Lezione 6: Modelli statistici per l\'economia e per la finanza PDF

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Verifica d’ipotesiSpesso, la teoria economica implica certe restrizioni sui nostri coefficienti, per esempio, βk = 0, k = 1, 2, ..., K.Consideriamo la/le restrizione/i come l’ipotesi nulla.Possiamo capire se le nostre stime si scostano “significativamente” da queste restrizioni per mezzo di un test ...

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Verifica d’ipotesi Spesso, la teoria economica implica certe restrizioni sui nostri coefficienti, per esempio, βk = 0, k = 1, 2, …, K. Consideriamo la/le restrizione/i come l’ipotesi nulla. Possiamo capire se le nostre stime si scostano “significativamente” da queste restrizioni per mezzo di un test statistico. Se si scostano, si rifiuta l’ipotesi nulla che queste restrizioni siano vere. Per condurre un test statistico, abbiamo bisogno di una statistica test o funzione test. Una statistica test è qualcosa che possiamo calcolare basandoci sul nostro campione e ha una distribuzione nota se l’ipotesi nulla è vera (sotto l’ipotesi nulla). 1

Verifiche su singoli parametri La più comune funzione test è il t-test. Può essere usato per verificare singole restrizioni. 0 0 Supponiamo che l’ipotesi nulla sia H 0 : β k  βk , dove βk è un valore dato, e l’ipotesi alternativa bilaterale sia H1 : βk  βk0 Consideriamo la funzione test tk = (bk - β0k ) / se(bk) Se l’ipotesi nulla è vera, e sotto le ipotesi di Gauss-Markov (A1)-(A4) (indebolite) + normalità (A5) (ipotesi classiche), tk ha, esattamente, distribuzione t con N-K gradi di libertà. Si rifiuta l’ipotesi nulla se il valore assoluto di tk è “troppo grande”. 2

Consideriamo “troppo grandi” quei valori che sono molto poco probabili quando l’ipotesi nulla è vera. Ciò significa valori assoluti di tk elevati rispetto ai valori di una distribuzione t. Se vogliamo verificare l’ipotesi ad un livello di significatività α del 5%, rifiutiamo l’ipotesi nulla se il valore assoluto di t è più grande, approssimativamente, di 2. Il rapporto tk = bk / se(bk) rappresenta la cosiddetta t-statistic (o t-ratio) che è fornita quasi sempre di default quando si utilizza un software che fa analisi di regressione. Può essere utilizzato per verificare l’ipotesi nulla che il vero coefficiente βk sia uguale a zero, Η0 : βk  0 , contro l’ipotesi alternativa bilaterale: Η1 : βk  0, oppure unilaterale: Η1 : βk  0 , o Η1 : βk  0 3

Se l’ipotesi (A5) non è valida, ma le altre ipotesi (A1)-(A4) (indebolite) valgono, la distribuzione t è valida approssimativamente. In altri termini, possiamo dire che assunte valide le ipotesi (A1)-(A4) (indebolite), la statistica test 0 t = (bk - βk ) / se(bk) (sotto l’ipotesi nulla βk  β0k ) ha approssimativamente una distribuzione normale standard, cioè N(0,1). L’errore di approssimazione diventa sempre più piccolo all’aumentare della numerosità campionaria N. Ci riferiamo a questo come alla teoria asintotica quando N va all’infinito (N→∞). 4

Intervallo di confidenza Si definisce intervallo di confidenza quell’intervallo composto 0 0 da tutti quei valori βk per cui l’ipotesi nulla βk  βk non è rifiutata dal test tk. Fornisce un intervallo di possibili valori per il vero βk che non sono improbabili, dato il campione. t N-K ;α/2 

bk  β k  t N-K ;α/2 se(bk )

Pr[bk  tN-K ;α/2se(bk )  β k  b k  tN-K ;α/2se(b k )]= 1- α Di solito,1− α = 95%. Ripetendo il campionamento dalla stessa distribuzione, il 95% di questi intervalli conterrà il vero valore, costante ma ignoto, del parametro. 5...