Prova di Modelli Statistici per l\'economia e la finanza 2018 PDF

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Anno accademico 2017/20 aprile 2018Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)1) Le osservazioni mensili, da gennaio 1960 a dicembre 2010, sugli extrarendimenti, R5, di unportafoglio azionario, costruito considerando il 10% di società a media capitalizzazione, quotate...

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Anno accademico 2017/18 20 aprile 2018 Prova intermedia di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Le osservazioni mensili, da gennaio 1960 a dicembre 2010, sugli extrarendimenti, R5, di un portafoglio azionario, costruito considerando il 10% di società a media capitalizzazione, quotate al NYSE, sono stati regrediti sugli extrarendimenti (dell’approssimazione) del portafoglio di mercato, RMRF, e sugli extrarendimenti di tre portafogli fattoriali, SMB, HML e MOM, dove SMB misura la differenza fra il rendimento di un portafoglio di azioni a bassa capitalizzazione ed uno di azioni ad alta capitalizzazione, HML misura la differenza fra il rendimento di un portafoglio di azioni ed uno di azioni e MOM misura la differenza fra il rendimendo medio dei due portafogli con rendimento a priori più alto e quello dei due portafogli con rendimento a priori più basso. Assumendo valide le ipotesi classiche e usando gli OLS si sono ottenuti i seguenti risultati:

Scrivere il modello parametrico sottostante con le relative ipotesi, verificare la significatività dei parametri e spiegare gli effetti stimati delle diverse variabili esplicative e come vanno interpretati. È verificata l’ipotesi che il rischio associato ad RMRF sia pari ad uno? Come si potrebbe verificare l’ipotesi congiunta che il rischio associato ad RMRF sia pari ad uno e che anche la somma degli effetti dei tre portafogli fattoriali sia pari ad uno? 2) La stima di un semplice CAPM per studiare la relazione fra R5 e a RMRF, ha portato ai seguenti risultati:

Dopo aver derivato, dal punto di vista teorico e usando la notazione vettoriale, la distorsione da variabili omesse e aver discusso i casi in cui si annulla, discutere se si evidenziano problemi di distorsione da variabili omesse nella stima del rischio sistematico del portafoglio considerato, confrontando questo modello e il modello stimato nella prima domanda. Discutere, inoltre, con riferimento al modello stimato nella prima domanda, se l’inclusione di variabili irrilevanti (come potrebbe essere MOM) possa portare a problemi di distorsione nella stima degli effetti delle altre variabili. 3) Se il modello della prima domanda viene stimato usando gli OLS ma calcolando gli di White, si ottengono i seguenti risultati:

Com’è cambiata, dal punto di vista teorico, la matrice di varianza condizionata dello stimatore OLS? E rispetto ai nostri dati, come sono calcolati e come sono cambiati gli e le statistiche e quali conseguenze si potrebbero avere nelle verifiche sulla significatività dei parametri? Supponendo poi che esista un effetto gennaio nei dati, per cui gli extrarendimenti medi condizionati del portafoglio considerato sono più alti nel mese di gennaio, tenendo fisse le variabili esplicative, come specifichereste il modello e come verifichereste questa ipotesi? 4) Spiegare come si ottiene lo stimatore BLU del vettore 2

dei parametri di un modello di

( | ) σ regressione lineare in cui e spiegare quale sarà la matrice P di trasformazione delle osservazioni nel caso particolare di autocorrelazione del primo ordine degli errori e quale sarà la procedura di stima degli stessi parametri e le proprietà delle stime ottenute.

Anno accademico 2017/18 6 giugno 2018 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174) 1) Avendo ottenuto i seguenti risultati dal test di radice unitaria esteso di Dickey e Fuller, applicato alla serie storica trimestrale dell’inflazione per gli USA dal 1960 al 2010:

spiegare qual è l’ipotesi nulla sottoposta a verifica, come sono stati ottenuti questi risultati e le conclusioni che potete trarre in termini di variabile osservata. 12 2) Si consideri una serie storica di osservazioni , si spieghi la procedura seguita per identificare il processo stazionario ARMA( , ) che l’ha generata, cioè la scelta del modello più appropriato per descrivere la serie osservata, e come si procede nell’analisi una volta che si è identificato un primo modello.

