Calcolo stocastico a.a. 2014-15 completo PDF

Preview

Summary

Calcolo Stocastico e Mercati Finanziari Alessandra Borrelli Dipartimento di Matematica degli Studi di Ferrara ii rischio non dovrebbero sorgere finanziarie. Tuttavia gli anni Novanta hanno registrato una sequenza di episodi in cui si sono verificate, a livello internazionale, enormi perdite a causa ...

Description

8.5. APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI BLACK E SCHOLES: OPZIONI REALI.

Settimane 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8.5

Prezzo Azioni 3,301 3,440 3,437 3,468 3,435 3,382 3,470 3,524 3,396 3,343 3,200 3,214 3,150 3,002 2,993 3,019 3,076 3,060 3,081 2,915 2,749

Tabella 8.2: Opzione ∆ della Azioni call comprate 0,399 39.900 0,527 12.800 0,521 -600 0,548 2.700 0,510 -3.800 0,448 -6.200 0,539 9.100 0,596 5.700 0,442 -15.400 0,368 -7.400 0,193 -17.500 0,190 -300 0,114 -7.600 0,025 -8.600 0,014 -1.100 0,011 -300 0,013 200 0,003 -1.000 0,001 -200 0 -100 0 0

out of the money Costo Costo cuAzioni mulato 131.709,9 131.709,9 44.032,0 175.868,50 -2.062,2 173.975,40 9.363,6 183.506,30 -13.053,0 170.629,70 -20.968,4 149.825,40 31.577,0 181.546,50 20.086,8 201.807,80 -52.298,4 149.703,50 -24.738,2 125.109,20 -56.000,0 69.229,56 -964,2 68.331,93 -23.940,0 44.457,63 -26.717,8 17.782,58 -3.292,3 14.507,38 -905,7 13.615,63 615,2 14.243,92 -3.060,0 11.197,62 -616,2 10.592,19 -291,5 10.310,87 0 10.320,78

233

Costo interessi 126,64 169,10 167,28 176,45 164,07 144,06 174,56 194,05 143,95 120,30 66,57 65,70 42,75 17,10 13,95 13,09 13,70 10,77 10,18 9,91 9,92

Applicazioni della formula di Black e Scholes: opzioni reali.

Spesso le imprese si trovano a dover prendere delle decisioni su investimenti reali, come l’acquisto di un terreno o l’acquisizione di risorse di carattere fisico e non finanziario. Tali decisioni sono caratterizzate da 1) Irreversibilità; 2) Incertezza; 3) Timing.

234

8. ESTENSIONI DELLA FORMULA DI BLACK E SCHOLES E SUE APPLICAZIONI

Gli investimenti sono spesso irreversibili, cioè richiedono il sostenimento di costi che non possono essere completamente recuperati. Prima di affrontare tali costi l’impresa effettua delle valutazioni sulla profittabilità dell’investimento e queste avvengono in condizioni di incertezza per cui l’incertezza sul futuro introduce allora l’idea di esaminare distribuzioni di probabilità sui risultati derivanti dall’investimento. Infine le imprese non hanno solo la possibilità di scegliere se investire in un determinato progetto, ma anche il timing, ossia quando investire. Quando un’impresa effettua un investimento irreversibile, rinuncia alla possibilità di attendere nuove informazioni che possono influenzare la desiderabilità o il timing dell’investimento e, nel caso di andamento sfavorevole del mercato, non può disinvestire. In condizioni di incertezza può essere allora più conveniente non investire immediatamente, ma attendere per acquisire maggiori informazioni e differire la decisione di investimento. L’approccio delle opzioni reali, recentemente sviluppato nella letteratura economica, consente di valutare l’interazione tra 1), 2), 3) e di determinare la scelta ottimale di investimento. Le opzioni reali rappresentano un’applicazione della teoria dei derivati al di fuori della finanza. Alla base di questo approccio vi è l’analogia tra opportunità di investimenti reali e opzioni finanziarie, analogia che permette di utilizzare le tecniche di valutazione delle opzioni finanziarie per valutare la convenienza dei progetti di investimento. L’analogia tra opzioni finanziarie e opzioni reali è stata sviluppata da diversi autori, tra i quali ricordiamo S. Mason e R.C. Merton (1985), S. Mason e L. Trigeorgis (1987), R. Pindyck (1991), A.K. Dixit e R. Pindyck (1994), L. Trigeorgis (1996) ed altri. Facciamo alcuni esempi di analogia tra opzioni reali e opzioni call e put. Esempio 8.3 Supponiamo che un’impresa abbia l’opportunità di intraprendere un certo progetto di investimento al tempo T . Indichiamo con V il valore attuale lordo dei flussi di cassa attesi dal progetto e con X il suo costo. Se c è il valore di cassa del progetto, al tempo T avremo: o che il progetto viene intrapreso e quindi cT = VT − X o che il progetto non viene intrapreso e dunque cT = 0.

8.5. APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI BLACK E SCHOLES: OPZIONI REALI.

235

Al tempo T si avrà perciò: cT = max{VT − X, 0}. Vediamo allora che per stimare il valore dell’opportunità dell’investimento possiamo ricorrere ad un’opzione call europea con data di scadenza T , prezzo di esercizio X e sottostante di valore V . Quindi è possibile utilizzare la formula di Black e Scholes. Esempio 8.4 Riferendoci all’esempio precedente, se l’impresa può rinviare per un certo periodo di tempo la decisione di investire, tale opzione, detta opzione di differimento, può essere vista come una call americana. Esempio 8.5 Un ulteriore esempio è costituito dall’opzione di abbandono. Se le condizioni di mercato risultano particolarmente sfavorevoli, l’impresa che ha intrapreso un progetto può abbandonarlo in modo permanente al tempo T e ottenere il valore di realizzo del capitale fisico sul mercato dell’usato. Se V è il valore del progetto e X il valore di realizzo, l’impresa può ottenere: max{V, X} = V + max{X − V, 0}. L’ultimo termine a secondo membro è analogo al pagamento di una put europea con data di scadenza T , prezzo di esercizio X e sottostante di valore V e dunque è possibile applicare la formula per la valutazione del prezzo di una put europea conseguenza della formula di Black e Scholes....