Prova di Modelli Statistici per l\'economia e la finanza 2016 PDF

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Anno accademico 2015/22 aprile 2016Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)1) Nel seguente modello di regressione semplice:yi=xi' β +εi, i=1, 2, ..., Ndove le osservazioni sono relative ad un campione di unità estratte casualmente, spiegare laprocedura per ottenere...

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Anno accademico 2015/16 22 aprile 2016 Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Nel seguente modello di regressione semplice: ' β

,

1, 2, ...,

dove le osservazioni sono relative ad un campione di unità estratte casualmente, spiegare la procedura per ottenere lo stimatore OLS del vettore di parametri β e derivare le proprietà di correttezza e consistenza dello stesso stimatore, stabilendone le condizioni necessarie. Nel caso di correlazione fra una delle variabili esplicative e l’errore, definire lo stimatore consistente dei parametri. 2) Supponendo valide le ipotesi classiche, si è stimata, mediante gli OLS, una funzione di domanda di benzina per gli Stati Uniti, usando dati annuali per il periodo 1953-2004, e si sono ottenuti i seguenti risultati:

dove GEXPPC rappresenta la spesa pro-capite in benzina, INCPC il reddito disponibile procapite, PGAS l’indice di prezzo per la benzina, PNC l’indice di prezzo per le auto nuove e PUC l’indice di prezzo per le auto usate. Scrivere il modello parametrico sottostante e spiegare gli effetti marginali delle diverse variabili esplicative sulla variabile dipendente, verificandone anche la significatività. Come si verifica l’ipotesi che la spesa in benzina abbia elasticità unitaria sia rispetto al reddito disponibile che rispetto al prezzo della benzina Sulla base delle informazioni riportate nella tabella, le procedure inferenziali proposte e usate sono valide, o sono fuorvianti? Quali procedure inferenziali valide dovrebbero essere adottate pur usando gli OLS? 3) Sospettando che il modello precedente includa fra le variabili esplicative delle variabili correlate con l’errore, si è utilizzato anche il test di Breush_Godfrey per verificare l’autocorrelazione del primo ordine degli errori, ottenendo il seguente risultato:

Spiegare la procedura che ha portato al risultato, come lo interpretate, le conseguenze di questo risultato sulle procedure di verifica usate nella domanda precedente e come procedereste per stimare in maniera efficiente la funzione di domanda. 4) Sempre per la stessa funzione di domanda è stata stimata una nuova specificazione che include la variabile binaria D74, che assume valore uno per le osservazioni dal 1974 in poi, ottenendo i seguenti risultati:

Scrivere il modello parametrico sottostante evidenziandone il cambiamento di specificazione rispetto a quella precedente e l’ipotesi che ha portato al cambiamento. Spiegare come si calcolano, nella nuova specificazione, gli effetti marginali delle diverse variabili esplicative e discuterne la significatività. Sapendo che il test di Breush-Godfrey, calcolato sulla nuova specificazione stimata, ha portato al seguente risultato:

come lo commentereste in termini di variabili esplicative omesse nella specificazione senza variabile binaria?

Anno accademico 2015/16 31 maggio 2016 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Avendo ottenuto i seguenti risultati dal test di radice unitaria esteso di Dickey e Fuller, applicato alla serie storica dell’indice trimestrale dei prezzi al consumo per gli Stati Uniti:

interpretare i risultati anche con riferimento al modello non stazionario utilizzato per la verifica, e spiegare come potrebbe essere verificata l’ipotesi che la serie contenga una seconda radice unitaria e se questa ipotesi è verosimile. 2) Si considerino i seguenti valori delle autocorrelazioni e delle autocorrelazioni parziali ottenuti analizzando la serie storica annuale delle differenze prime del logaritmo del rapporto prezzi/utili, per un totale di 140 osservazioni.

Si disegnino entrambi i correlogrammi, si scelga il processo ARMA sottostante questi valori, usando e spiegando i criteri relativi alle funzioni di autocorrelazione campionaria e di autocorrelazione parziale campionaria utilizzati per la scelta e come si procede alla scelta definitiva del modello usando sia i criteri informativi che il controllo diagnostico.

3) Si consideri un processo ARMA( , ) e si stabiliscano le condizioni perché si possa scrivere in forma AR(∞) e in forma MA(∞). Con riferimento ad un ARMA(1,1), si scriva la forma AR(∞) e la forma MA(∞) e si ricavino i parametri delle due forme in funzione di quelli dell’ARMA(1,1). 4) Spiegare il concetto di eteroschedasticità condizionale autoregressiva e come possa essere verificata la presenza in un serie storica di innovazioni. Specificare il modello GARCH( , ) in generale e per un GARCH(1,1) spiegare la condizione di stazionarietà e mostrare come si possano ottenere previsioni periodi in avanti per la varianza condizionale.

