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Capítulo 9Introducción a losDiagramas de BloquesDinámica de Sistemas 276Capítulo 9Introducción a los Diagramas de Bloques 19 IntroducciónExisten diferentes formas de representar un sistema de control 2. En el capítulo 5 se presentó el método de diagramas de ciclos causales. En este tendremos la opor...

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Capítulo 9 Introducción a los Diagramas de Bloques

Dinámica de Sistemas 276

Capítulo 9

Introducción a los Diagramas de Bloques1 9.1 Introducción Existen diferentes formas de representar un sistema de control2. En el capítulo 5 se presentó el método de diagramas de ciclos causales. En este tendremos la oportunidad de tratar otro que es muy utilizado sobre todo para analizar y diseñar sistemas físicos. Los diagramas de bloques que se describen a continuación, son una simbología especial para representar sistemas complejos, y es muy utilizado en diferentes ingenierías. La combinación de diagramas de bloques y funciones de transferencia de un sistema físico provee una representación gráfica de la relación causa-efecto entre la salida y la entrada de un sistema. 9.2 Definición de Diagrama de Bloques Un diagrama de bloques es una representación gráfica simplificada de las relaciones causa y efecto que existen entre las entradas y salidas de un sistema físico. El diagrama suministra un método útil y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre los diferentes componentes de un sistema de control. Los diagramas de bloque también pueden ser definidos como herramientas que sirven como auxiliares para la descripción de sistemas tanto en etapas preliminares del análisis como en etapas posteriores. Para representar la transformación de una variable a otra se utilizan los bloques o cajas negras, los cuales tienen una entrada y una salida. Sobre los bloques correspondientes, se colocan generalmente las funciones de transferencia de los componentes; los bloques están conectados por flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Debe notarse que la magnitud de la señal de salida del bloque es la de la señal de entrada, multiplicada por la magnitud de la función de transferencia en el bloque. Las ventajas de la representación de un sistema por medio de un diagrama de bloques consisten en que es fácil formar el diagrama global de todo el sistema, colocando simplemente los bloques de sus componentes de acuerdo con el flujo de señales, y en 1 2

Material revisado gentilmente por el Profesor Lino Ruiz, UTP. Ecuaciones Matemáticas y Diagramas de Flujo de Señales.

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que es posible evaluar la contribución de cada componente al comportamiento general de todo el sistema. En general, el funcionamiento de un sistema se puede ver más fácilmente, examinando el diagrama de bloques, que analizando el sistema físico en sí. Un diagrama de bloques contiene información respecto al comportamiento dinámico, pero no contiene ninguna información acerca de la constitución física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas disímiles, sin relación alguna entre sí, pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques. A continuación, la figura 9.1 de un elemento de diagrama de bloque. La flecha que apunta hacia el bloque representa la entrada3, y la que se aleja del bloque representa la salida4. Estas flechas, comúnmente tienen el nombre de señales.

E(s)

Función de Transferencia F(s)

R(s)

Figura 9.1: Diagrama de Bloque

La relación de transferencia tiene la siguiente fórmula: R(s) = F(s) E(s) Un error grave que se podría dar es la mala identificación de las entradas y salidas del sistema. Para cada componente y todo el sistema en general, se debe tener en cuenta que las entradas son las causas de lo que ocurre en un subsistema y las salidas, el resultado del subsistema. De esta forma se llega al concepto de sistema causal. También se debe aclarar que se pueden dibujar diferentes diagramas de bloques del mismo sistema, dependiendo sólo del punto de vista del análisis. A pesar de que todos los sistemas (con una entrada y una salida) pueden ser denotados por un bloque único conectado entre la entrada y la salida, la ventaja del concepto de diagrama de bloque reside en el hecho de que los sistemas de control están compuestos de numerosos elementos no interactivos cuyas funciones de transferencia son determinadas independientemente.

3 4

Actuación, estímulo o señal de entrada. Respuesta o variable controlada.

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Un sistema entero puede ser representado por la interconexión de los bloques de elementos individuales, de manera que sus contribuciones al comportamiento total del sistema pueden ser evaluados.

9.3 Simbología Utilizada Los diagramas de bloques se componen de los siguientes símbolos: Rectángulo: Contienen las palabras descriptivas o de identificación de la función de transferencia. Representan los componentes, elementos y subsistemas del sistema. Flecha: Describen el flujo de transacciones entre los elementos (rectángulos). La flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada y la que se aleja del bloque representa la salida. Normalmente se les llaman señales. Punto de Suma:

Un circuito con una cruz constituye el símbolo que indica si la señal a de sumarse o restarse. Es importante que las cantidades a sumar y restar tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades. También se le conoce como recolector. (a)x

+

x+y + y

(b) x

+

x-y y

Figura 9.2: Ejemplos de Puntos de Suma Punto de Reparto: Un punto negro representa un punto donde una señal se bifurca y su valor se distribuye igualmente por cada bifurcación. También se le conoce como punto de bifurcación.