3) Si consideri un processo stocastico ARMA( , ) come generatore della serie storica osservata, si stabiliscano le condizioni perché sia stazionario e invertibile, si spieghi come si possano ottenere previsioni periodi in avanti, in generale. Nel caso particolare di un ARMA(1, 1), calcolare la previsione in +1, +2 e + e mostrare in che modo queste differiscono dalle stesse previsioni relative ad un processo AR(1). 4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(3) per la media condizionata della serie storica trimestrale dell’inflazione per gli USA dal 1960 al 2010 (la stessa della prima domanda) e di un modello ARCH(1) per la varianza condizionata delle innovazioni della stessa serie storica:

si descrivano e si interpretino i risultati riportati. Qual è, in generale, il vincolo di stazionarietà per la somma dei parametri di un modello AR(3) e dire se risulta soddisfatto dai parametri stimati. Quali sono i vincoli sui parametri del modello ARCH(1)? Successivamente si procede alla seguente verifica:

qual è l’ipotesi sottoposta a verifica, come viene verificata e come va interpretato il risultato?

Anno accademico 2017/18 6 giugno 2018 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Le osservazioni mensili, da gennaio 1960 a dicembre 2014, sugli extrarendimenti, R10, di un portafoglio azionario, costruito considerando il 10% di società ad alta capitalizzazione, quotate al NYSE, sono stati regrediti sugli extrarendimenti (dell’approssimazione) del portafoglio di mercato, RMRF, e sugli extrarendimenti di due portafogli fattoriali, SMB e HML, dove SMB misura la differenza fra il rendimento di un portafoglio di azioni a bassa capitalizzazione ed uno di azioni ad alta capitalizzazione e HML misura la differenza fra il rendimento di un portafoglio di azioni ed uno di azioni . Inoltre, nella specificazione è stato considerato l’effetto gennaio, JAN. Assumendo valide le ipotesi classiche e usando gli OLS si sono ottenuti i seguenti risultati:

Scrivere il modello parametrico sottostante con le relative ipotesi, spiegare gli effetti stimati delle diverse variabili esplicative e come vanno interpretati, e, in particolare, l’effetto gennaio. Si verifichi l’ipotesi che il portafoglio azionario considerato sia meno rischioso del portafoglio di mercato. Se si volesse verificare l’ipotesi che in gennaio l’effetto delle variabili esplicative fosse diverso rispetto agli altri mesi, come specifichereste il modello e come verifichereste l’ipotesi? 2) Nel seguente modello di regressione lineare: ' β

,

1, 2, ...,

spiegare la procedura per ottenere lo stimatore OLS del vettore di parametri β e discutere sotto quali condizioni lo stimatore è corretto e sotto quali è solo consistente. Nel caso in cui gli errori siano eteroschedastici, quali proprietà soddisfano le stime OLS e quale procedura di stima preferireste alla stima OLS?

3) Si consideri un processo stocastico ARMA( , ) come generatore della serie storica osservata, si stabiliscano le condizioni perché sia stazionario e invertibile, si spieghi come si possano ottenere previsioni periodi in avanti, in generale. Nel caso particolare di un ARMA(1, 1), calcolare la previsione in +1, +2 e + e mostrare in che modo queste differiscono dalle stesse previsioni relative ad un processo AR(1). 4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(3) per la media condizionata della serie storica trimestrale dell’inflazione per gli USA dal 1960 al 2010 e di un modello ARCH(1) per la varianza condizionata delle innovazioni della stessa serie storica:

si descrivano e si interpretino i risultati riportati. Qual è, in generale, il vincolo di stazionarietà per la somma dei parametri di un modello AR(3) e dire se risulta soddisfatto dai parametri stimati. Quali sono i vincoli sui parametri del modello ARCH(1)? Successivamente si procede alla seguente verifica:

qual è l’ipotesi sottoposta a verifica, come viene verificata e come va interpretato il risultato?

