Calcolo stocastico per la finanza - Molinari PDF

Preview

Summary

Calcolo StocasticoInformazioni preliminari Si considera un mercato dei capitali perfetti, ossia che prevede le seguenti caratteristiche:  Si può vendere e acquistare qualsiasi quantità di titoli;  è possibile vendere allo scoperto;  i tassi attivi sono uguali a quelli passivi;  non sono possibil...

Description

Calcolo Stocastico Informazioni preliminari Si considera un mercato dei capitali perfetti, ossia che prevede le seguenti caratteristiche:  Si può vendere e acquistare qualsiasi quantità di titoli;  è possibile vendere allo scoperto;  i tassi attivi sono uguali a quelli passivi;  non sono possibili arbitraggi. L’arbitraggio si definisce come l'operazione che consiste nell'acquistare un bene o un'attività finanziaria su un mercato rivendendolo su un altro mercato, sfruttando le differenze di prezzo al fine di ottenere un profitto. Se ne distinguono due tipi: l’arbitraggio di tipo A consente un profitto immediato oggi a fronte di una spesa nulla futura; l’arbitraggio di tipo B permette, non spendendo nulla oggi, di avere una possibilità di guadagno futura. Il modello binomiale a un solo periodo Nel modello binomiale ad un solo periodo si prende in considerazione un lasso di tempo Δt, intervallato dagli istanti 0 e t. Gli strumenti presi in esame sono due: lo stock e il bond. Lo stock è la componente aleatoria di un portafoglio, quindi è un sottostante in un mercato quotato. Il bond è un titolo risk free deterministico. Conseguentemente, se per lo stock è possibile aspettarsi due esiti (rialzo o ribasso) al tempo t, il bond è invece uno strumento che assicura una certa rendita nel futuro.

È possibile utilizzare questi strumenti per prezzare un derivato qualsiasi, che chiaramente avrà anch’esso due esiti diversi: f(u) in caso di rialzo ed f(d) in caso di ribasso. Prezzare un derivato col metodo del portafoglio di replica Questa tecnica si basa sul principio di no arbitrage: visto che il mercato perfetto non ammette arbitraggi, è possibile costruire un portafoglio combinando titoli bond e stock in grado di replicare la performance futura del derivato e, conseguentemente, anche il suo prezzo al tempo 0. Si considerino:  φ  indica la quantità dei titoli stock che compongono il portafoglio: se positiva si acquistano dei titoli, se negativa si vende allo scoperto.  Ψ  indica la quantità dei titoli bond che compongono il portafoglio: se positiva si investe del denaro, se negativa si chiede in prestito. È quindi possibile affermare che il prezzo del derivato (V0) al tempo 0 corrisponde al valore del portafoglio. 𝑉 = φ𝑆 + ΨB Allo stesso modo, il valore futuro del portafoglio deve essere uguale al valore futuro del derivato nei due scenari di rialzo e di ribasso. φ𝑆  + Ψ𝐵 = 𝑓(𝑢)   φ𝑆 + Ψ𝐵 = 𝑓(𝑑) È quindi possibile ricavare i valori di φ e Ψ che risolvono il sistema, che andranno poi sostituiti nell’equazione precedente per ricavare V0. 𝑓(𝑢) − 𝑓(𝑑) φ= 𝑆 − 𝑆  𝑓(𝑢) − φ𝑆  Ψ= 𝐵 Prezzare un derivato col metodo delle risk neutral probabilities Sostituendo i valori di φ e Ψ nell’equazione che definisce V0, con le dovute semplificazioni risulta che… 1 𝑆 𝐵 − 𝑆  𝑆  − 𝑆 𝐵 𝑉 = 𝑓(𝑑)] [  𝑓(𝑢) + 𝑆 − 𝑆 𝐵 𝑆 − 𝑆  1

Da quest’equazione è possibile ricavare delle “proprietà artificiali” che possono essere utilizzate per ricavare il prezzo attuale del derivato come se fosse un valore atteso.  𝑆 𝐵  − 𝑆 𝑞 = 𝑆 −𝑆 𝑆  − 𝑆 𝐵 1 − 𝑞 = 𝑆 − 𝑆

1 [𝑞 𝑓 (𝑢) + (1 − 𝑞 ) 𝑓(𝑑)] 𝐵 Chiaramente, vale che q e (1-q) sono compresi fra 0 e 1; in altre parole, deve valere che 𝑆  < 𝑆 𝐵 < 𝑆  . Se così non fosse si potrebbero realizzare degli arbitraggi: infatti, se 𝑆 𝐵 < 𝑆  , allora non converrebbe mai investire in titoli bond, perché il sottostante di mercato dà comunque un rendimento migliore anche nel caso a ribasso. Al contrario, se 𝑆  < 𝑆 𝐵 , allora non converrebbe mai investire nel sottostante, perché il titolo bond darebbe un rendimento superiore al primo anche nel caso a rialzo. Esempio – Prezzare un contratto forward Il forward è un contratto di compravendita a termine avente come sottostante un bene reale oppure un'attività finanziaria. È un contratto derivato simmetrico: entrambi i contraenti sono obbligati a effettuare una prestazione a scadenza, ossia l'acquisto e la vendita dell'attività sottostante alla data pattuita secondo il prezzo di consegna (o delivery price K) concordato all'atto della stipula. La stipula non comporta alcun esborso monetario immediato. Si consideri la posizione lunga, ovvero quella dell’acquirente. L’unico prezzo che garantisce che fra le parti non vi sia alcuna spesa immediata è… 𝑘 = 𝑆 𝑒∆ Il payoff del derivato sarà… 𝑓(𝑢) = 𝑆  − 𝑘 𝑓(𝑑) = 𝑆  − 𝑘 Il prezzo del forward è quindi… 1 1 1 [𝑞 (𝑆  − 𝑘) + (1 − 𝑞 ) (𝑆 − 𝑘)] = 𝑉 = [𝑞 𝑓(𝑢) + (1 − 𝑞 ) 𝑓(𝑑 )] = [𝑞 (𝑆  − 𝑆  ) + 𝑆  − 𝑘] 𝐵 𝐵 𝐵 1 1 = [𝑆 𝐵 − 𝑆  + 𝑆  − 𝑘] = [𝑆 𝐵 − 𝑘] 𝐵 𝐵   Segue che…

𝑉 =

Esempio – Si dimostra che se il derivato è una call allora il portafoglio di replica avrà φ>0 e ψ...