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Punto de Reparto

Figura 9.3: Punto de Reparto En general, los diagramas de bloques constan de una configuración específica de cuatro tipos de elementos o bloques: rectángulos, puntos de suma, puntos de bifurcación y flechas que representan el flujo unidireccional de señales. 9.4 Tipos de Diagramas de Bloques 9.4.1 Diagrama de Bloques de un Sistema de Control de Retroalimentación Un sistema entero puede ser representado por la interconexión de los bloques de elementos individuales, de manera que sus contribuciones al comportamiento total del sistema pueden ser evaluados. El diagrama en bloques de un sistema de control de retroalimentación típico es mostrado en la figura 9.4. Cada bloque representa un elemento independiente del sistema:

R (s)

E(s)

C(s)

X

+ -

Gc (s) Elementos compensatorios

G1(s) Amplificador

Motor y cargador

Ruta de Retroalimentación Figura 9.4: Diagrama de Bloques de un Sistema de Retroalimentación 9.4.2 Diagramas de Bloques de un Sistema de Control con Retroalimentación Multivariable Un diagrama de bloques de un sistema multivariable puede ser dibujado como se muestra en la Figura 9.5. Este diagrama de bloque solo puede especificar las relaciones de transferencia entre las entradas y las salidas.

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R(s)

E(s)

C(s) G(s)

+H(s) Figura 9.5: Diagrama de Bloques con Multivariables 9.4.3 Relaciones Básicas del Diagrama de Bloques La mayoría de los sistemas se encuentran formados por diferentes “s” interconectados entre sí. Por lo tanto, es necesario conocer cómo se realizan las interconexiones, además, estas conexiones de las "s" sólo son posibles si las señales son compatibles. Tipos de Conexiones 9.4.3.1 Conexión en Serie Este tipo de conexión sólo es posible si las señales son compatibles porque la salida de un bloque pasa a ser la entrada del otro. El diagrama sería el siguiente:

E1

S1= E2

T1

S2 = E3

T2

S3

T3

Figura 9.6: Diagrama de Bloques en Serie Las ecuaciones serían de la siguiente forma: T1 (E1) = S1 = E2 T2 (E2) = S2 = E3

S3 = T1 * T2 * T3 E1

T3 (E3) = S3 9.4.3.2 Conexión en Paralelo Utilizando las propiedades del punto de suma puede existir también la conexión en paralelo. Esta se da cuando la entrada es igual para todos los subsistemas existentes. El diagrama para este tipo de conexión es el siguiente:

281 Diagramas de Bloques

E1

S1

T1 E

S = S1+ S2

+ E2

T2

S2

Figura 9.7: Diagrama de Bloques en Paralelo Las ecuaciones son las siguientes: S = S1 + S2 S1 = E1T1 S2 = E2T2

S = T1 ± T2 E

S = T1E1 + T2E2 De lo anterior se deduce que varios subsistemas conectados en paralelo producen en las variables de entrada una transformación a cada uno de los subsistemas. 9.5 Funciones de Transferencia 9.5.1 Ciclo Abierto La relación de la señal retroalimentada B(s) con respecto a la señal de error E(s) se llama función de transferencia de ciclo abierto. Es decir, función de transferencia de trayectoria abierta = B(s) / E(s) = G(s)H(s). 9.5.2

Ciclo Cerrado

La figura 9.8 muestra un ejemplo de diagrama de bloque de un sistema de ciclo cerrado. La salida C(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se le compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza de ciclo cerrado del sistema queda claramente indicada por la figura 9.8. La salida del bloque C(s) es obtenida en este caso multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s). Cualquier sistema de control lineal puede, ser representado por un diagrama de bloques consistente en bloques, puntos de suma y puntos de bifurcación.

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Punto de suma

E(s)

+ -

R(s)

G(s)

C(s) Punto de bifurcación

Figura 9.8: Diagrama de Bloque de un Sistema de Ciclo Cerrado Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para comparación con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada. La función de transferencia que relaciona C(s) y R(s) se denomina función de transferencia de ciclo cerrado que se muestra en la Figura 9.9. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema de ciclo cerrado a la dinámica de los elementos de alimentación directa y a los elementos de retroalimentación.