Anno accademico 2015/16 31 maggio 2016 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Assumendo valide le ipotesi classiche, si è stimato, mediante i minimi quadrati ordinari (OLS), il seguente modello che spiega gli investimenti reali privati negli USA, utilizzando un campione di 203 osservazioni trimestrali ( in parentesi):

dove

3 9573 0 0061

0 0058

0 1230 0 0032

0 0023

2

1 2355

0 978273

0 0156

rappresenta gli investimenti in termini reali,

il tasso di interesse nominale,

il tasso di inflazione annuale e il GDP in termini reali. Scrivere il modello parametrico sottostante, verificare la significatività dei parametri e spiegare l’effetto delle diverse variabili. Supponendo che gli investitori rispondano più al tasso di interesse reale che a quello nominale, si è stimata la seguente specificazione per lo stesso modello: 3 9518 0 0058(

) 1 2347

0 1126 0 0023

0 0136

2

0 978272

Spiegare quale ipotesi nulla è stata imposta e come potreste verificarla con i dati a disposizione. Se si volesse verificare congiuntamente anche l’ipotesi di elasticità unitaria degli investimenti rispetto al GDP, specificando sia la matrice che il vettore , spiegare come procedereste alla verifica. Quali ipotesi sono necessarie perché l’inferenza sia valida e come procedereste per fare in modo che l’inferenza sia, in ogni caso, valida stimando con gli OLS ?

2) Applicando la funzione test di Breusch-Godfrey ai residui del modello stimato nella domanda precedente, si sono ottenuti i seguenti risultati:

Spiegare su quale regressione ausiliaria e come è stata calcolata la funzione test, specificando anche l’ipotesi nulla, e come procedereste per ottenere stime efficienti dei parametri del modello non vincolato che spiega gli investimenti. Sapendo che la procedura di stima di Cochrane-Orcutt ha portato ai seguenti risultati:

dove il parametro corrispondente ad AR(1) rappresenta la stima di stime ottenute e la significatività dei parametri?

, come commentereste le

3) Avendo ottenuto i seguenti risultati dal test di radice unitaria esteso di Dickey e Fuller applicato alla serie storica dell’indice trimestrale dei prezzi al consumo per gli Stati Uniti:

interpretare i risultati anche con riferimento al modello utilizzato per la verifica, e spiegare come potrebbe essere verificata l’ipotesi che la serie contenga una seconda radice unitaria e se questa ipotesi è verosimile. 4) Spiegare il concetto di eteroschedasticità condizionale autoregressiva e come possa essere verificata la presenza in un serie storica di innovazioni. Specificare il modello GARCH( , ) in generale e per un GARCH(1,1) spiegare la condizione di stazionarietà e mostrare come si possano ottenere previsioni periodi in avanti per la varianza condizionale.

Anno accademico 2015/16 21 giugno 2016 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Si consideri un processo stocastico AR(3) non stazionario. Si spieghi come si può verificare la presenza di una prima radice unitaria e, eventualmente, di una seconda radice unitaria e quali saranno, di conseguenza, i processi stazionari nei due casi. Si calcolino, quindi la varianza, le autocovarianze e le autocorrelazioni dei processi stazionari. 2) Si considerino i seguenti valori delle autocorrelazioni e delle autocorrelazioni parziali ottenuti su una serie storica simulata di rendimenti, di numerosità pari a 3600 osservazioni. Si disegnino entrambi i correlogrammi, si scelga il processo ARMA parsimonioso sottostante questi valori, usando e spiegando i criteri relativi alle funzioni di autocorrelazione campionaria e di autocorrelazione parziale campionaria utilizzati per la scelta. Si spieghi, inoltre, come si interpreta la statistica di Ljung Box QK e come la stessa possa essere utilizzata come test diagnostico

3) Si consideri un processo ARMA( , ), si stabiliscano le condizioni che devono essere soddisfatte perché sia stazionario e invertibile e, nel caso di un ARMA(1,1), si descriva come sarà l’andamento delle sue funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale. Si mostri come si possano ottenere previsioni periodi in avanti per lo stesso ARMA(1,1) e come si può valutare la precisione delle previsioni.

4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(1) e di un GARCH(1, 1) su una serie storica formata da 1974 osservazioni di rendimenti relativi a una serie storica di tassi di cambio:

si descrivano le diverse fasi della procedura partendo dal modello parametrico sottostante. Si spieghi come gli stessi risultati vanno interpretati e se i parametri soddisfano i vincoli. Si spieghi, inoltre, come si possa verificare che le innovazioni del modello parametrico di partenza non presentino della variabilità condizionale non spiegata dal modello.