Anno accademico 2017/18 22 giugno 2018 Prova finale di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174) 1) Avendo ottenuto i seguenti risultati dal test di radice unitaria esteso di Dickey e Fuller, applicato alla serie storica trimestrale LY, che rappresenta la trasformata logaritmica del Prodotto Nazionale Lordo per gli Stati Uniti:

ed i seguenti risultati sulla stessa serie LY differenziata:

spiegare, utilizzando i relativi modelli, come sono stati ottenuti questi i risultati e le conclusioni che potete trarre da questi risultati in termini di variabile osservata. 2) Si consideri un processo ARMA( , ) e si stabiliscano le condizioni perché si possa scrivere in forma AR(∞) e in forma MA(∞). Con riferimento ad un ARMA(1,1), si scriva la forma AR(∞) e la forma MA(∞) e si ricavino i parametri delle due forme in funzione di quelli dell’ARMA(1,1).

3) Si stimano le autocorrelazioni (AC) e le autocorrelazioni parziali (PAC) della serie mensile ( =254) del tasso di interesse a breve termine (tre mesi) e si ottengono i seguenti risultati. Come sono stati stimati i valori riportati nelle due colonne AC e PAC? Come viene calcolata la statistica Q riportata nella terza colonna e come va interpretata? Quale modello ARMA( , ) identifichereste e per il processo generatore della serie storica osservata e come lo stimereste? Spiegare, dal punto di vista teorico, come si possono ottenere previsioni in +1, +2 e + per il modello identificato.

4) Il fenomeno del della volatilità: spiegare il concetto di eteroschedasticità condizionale autoregressiva e come possa esserne verificata la presenza nei residui di un modello ARMA( , ) o in una regressione. Descrivere il modello GARCH( , ) in generale e per un GARCH(1,1) spiegare la condizione di stazionarietà e mostrare come possa essere scritto come un ARCH di ordine infinito.

Anno accademico 2017/18 22 giugno 2018 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174) 1) Volendo analizzare le determinanti del consumo in Italia sulla base della teoria del reddito permanente, si sono utilizzati dati trimestrali per il periodo dal primo trimestre del 1990 al secondo trimestre del 2012 e si è stimata, mediante gli OLS, una funzione di consumo ottenendo i seguenti risultati:

dove LRC rappresenta il logaritmo del consumo reale, LRYD il logaritmo del reddito reale disponibile, LRYP il logaritmo del reddito permanente reale delle famiglie e CRISIS una variabile binaria che assume il valore 0 fino al secondo trimestre 2007 ed il valore 1 dal terzo trimestre 2007 in avanti, in corrispondenza della recente crisi economico finanziaria. Scrivere il modello parametrico sottostante con le relative ipotesi, verificare la significatività dei parametri e spiegare gli effetti stimati delle variabili esplicative nei due sotto-periodi rispetto ai quali il test di Chow, per la presenza di un break strutturale in corrispondenza al terzo del 2007, è risultato pari a 90.8195. Spiegare le ipotesi e la procedura relativa al test di Chow e come va interpretato il risultato. 2) Lo stesso modello stimato con la procedura di Cochrane-Orcutt ha portato ai seguenti risultati:

dove il parametro corrispondente alla variabile AR(1) rappresenta la stima di . Perché è stata scelta questa procedura, perché e come sono cambiati gli effetti delle variabili, quali sono le proprietà delle stime ottenute con questa procedura e quali sono le proprietà delle stime riportate nella prima domanda? 3) Si stimano le autocorrelazioni (AC) e le autocorrelazioni parziali (PAC) della serie mensile ( =254) del tasso di interesse a breve termine (tre mesi) e si ottengono i seguenti risultati. Come sono stati stimati i valori riportati nelle due colonne AC e PAC? Come viene calcolata la statistica Q riportata nella terza colonna e come va interpretata? Quale modello ARMA( , ) identifichereste e per il processo generatore della serie storica osservata e come lo stimereste? Spiegare, dal punto di vista teorico, come si possono ottenere previsioni in +1, +2 e + per il modello identificato.