Punto de suma

R(s)

+ -

E(s) G(s)

H(s)

Figura 9.9: Sistema de Ciclo Cerrado 9.5.3 Realimentada o Directa La relación de salida representada por: 0(s) con respecto a la señal de error actuante E(s) se llama función de transferencia pre alimentada, de modo que la función de transferencia pre alimentada será = 0(s) / E(s) = G(s) Si la función de transferencia de la retroalimentación es unitaria, la función de transferencia pre alimentada y estas serán las mismas.

283 Diagramas de Bloques

9.6 Procedimientos para trazar un Diagrama de Bloques Para trazar un diagrama de bloque de un sistema, primero se escriben las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente, luego se toman las transformadas de Laplace de esas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero, y se representa, individualmente cada ecuación con la transformada de Laplace en forma de bloques completos. Como ejemplo, sea el circuito RC que se ve en la siguiente figura 9.10:

Dinámica de Sistemas 284

R ei

Ei(s) C

i

I(s) 1/R

+ -

eo

E0(s)

(a)

(b)

I(s)

Eo(s)

Ei(s) + -

1 / Cs

(c)

1/R

I(s)

(d)

Figura (a) Circuito RC; (b) Diagrama de bloques que representa la ecuación (3); © Diagrama de bloques que representa la ecuación (4); (d) Diagrama de bloques del circuito RC Figura 9.10: Diagramas de Bloques Las ecuaciones de este circuito son: i=

ei - eo / R

(1)

eo =

dt / C

(2)

E0(s)

285 Diagramas de Bloques

Las transformadas de Laplace de las ecuaciones 1 y 2, con condición inicial cero, son I(s) = [ Ei(s) - Eo(s) ] / R Eo(s) = I(s) / Cs

(3) (4)

La ecuación 3 representa una operación de suma, y el diagrama correspondiente es el de la figura anterior. La ecuación 4 representa el bloque como puede verse en la figura anterior (c). Reuniendo estos dos elementos se obtiene el diagrama de bloque global del sistema que se ve en la figura anterior (d). 9.7 Reducción de un Diagrama de Bloque Es importante notar que se pueden conectar los bloques en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes, es necesario combinar esos componentes en un único bloque. Se puede representar con un único bloque cualquier cantidad de bloques en escala que representa componentes que no cargan, cuya función de transferencia es simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Es posible simplificar un diagrama de bloque muy complejo con muchos ciclos de retroalimentación por una modificación paso a paso, utilizando reglas del álgebra de diagramas de bloques. Simplificando el diagrama de bloques por arreglos y sustituciones, se reduce notablemente la tarea a efectuar en el análisis matemático subsiguiente. Hay que notar, sin embargo, que, al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos, debido a que se generan nuevos polos y ceros. Al simplificar un diagrama de bloques, debe recordarse lo siguiente:

 

El producto de las funciones de transferencia en la dirección de alimentación directa debe mantenerse constante. El producto de las funciones de transferencia alrededor del ciclo debe mantenerse constante.

Una regla general para simplificar un diagrama de bloque es desplazar los puntos de bifurcación y puntos de suma, intercambiar los puntos de suma y finalmente reducir los ciclos internos de retroalimentación. 9.8 Reglas del Algebra de los Diagramas de Bloque Los diagramas en bloque de sistemas de control complicados se pueden simplificar usando transformaciones que se pueden derivar fácilmente. La primera transformación importante, donde se combinan bloques en cascada se ha presentado. Con el fin de dar una visión completa de esta transformación que se incluye en la siguiente ilustración de los teoremas

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de transformación. La letra P se utiliza para representar cualquier función de transferencia y W, X, Y, Z denotan cualquier señal en el dominio s.

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Dinámica de Sistemas 288

A continuación, se presentan reglas comunes utilizadas en aritmética para los diagramas de bloques o de la transformada de Laplace, en forma escalar y matricial. 9.8.1 Reglas para Cantidades Escalares A(s)B(s) = B(s)A(s) A(s) + B(s) = B(s) + A(s) A(s)[X(s) + Y(s)] = A(s)X(s) + A(s)Y(s) A(s)[X(s) + Y(s)] = X(s)A(s) + Y(s)A(s) [X(s) + Y(s)]A(s) = X(s)A(s) + Y(s)A(s) G(s) C(s) = R(s)

G(s) R(s) a

= 1 + G(s)H(s)

1 + G(s)H(s)