Anno accademico 2015/16 21 giugno 2016 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174) 1) Assumendo valide le ipotesi classiche, si è stimata, mediante i minimi quadrati ordinari (OLS), una funzione di costo per l’industria del trasporto aereo negli Stati Uniti su un campione di 90 osservazioni temporali trimestrali ( in parentesi): 9 421 0 935

0 0225

0 230

0 011

0 029

2

0 458

1 537

0 020

(0.342)

2

0 988

0 374

:

dove rappresenta il costo totale in migliaia di dollari, rappresenta l’output in termini di miglia coperte dai passeggeri paganti e misurato come numero indice, il costo del carburante e un fattore che misura l’utilizzo medio della capacità. Scrivere il modello parametrico sottostante con le relative ipotesi, verificare la significatività dei singoli parametri e spiegare come si potrebbe verificare l’ipotesi che l’elasticità del costo rispetto all’output sia pari ad uno. Sapendo che in estate si può osservare un cambiamento strutturale nella funzione di costo stimata, spiegare come verifichereste l’ipotesi di un break strutturale in corrispondenza con le osservazioni relative all’estate. 2) Fra i risultati della stima della funzione di costo nella domanda precedente compare il valore della funzione test di Durbin-Watson. Quali sono le condizioni di applicabilità della funzione test, come è stato ottenuto il risultato e come lo commentereste in termini di ipotesi sottostanti? Quali sono le conseguenze sulle proprietà delle stime OLS? Sapendo che la procedura di stima di Cochrane-Orcutt ha portato ai seguenti risultati:

dove il parametro corrispondente ad AR(1) rappresenta la stima di queste stime e come le commentereste?

, come sono state ottenute

3) Si consideri un processo ARMA( , ), si stabiliscano le condizioni che devono essere soddisfatte perché sia stazionario e invertibile e, nel caso di un ARMA(1, 1), si descriva come sarà l’andamento delle sue funzioni di autocorrelazione e di autocorrelazione parziale. Si mostri come si possano ottenere previsioni periodi in avanti per lo stesso ARMA(1,1) e come si può valutare la precisione delle previsioni. 4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(1) e di un GARCH(1, 1) su una serie storica formata da 1974 osservazioni di rendimenti relativi a una serie storica di tassi di cambio:

si descrivano le diverse fasi della procedura partendo dal modello parametrico sottostante. Si spieghi come gli stessi risultati vanno interpretati e se i parametri soddisfano i vincoli. Si spieghi, inoltre, come si possa verificare che le innovazioni del modello parametrico di partenza non presentino della variabilità condizionale non spiegata dal modello.

Anno accademico 2015/16 12 luglio 2016 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174) 1) Assumendo valide le ipotesi classiche, si è stimato, mediante i minimi quadrati ordinari (OLS), il seguente modello che spiega il logaritmo del salario orario, misurato in dollari, di un campione di 3010 lavoratori maschi:

dove EDUC e EXPER misurano, rispettivamente, gli anni di istruzione e gli anni di esperienza lavorativa, EXPER^2 misura il quadrato degli anni di esperienza lavorativa, mentre BLACK, METRAREA e SOUTH sono tre variabili binarie che assumono valore 1, rispettivamente, per i lavoratori neri, per i lavoratori che vivono in un’area metropolitana e per i lavoratori che vivono al Sud. Scrivere il modello parametrico sottostante, verificare la significatività dei parametri e spiegare l’effetto sul salario delle diverse variabili esplicative. Spiegare come si potrebbe verificare l’ipotesi che una variazione di un anno dell’esperienza lavorativa non abbia alcun effetto sul salario quando il lavoratore ha già un’esperienza lavorativa di 30 anni e spiegare come si potrebbe verificare l’ipotesi che l’aumento di retribuzione dovuto all’istruzione sia diverso a seconda che il lavoratore viva in un’area metropolitana oppure no.

2) Spiegare come si ottiene lo stimatore BLU del vettore

dei parametri di un modello di ( | ) σ , quale sarà la matrice P di trasformazione delle regressione lineare in cui osservazioni nel caso particolare di autocorrelazione del primo ordine degli errori e come si procede alla stima dei parametri. 2

3) Avendo ottenuto i seguenti risultati dal test di radice unitaria sul logaritmo dell’indice mensile dei prezzi al consumo relativo agli Stati Uniti per il periodo da gennaio 1988 a dicembre 2010, descrivere la procedura di verifica seguita specificando l’ipotesi nulla con riferimento al processo stocastico dal quale si è partiti, discutere i risultati ottenuti e spiegare qual è il processo stocastico stazionario che ha generato la serie osservata.

, si spieghi la procedura seguita per 4) Si consideri una serie storica di osservazioni 12 identificare il processo stazionario ARMA( , ) che l’ha generata, cioè la scelta del modello più appropriato per descrivere la serie osservata, e i test che si effettuano per stabilire la validità del modello scelto (test diagnostici)....