  1   1  2  2 L L 2

3

 L  L 3  2  2 3 1 3X 2X 2  2   2 ( x)  1  2  3  1  3 2 2 L L L L 2

 L   X L 2 L    3 ( x)  X 1    1  2 L 8 L      L 1 X  4 ( x)   2  L L 2 2

L   2 2X   2  X   5 (x )  2  3   L  L  L2

2

 L   2 X  X  2  6 ( x)   1     L  L L

  L  2    3   2    1  L  2     2

    1     

L   L 2   8 L   

 Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica:

u( x)  u11 ( x)  u24 ( x) 1 4 3  2  q1  q2   q4 2 5 5  5 v( x)  v1 2 ( x)   1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x)

u( x) 

1 4 3  L 3  q2  q1   q3  q4 10 2 5 5  8  ( x )  v' ( x ) u (x ) 

2 2 X  d   X X2  3X 2 2 X 3    (x )   v1  1 2  3   1 X  1   v2 2  3 d (x )   L L  L L  L  

 6X 6 X 2   4 X 3X 2   6X 6 X 2          1  v 1 2 2  L2  L3  L3  L L2      L

 ( x)  v1 

Para x=L/2:

 (x )  

3 4 3  1 9 q4  q 2  q1   q 3  2L  5 5  4 10L

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

- 13 -

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

EJERCICIO Nº 11 Encontrar v(x) en el punto medio (x = 2.5 m) del vano derecho del pórtico en la siguiente figura, donde todos los elementos son totalmente flexibles: 35.4 kg/cm B

C

30x40

25x25

E

30x25

25x25

25x25

D

A

F

Solución  El sistema de coordenadas Q – q es: 8

5

2 1

3

7 9

4 6

 El cálculo del vector de coordenadas generalizadas q, se obtuvieron utilizando un programa de computación:

  0.4069752    0.1181176     8.759498 x10 4      0.4152865  q    0.4196969    4  6 .020483 x10    0.4336346      0.1657211    3 .31526210 3     Para el cálculo de v(x), es necesario encontrar las coordenadas locales del miembro CE:

v1  q 5  0.4196969mm.

1  q6  6. 020483 x104 rad . v2  q8   0.1657211mm.

 2  q9  3. 31526210 x10 3 rad. Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

- 14 -

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

 Evaluamos las funciones de forma en X = 2.5 m:

 2 ( x)  1 

 

3X 2 L2

 3 ( x)  X 1 

 5 (x ) 



2X 3 L3

1 

32 .52 2 2 .5 3   0.5 m. 52 53

2

2

X 5  2.5    1    0.5m. 5  2 L

2 22.5 X 2  2 X  2.5   3   3   0.5 m.   2 2 L  5  5  L 

 6 ( x)  

2.52  2.5     X 2 X  0.625m. 1   1     L  L 5  5 

 Por otra parte el factor P0/24EI es:

P0  24 EI

35.4  30 x 403 24 x 217370 x 65  12

  

 4. 241028x 1011

1 cm 3

 Luego:

X 4  X 2 L2  2 X 3 L  2.54  2.52 x 52  2x 2.53 x 5  39m 4  39x 1012 mm 4 .  Luego se reemplaza en la siguiente ecuación:

v (x )  v1 2 (x )  1 3 (x )  v2 5 (x)  2 6 (x ) 





P0 X 4  X 2 L2  2 X 3 L 24EI

v( x)  0.4196969 x0.5 6.020483 x104  x500 0.1657211 x0.5  3.31526210 10 x 3  x 625  4 .241028 10 x v( x)  4.319773 mm.

Ésta es la deformación instantánea en el centro del segundo vano, el signo menos indica que en ese punto el eje de la viga se desplaza hacia abajo.

Análisis Estructural II - Solucionario Práctica iii

- 15 -

14

39 10x  12

2012

Ingeniería Civil - UNSCH

EJERCICIO Nº 12 Deducir las ecuaciones correspondientes al momento y cortantes en el nudo inicial de una viga de sección constante con carga trapezoidal.

q0

Solución  Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0

M

M' V

V'

 Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existen dos pendientes, y una uniforme: Para 0...