9.8.2 Reglas para Cantidades Matriciales A(s)B(s) = B(s)A(s) A(s) + B(s) = B(s) + A(s) A(s)[X(s) + Y(s)] = A(s)X(s) + A(s)Y(s) A(s)[X(s) + Y(s)] = X(s)A(s) + Y(s)A(s) [X(s) + Y(s)A(s) = X(s)A(s) + Y(s)A(s) C(s) = [ I + G(s)H(s) ] -1 G(s)R(s) con términos en este orden sólo en este orden. I = matriz identidad. 9.9 Usos y Beneficios Los diagramas de bloques se utilizan para representar los diferentes componentes de un sistema de control, los cuales están conectados de tal manera que se caracterizan por su relación funcional dentro del sistema. Las flechas que interconectan los bloques en el diagrama son usadas para representar la dirección del flujo de la energía de control o información. Un diagrama de bloque permite visualizar más fácilmente el comportamiento dinámico de un sistema de control, describiendo las funciones de sus componentes y las relaciones que existen entre estos elementos. Es importante que los términos que se utilizan en un diagrama de bloque se entiendan claramente y se recuerden. Para representar las variables de entrada y salida de cada elemento se usan letras minúsculas, estas cantidades representan funciones de tiempo. Las letras mayúsculas representan funciones de Laplace de cantidades que son funciones de la variable compleja o transformada de Fourier de cantidades (funciones de frecuencia) que son funciones de la variable imaginaria pura. Las funciones generalmente se abrevian con una letra mayúscula que aparece sola. Las funciones de frecuencia nunca se abrevian.

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Los diagramas de bloque poseen un amplio uso en diferentes aplicaciones de la vida diaria y del saber humano como los son:     

La Medicina Economía Biología Electricidad Hidráulica

Los cuales contribuyen y benefician en diferentes formas como:   

Salvar vidas, como es el caso de la Medicina. Diseñar un buen plan económico. Construir una planta eléctrica o hidráulica más eficiente.

9.10 Ejemplos En el siguiente punto se presentará información que será de ayuda para describir los conceptos fundamentales de la teoría de control y se especificará el funcionamiento de dos ejemplos típicos:  

el Acondicionador de Aire el Semáforo Semi-Inteligente

que funcionan como sistemas de ciclo cerrado de retroalimentación negativa. En el Acondicionador de Aire podemos describir brevemente cuáles son sus principales componentes, estos son: el elemento responsivo o regulador, este es responsable de hacer los cambios en la temperatura, presión, humedad o alguna otra característica que tenga que ser controlada. El control actuador, el cual inicia y para (o ajusta) la operación del equipo; son dispositivos tales como compuertas reguladoras, relevadores o paquetes electrónicos con sus circuitos correspondientes. El equipo bajo control consta de equipo de calefacción o enfriamiento o ventiladores o bombas. La retroalimentación del equipo en sí mismo produce un resultado final haciendo operar al dispositivo regulador, por ejemplo, cuando en un cuarto se ha logrado la temperatura deseada las señales del regulador, cortan o reducen la capacidad del equipo de enfriamiento, porque han sido satisfechas las necesidades requeridas.

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El semáforo Semi-Inteligente es un sistema dirigido por impulsos mediante sensores que dirigen el flujo vehicular, controlado por un regulador de tiempo que indica si hay más vehículos esperando pasar, este envía la señal a un panel o caja de control en donde se ejecutan los cambios de las luces dependiendo del orden de los vehículos.

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9.10.1 Acondicionador de Aire El acondicionador de aire es un sistema compuesto por diferentes elementos mecánicos, electrónicos y eléctricos que interactúan entre sí para realizar un trabajo, lo cual permite reducir la temperatura a través de la remoción de calor de espacios para mantener la confortabilidad de los mismos. Acondicionar el aire es regular las condiciones ambientales, ya sea calefaccionando o refrigerando, de manera tal que la temperatura, humedad y grado de pureza del aire sean las adecuadas. Por ejemplo, se acondiciona el aire para realizar algunos procesos industriales, en las salas de terapia intensiva de los hospitales, en los centros de cómputos, etc. El objetivo del acondicionador de aire es el de encargarse de producir frío o calor y de impulsar el aire tratado a la vivienda o local.

Flujo de Control

Condensador

Sección de Recuperación Sección de Enfriamiento

Compresor

Evaporador

Figura 9.11: Diagrama de Bloque del Acondicionador de Aire

Dinámica de Sistemas 292

Figura 9.12: Esquema del Circuito Frigorífico (Generalmente, los acondicionadores de aire funcionan según un ciclo frigorífico similar al de los frigoríficos y congeladores domésticos).

¿Cómo funcio...