4) Il fenomeno del della volatilità: spiegare il concetto di eteroschedasticità condizionale autoregressiva e come possa esserne verificata la presenza nei residui di un modello ARMA( , ) o in una regressione. Descrivere il modello GARCH( , ) in generale e per un GARCH(1,1) spiegare la condizione di stazionarietà e mostrare come possa essere scritto come un ARCH di ordine infinito.

Anno accademico 2017/18 17 luglio 2018 Compito di MODELLI STATISTICI PER L’ECONOMIA E LA FINANZA (121174)

1) Le 335 osservazioni mensili, da luglio 1990 a maggio 2018, sugli extrarendimenti, BHBM, di un portafoglio azionario costruito considerando i titoli azionari nel top 90% della capitalizzazione del mercato europeo e con un alto rapporto tra valore di mercato e valore contabile , sono stati regrediti sugli extrarendimenti (dell’approssimazione) del portafoglio di mercato, RMRF, e sugli extrarendimenti di quattro portafogli fattoriali, SMB (Small Minus Big), HML (High Minus Low), RMW (Robust Minus Weak) e CMA (Conservative Minus Aggressive). Inoltre, nella specificazione è stato considerato l’effetto CRISIS, rappresentato da una variabile binaria che assume il valore 1 da ottobre 2008 in avanti. Assumendo valide le ipotesi classiche e usando gli OLS si sono ottenuti i seguenti risultati:

Le 335 osservazioni sugli extrarendimenti, SLMB, di un portafoglio azionario costruito considerando i titoli azionari nel bottom 10% della capitalizzazione del mercato europeo e con un basso rapporto tra valore di mercato e valore contabile, sono stati regrediti sulle stesse variabili esplicative. Assumendo valide le ipotesi classiche e usando gli OLS si sono ottenuti i seguenti risultati:

Scrivere il modello parametrico sottostante con le relative ipotesi, spiegare gli effetti stimati delle diverse variabili esplicative e come questi effetti variano nei mesi successivi alla crisi finanziaria nei due portafogli. Per ciascun portafoglio si verifichi l’ipotesi che, prima della crisi, sia rischioso come il portafoglio di mercato. Che conclusione potete trarre? Come verifichereste la stessa ipotesi durante la crisi? 2) Nei modelli specificati e stimati nella prima domanda c’è evidenza di autocorrelazione dell’errore? Come verifichereste l’ipotesi di eteroschedasticità dell’errore (test di Breusch-Pagan) e quali sono le proprietà delle stime riportate nella prima domanda nel caso ci fosse eteroschedasticità? Come potreste fare dell’inferenza valida in presenza di eteroschedasticità nel caso in cui non ne conosceste la forma? 3) Dato un processo stocastico AR(3), stabilire la condizione per la presenza di una radice unitaria, spiegare come ne verifichereste la presenza e quali implicazioni avrebbe, in termini di conclusioni inferenziali, se ipotizzaste che la funzione test si distribuisca come una variabile casuale di Student. Se doveste verificare l’ipotesi nulla che il parametro δ associato alla costante fosse nullo, come procedereste con la verifica? Quale sarà il processo stocastico stazionario nel caso di presenza di radice unitaria e quale sarà la sua funzione di autocorrelazione? 4) Avendo ottenuto i seguenti risultati dalla stima di un modello AR(1) e di un GARCH(1, 1) su una serie storica formata da 1974 osservazioni di rendimenti relativi a una serie storica di tassi di cambio:

si descrivano le diverse fasi della procedura che ha portato a questi risultati. Si spieghi come gli stessi vanno interpretati, quali sono i vincoli sui parametri dei due modelli e come li verifichereste. Si spieghi, inoltre, come si possa prevedere la volatilità dei rendimenti 1, 2 e periodi in avanti....